Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Uwaga do osób, których nie było (czyli do większości): te zadania są nieobowiązkowe i nie ma sensu ich robić jako zwykłej pracy domowej. Natomiast zadania z Dirichleta są nadal obowiązkową pracą domową, mimo iż były one omówione na kółku.

Pozdrawiam, Yogi

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Wed Nov 24 09:00 PM 2010 C
% Last Change: Wed Nov 24 09:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
 
%\subimport{../}{style}
\include{style}
 
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Symetria}
 
\subsection{*Niezmienniczość}
\emph{Sekcja jest oznaczona * ze względu na to, że nie było na kółku
potrzebnych definicji, ale np. zadania 1,2 nie są aż tak
trudne, żeby zasłużyć na *.}
 
\emph{Poniższe zadania są mało kółkowe, więc mogą łatwo zasłużyć na zarzut nieżyciowości. Wręcz
przeciwnie~-- część jest całkiem ważnymi  wynikami!}
 
\begin{enumerate}
    \item \begin{problem}
        Niech liczby $a,b,c$ będą dodatnie i~załóżmy, że mamy nierówność
        \[f(a, b, c) \geq g(a,b,c)\hbox{ dla wszystkich } a,b,c>0\]
        gdzie $f,g$ są pewnymi funkcjami.
 
        Uzasadnić, że jeśli $f$ jest symetryczna, to istnieje taka funkcja
        symetryczna $h$, że
        \[f(a,b,c) \geq h(a,b,c) \hbox{ dla wszystkich }a,b,c>0\]
        oraz $h(a,a,a) = g(a,a,a)$ dla dowolnego $a\in \mathbb{R}_+$.
 
        \emph{Funkcja jest symetryczna, jeżeli zamiana kolejności argumentów
        nie wpływa na jej wartość.}
    \end{problem}
 
    \item
        \begin{problem}
            Punkty $X_1,\dots,X_n$ są takie, że symetria względem dowolnego
            z~odcinków $X_iX_j$ nie zmienia zbioru $\{X_1,\dots,X_n\}$.
            Uzasadnij, że wszystkie punkty leżą na jednym okręgu.
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            \emph{Wymaga znajomości pojęcia granicy\dots}
 
            Uzasadnić, że jeśli ciąg $(x_n)$ zdefiniowany w~sposób
            \[x_0 =0.5,\quad x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3}{3}\]
            ma granicę, to jest nią $0$.
        \end{problem}
    \item
        \begin{problem}
            Rozważmy wielomiany zmiennych $x,y$ o~współczynnikach
            rzeczywistych.
 
            Wielomian nazywamy symetrycznym, jeżeli funkcja przez niego
            zdefiniowana jest symetryczna. Uzasadnij, że wszystkie
            wielomiany symetryczne są sumami wielomianów postaci
            \[\hbox{współczynnik}\cdot(xy)^i(x+y)^j\]
            gdzie $i,j$ -- całkowite nieujemne.
 
            \emph{Wskazówka: zastosuj indukcję po stopniu.}
 
            \emph{Analogiczny fakt (z~$x+y+z$, $xy + yz + zx$, $xyz$) zachodzi
            również dla 3 zmiennych i~chyba nawet jest w~naszym zasięgu, ale
            jest bardziej mozolny.}
        \end{problem}
\end{enumerate}
 
\end{document}