Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Tue Dec 20 10:00 AM 2011 C
% Last Change: Tue Dec 20 10:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{./}{style.sty}
\def\sectionwidth{9cm}
 
\def\headpicture{cham.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{3 stycznia 2012}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Walcz z~układem! (równań) 2}
 
\subsection{``Półniezmienniki''}
Częste, choć na razie nie na II etapie OM, są układy postaci $y = f(x), z =
f(y), x = f(z)$, gdzie $f$ jest pewną funkcją. Zwykle podstawianie niewiele tu
daje. Trzeba zgadnąć rozwiązania i~pokazać pewną własność $f$, która sprawia,
że innych nie ma. Tutaj zwykle b. ważne są nierówności i~wartość bezwzględna.
 
\begin{problem}
    Znajdź wszystkie czwórki liczb rzeczywistych dodatnich $a, b, c, d$ spełniające układ równań
    \[
    \begin{cases}
        a = 2b^2 - 1\\
        b = 2c^2 - 1\\
        c = 2d^2 - 1\\
        d = 2a^2 - 1.
    \end{cases}
    \]
    \emph{Wskazówka: Połóż $f(x) = 2x^2 - 1$. \textbf{Narysuj wykres!} Porównaj $|f(x)|$ i~$|x|$
    w~zależności od $x$.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Liczby $x_1,\dots,x_{2011}$ są rzeczywiste dodatnie i~spełniają układ
    równań
    \[
    \begin{cases}
        x_1^{x_2} = x_3\\
        x_2^{x_3} = x_4\\
        \dots\\
        x_{2011}^{x_1} = x_2.
    \end{cases}
    \]
    Wyznacz te liczby.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnij, że jeśli równanie $ax^5 + bx^4 + c = 0$, gdzie $ac\neq 0$ ma
    trzy różne rozwiązania $x_1,x_2,x_3$, to równanie $cx^5 + bx + a = 0$
    ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Rozwiązać równanie
    \[
    \frac{a^2}{4}  + b^2 + c^2 = ab - ac + 2bc
    \]
    w~liczbach rzeczywistych $a, b, c$.
 
    \emph{Wskazówka: od czego jest sensownie zacząć?}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Znajdź wszystkie trójki $(x, y, z)$ liczb większych od $1$ spełniające
    równanie
    \[
    x + y + z + \frac{3}{x-1} + \frac{3}{y-1} + \frac{3}{z-1} =
    2\left(\sqrt{x+2} + \sqrt{y+2} + \sqrt{z+2}
    \right).
    \]
    \emph{Wskazówka (lub zdziwko) dla pałujących: jeżeli wielomian $f$ jest
    stale nieujemny i~$f(a) = 0$ to $f'(a) = 0$, więc $NWD(f, f')(a) = 0$ (to
    było na Serwach).}
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie obliczeniowe]
    Znajdź pierwiastek następujących wielomianów wiedząc, że wielomiany te są stale
    nieujemne
    \begin{enumerate}
        \item $x^4 - 11x^3 - 7x^2 + 176x + 576$,
        \item $x^6 - x^5 - 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x + 1$.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\end{document}