Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Poniżej zadania domowe, które będziemy omawiać/rozwiązywać na kółku w przyszłym tygodniu. Należy na nimi posiedzieć w domu. Poziom zadań jest zróżnicowany, poszukajcie czegoś dla siebie.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
% Last Change: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin -0.25in
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{9 -- 16 października 2012}
\begin{document}
\section{I~seria zadań}
 
\begin{problem}
Udowodnić, że wśród $50$ osób pewne $8$ urodziło się w tym samym dniu tygodnia.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykazać, że wśród dowolnych siedmiu liczb naturalnych istnieją takie
    liczby $a, b$, że $10\big|a^2 - b^2$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
Przy okrągłym stole ma usiąść $2009$ ambasadorów. Na stole poustawiano
proporczyki z nazwiskami, a następnie posadzono przy stole ambasadorów, ale
tak, że żaden nie siedział na swoim miejscu. Udowodnić, że można tak obrócić
stół, żeby przynajmniej $2$ ambasadorów siedziało na swoich miejscach.
\end{problem}
 
\begin{problem}
Wykazać, że wśród naturalnych potęg $7$ istnieje taka, której zapis dziesiętny kończy się na $01$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dla których liczb naturalnych $n$ istnieje liczba postaci $111\dots1$
    podzielna przez $n$?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykazać, że wśród $n+1$ liczb naturalnych ze zbioru $\{1,2,\dots,2n\}$
    istnieje para liczb różniących się o~$n$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykazać, że wśród $n+1$ liczb naturalnych ze zbioru $\{1,2,\dots,2n\}$
    istnieje liczba, która dzieli inną liczbę z~tego zbioru.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    \begin{enumerate}
        \item Uczestnicy obozu ILO CAMP poznają się na~facebooku lub ``w~realu''.
            Uzasadnić, że wśród każdych sześciu z~nich istnieje trójka,
            w~której każde dwie osoby poznały się tak samo.
        \item Pomiędzy każdymi z dwoma z $17$ planet istnieje połączenie
            hiperprzestrzenne. Połączenia są obsługiwane przez firmy: ``UFO
            ltd.'', ``NASA shuttle'', ``Overlord transport''. Uzasadnić, że
            pomiędzy pewnymi trzema planetami \textbf{wszystkie} połączeniami są
            obsługiwane przez tę samą firmę.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~trójkącie równobocznym o~boku $12$ umieszczono $300$ punktów, z~których
    żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Udowodnij, że pewne trzy z~nich tworzą
    trójkąt o~polu mniejszym niż $\frac{1}{2}$ i~obwodzie nie większym niż $3$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Danych jest $10001$ różnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że istnieje
    setka liczb, której suma jest podzielna przez $100$.
\end{problem}
 
\end{document}