Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: starsi.tex
%     Created: Mon Jan 16 09:00 AM 2012 C
% Last Change: Mon Jan 16 09:00 AM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{16 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Trochę zadanek}
 
\begin{problem}
    Wyznacz wszystkie trójki liczb $(a, b, c)\in (0, 1]^{3}$, dla których
    spełniona jest równość $a + b + c = ab + bc + ca$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$, w~którym
    \[
     \angle DAB +  \angle BCD =  \angle ABC.
    \]
    Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na $ \triangle ABC$. Wykaż, że
    punkt $O$ jest jednakowo odległy od prostych $AD$ i~$CD$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Uzasadnij, że $2^p + 3^p$ nie jest
    potęgą liczby naturalnej o~wykładniku (naturalnym) większym od $1$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzi nierówność
    \[
    \frac{a}{2a + b + c} + \frac{b}{a + 2b + c} + \frac{c}{a + b + 2c} \leq
    \frac{3}{4}.
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnić, że $\binom{2n}{n}$ jest parzysty dla każdej liczby naturalnej
    $n$.
 
    Udowodnić, że dla $1 < k < p$ zachodzi
    \[
    \binom{kp}{p} \equiv k \mod p.
    \]
\end{problem}
 
\end{document}