Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Zadania z Dirichleta są przeznaczone do domu! Będziemy je omawiać na następnym kółku. Y.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: wstep.tex
%     Created: Mon Oct 22 10:00 PM 2012 C
% Last Change: Mon Oct 22 10:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=17cm, textheight=27.5cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\sectionwidth{9cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{23 października}
\begin{document}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\section{\Large A~może tak spróbować sinusów?}
 
\subsection{Początek i~koniec trygonometrii}
 
\emph{Twierdzenie sinusów jest nakładką na geometrię klasyczną (bo dowód jest
prosty). Generalnie \textbf{nie} należy go używać w~rozwiązaniach, bo $\sin 0
= 0$, więc nie dla wszystkich kątów ma ono sens!}
 
\begin{thm}[Twierdzenie sinusów]
    Jeżeli $ABC$ jest \textbf{trójkątem}, a~$R$ oznacza promień okręgu
    opisanego na nim to
    \[
    \frac{AB}{\sin  \angle BCA} = \frac{BC}{\sin  \angle CAB} = \frac{CA}{
    \sin  \angle CBA} = 2R.
    \]
\end{thm}
\begin{proof}[Szkic dowodu]
    Niech $AA'$ będzie średnicą okręgu opisanego na $ \triangle ABC$. Wtedy
    kąt $ \angle ACA'$ jest prosty więc z~definicji sinusa dla~trójkąta
    prostokątnego $ \triangle AAC'$ mamy $2\cdot R\cdot \sin  \angle CA'A =
    AC$.
    Co więcej $ \angle CA'A =  \angle CBA$ lub $ \angle CA'A = 180^\circ -
    \angle CBA$, w~obu przypadkach $\sin  \angle CA'A = \sin  \angle CBA$.
    To dowodzi, że ostatni ułamek jest równy $2R$, z~dokładnością do oznaczeń
    udowadniamy to identycznie dla pozostałych.
\end{proof}
 
\begin{problem}[(twierdzenie o~dwusiecznej)]
    Dwusieczna kąta $ \angle BCA$ w~trójkącie $ABC$ przecina bok $AB$
    w~punkcie $D$. Udowodnij, że
    \[
    \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}.
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Uzasadnij, że pole trójkąta $ \triangle ABC$ wyraża się wzorem
    \[\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin  \angle BAC.\]
    Udowodnij ponownie twierdzenie sinusów (bez części $=2R$) korzystając
    z~powyższego.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnij, że pole czworokąta o~przekątnych długości $k$ i~$l$,
    przecinających się pod kątem $\alpha$, jest równe
    \[\frac{1}{2}\cdot k\cdot l\cdot \sin \alpha.\]
 
    Które z~czworokątów o~danych długościach przekątnych mają największe
    możliwe pole?
\end{problem}
 
 
\subsection{Dirichleta ciąg dalszy}
 
\begin{problem}
    Wykazać, że wśród $10^{10} + 1$ liczb ze zbioru $\{1, 2, \dots, 2\cdot
    10^{10}\}$
    są dwie liczby względnie pierwsze.
 
    Wykazać, że istnieje zbiór $10^{10}$ liczb ze zbioru $\{1, 2,\dots, 2\cdot
    10^{10}\}$ w~którym każde dwie liczby mają wspólny dzielnik większy od $1$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykaż, że jeśli dziesięć liczb całkowitych ma sumę $101$, to
    muszą wśród nich być trzy, których suma wynosi co najmniej $31$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $A$ będzie podzbiorem zbioru $\{1, 2, \dots, 150\}$ złożonym z~$25$
    liczb. Wykaż, że istnieją dwie różne pary elementów zbioru $A$ mające
    równe sumy.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $A$ będzie dziesięcioelementowym podzbiorem zbioru $\{3, 6, 9,
    \dots, 150\}$. Wykaż, że $A$ zawiera dwa różne czteroelementowe podzbiory, mające równe
    sumy elementów.
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\star$]
    Dany jest zbiór $\Psi$ złożony z~$24$ liczb całkowitych dodatnich nie większych niż $100$.
    Uzasadnij, że w~zbiorze liczb postaci $a - b$ gdzie $a, b\in \Psi$ są
    różnymi elementami $\Psi$ są co najmniej cztery różne liczby.
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\star$]
    Uzasadnij, że dla każdego $n$ całkowitego dodatniego istnieje liczba
    Fibonacciego podzielna przez $n$.
 
    \emph{Uwaga: liczba Fibonacciego to element ciągu danego wzorem $F_1 = 1,
    F_2 = 1$ oraz zależnością $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ dla $n\geq 1$.
    Wskazówka: nie wystarczy wziąć $n$ elementów ciągu.}
\end{problem}
 
\end{document}