Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Do domu (dla klas drugich) zadania 3, 5, 6, 7.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Mon Oct 03 05:00 PM 2011 C
% Last Change: Mon Oct 03 05:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
\usepackage{ifthen}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 1mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}
 
}
{\hfill\par}
 
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{4 października 2011}
\begin{document}
\section{Białostocka sałatka}
 
\subsection{Minimalność}
 
\begin{problem}
    Na płaszczyźnie dany jest zbiór $2011^{2011}$ punktów, z~których żadne
    trzy nie leżą na jednej prostej. Wykaż, że można wśród nich znaleźć takie
    trzy punkty,
    że okrąg poprowadzony przez nie nie zawiera w~swoim wnętrzu innych punktów z~tego zbioru.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkt $E$ leży wewnątrz wielokąta wypukłego $A_1A_2 \dots A_n$. Uzasadnij,
    że co najmniej dla jednego boku $b$ tego wielokąta rzut
    prostopadły $E$ na prostą zawierającą $b$ leży na odcinku $b$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na pierścieniu Saturna znajduje się $2011^{2011}$ stacji kosmicznych, na
    których można tankować paliwo. Łączna liczba paliwa znajdująca się na
    wszystkich stacjach pozwala dokładnie na to, by rakieta mogła przelecieć
    dookoła pierścienia.
 
    Udowodnij, że istnieje taka stacja, że wyruszając od
    niej rakieta może oblecieć cały pierścień (zabierając po drodze paliwo jedynie
    z~mijanych stacji, początkowo bak rakiety jest pusty).
\end{problem}
 
\subsection{Indukcyjne konstrukcje}
\begin{problem}
    Mamy $n$ bomb, których siły rażenia wynoszą odpowiednio $1, 2, \dots, n$
    kiloton. Dla jakich liczb $n$ bomby te można podzielić na trzy grupy
    o~równej sile rażenia?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dowieść, że z~każdego zbioru liczb całkowitych, mającego więcej niż
    $3^{2011}$ elementów można wybrać $2012$--elementowy podzbiór $S$
    o~następującej własności:
 
    Dla dowolnych dwóch różnych podzbiorów $A, B \subseteq S$ suma wszystkich
    elementów $A$ jest różna od sumy wszystkich elementów $B$ (przyjmujemy, że
    suma elementów zbioru pustego wynosi $0$).
 
    \emph{Źródło: OM}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~$2011$--osobowym gangu działa $2^{2011}-1$ podgangów (każdy niepusty
    podzbiór bandziorów tworzy podgang). W~każdym podgangu trzeba ustalić
    capo, przy czym jeżeli $C = A \cup B$, to capo
    $C$ jest też capo co najmniej jednego z~podgangów $A$ i~$B$.
 
    Na ile sposobów można ustalić capo?
 
    \emph{Źródło: OM}
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
    Udowodnić, że dla każdej liczby $n\geq 2$ znajdzie się $n$ różnych liczb
    naturalnych takich, że dla każdych $a, b$ z~tego zbioru $a - b\big|a + b$.
\end{problem}
 
\end{document}