Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Fri Mar 11 02:00 PM 2011 C
% Last Change: Fri Mar 11 02:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\section{Różności część II}
 
\begin{enumerate}
    \item Czy wyrażenie $\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$, o~którym
        wiemy, że jest liczbą rzeczywistą, jest liczbą naturalną?
    \item Udowodnij, że istnieje taka liczba $c$, dla której równanie
        $[x\sqrt[3]{x}] + [y\sqrt[3]{y}] = c$ ma co najmniej $17032011$
        rozwiązań w~liczbach naturalnych $x, y$ ($[A]$ oznacza największą liczbę
        całkowitą nie większą od $A$).
    \item Udowodnij, że każda liczba wymierna z~przedziału $(0, 1)$ daje się
        zapisać jako suma ułamków ``egipskich'' tj. o~licznikach równych $1$
        i~mianownikach będących różnymi liczbami naturalnymi, np.
        \[
        \frac{5}{13} = \frac{1}{3} + \frac{1}{20} + \frac{1}{720}.
        \]
    \item Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, to
        \[
        \frac{6n}{(n+1)(2n+1)} \leq 1 + \frac{1}{2^2} + \dots +
        \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n}.
        \]
    \item Udowodnij, że jeśli $a,b,c$ są długościami boków trójkąta, to
        \[
        \sqrt{-a+b+c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{a+b-c} \leq \sqrt{a} +
        \sqrt{b} + \sqrt{c}.
        \]
    \item Dowiedź, że dla dodatnich liczb $a,b,c$ zachodzi nierówność
        \[
        \frac{2a+1}{b+c+1} + \frac{2b+1}{a+c+1} + \frac{2c+1}{a+b+1} \geq 3.
        \]
    \item Suma nieujemnych liczb $x_1,\dots,x_n$ wynosi $1$. Wyznacz
        maksymalną wartość wyrażenia
        \[x_1\cdot \sqrt{x_2} \cdot \dots \cdot
        \sqrt[n]{x_n}.\]
    \source{V LO w~Bielsku Białej (część zadań)}
\end{enumerate}
 
\end{document}