Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Mon Dec 03 11:00 AM 2012 C
% Last Change: Mon Dec 03 11:00 AM 2012 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{choibez}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{4 grudnia 2012}
\begin{document}
\section{Różności}
 
\emph{Wiele z~poniższych zadań jest wziętych z~Koła Podlaskiego Oddziału PTM
\emph{\texttt{www.ptm.pb.edu.pl}} prowadzonego przez prof.~Piotra
Grzeszczuka.}
 
\begin{problem}
    Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie $x, y$, że $x^2 + y$ oraz
    $y^2 + x$ są kwadratami liczb naturalnych?
\end{problem}
 
\begin{problem}[Twierdzenie o~dwusiecznej II]
    W~trójkącie $ \triangle ABC$ zachodzi $AB\neq AC$. Dwusieczna kąta
    zewnętrznego $ \angle BAC$ przecina prostą $BC$ w~punkcie $E$. Uzasadnij,
    że
    \[
    \frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC}.
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Liczba $A$ powstała z~$B$ przez przestawienie pewnych cyfr. Wykazać, że
    jeśli $A + B = 10^{10}$, to liczba $A$ jest podzielna przez $10$.
\end{problem}
 
 
\begin{problem}
    W~trójkąt wpisano okrąg. Wykazać, że punkty styczności tego okręgu
    z~bokami trójkąta są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Ciąg liczb naturalnych $a_1 < a_2 < \dots$ spełnia warunki $a_1 = 1$ oraz
    $a_{n+1} \leq 2n$ dla każdego $n\in \mathbb{Z}_+$. Wykazać, że dla dowolnej
    liczby naturalnej $n$ istnieją wyrazy tego ciągu różniące się o~$n$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na prostej $\ell$ danych jest $50$ odcinków. Wykazać, że prawdziwe jest
    przynajmniej jedno z~następujących zdań:
    \begin{enumerate}
        \item pewne osiem odcinków ma punkt wspólny,
        \item istnieje osiem odcinków parami rozłącznych.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Liczby dodatnie $a, A, b, B, c, C$ spełniają równości
    \[
    a + A = b + B = c + C = k.
    \]
    Wykazać, że $aB + bC + cA \leq k^2$.
\end{problem}
 
\end{document}