Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zaddom.tex
%     Created: Sat Dec 10 11:00 AM 2011 C
% Last Change: Sat Dec 10 11:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{na 12 grudnia 2011}
\begin{document}
\section{Pisemne I}
 
\emph{Trochę późno; za to bez ściem po drodze.}
\emph{Poniższe rozumowanie należy traktować jako wskazówki: może ono być
niekompletne, a~z~czasem (choć nie teraz) może stać się błędne, sprzeczne ze
sobą w~niektórych miejscach itp. Tym niemniej będę starać się konstruować je
tak, aby znacznie ułatwiało rozwiązanie.}
 
\begin{problem}[Zadanie (WTF dla $n=4$)]
    Udowodnij, że równanie
    \[
    x^4 + y^4 = z^2
    \]
    nie ma rozwiązań w~liczbach całkowitych dodatnich $x, y, z$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
 
\begin{itemize}
\item \begin{lem}[Klasyfikacja trójek Pitagorejskich]
    Jeżeli liczby całkowite $a, b, c$ spełniają zależność $a^2 + b^2 = c^2$ to
    istnieją takie $m, n$ całkowite, że
    \[
    a = m^2 - n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2 \hbox{ lub } a = 2mn, b = m^2 - n^2,
    c = m^2 + n^2.
    \]
    \end{lem}
    Źródło: Sierpiński ``Teoria Liczb''.
\item Wybieramy najmniejsze(?) rozwiązanie równania z~zadania.
\item $x,y,z$ względnie pierwsze.
\item Piszemy $x^2 = m^2 - n^2, y^2 = 2mn, z = m^2 + n^2$.
\item Piszemy $n = 2n_1^2, m = m_1^2$.
\item Piszemy $x = \alpha^2 - \beta^2, n = 2\alpha\beta, m = \alpha^2 +
    \beta^2$.
\item Piszemy $\alpha = \alpha_1^2, \beta = \beta_1^2$.
\item Rozwiązanie $\alpha_1^4 + \beta_1^4 = m_1^2$ jest mniejsze od
    wyjściowego.
\end{itemize}
 
\end{sol}
 
\end{document}