Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Kółko i zadania przygotował Mateusz Jocz -- dziękuję :)

Źródło zadań w texu.

 
 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\def\mb#1{\mathbb{#1}}
\def\rozw{\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{$ $\\Źródło: #1}
\def\o{\operatorname{ord}}
 
\subimport{../}{style}
 
\begin{document}
\section{Powrót wielomianów}
 
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
    \item Jeżeli wielomian $W$ ma współczynniki całkowite to
        $$a - b | W(a) - W(b)$$
        dla wszystkich liczb całkowitych $a\neq b$.
    \item Dla każdego $x_0$ i każdego wielomianu $W(x)$ zachodzi
        $W(x)=(x-x_0)P(x)+W(x_0)$, gdzie $P(x)$ jest wielomianem, który jest
        \textbf{różny dla różnych $x_0$}. Ponadto jeżeli $W(x)$ miało
        współczynniki całkowite i $x_0$ jest całkowite, to $P(x)$ ma
        współczynniki całkowite. (Twierdzenie B\`ezouta)
    \item Niech $x_1, x_2, \dots, x_n$ będą pierwiastkami wielomianu $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\; a_n\neq 0$ o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory:
 
  \[
\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}
\]
nazywane wzorami Vi\`ete'a.
 
\end{enumerate}
 
\paragraph{Podzielność}
\begin{enumerate}
 
    \item Dany jest wielomian całkowitoliczbowy $P(x)$, taki, że $3|P(7)$ oraz $7|P(3)$. Wykaż, że $21|P(10)$.
    \source{Staszic}
 
    \item Wielomian $W(x)$ o współczynnikach całkowitych spełnia warunki: 
    $$17|W(15), 13|W(0), 9|W(11)$$
    Pokazać, że 1989|W(1001).
    \source{Staszic}
 
\end{enumerate}
\paragraph{Wielomian pomocniczy}
\begin{enumerate}
 
    \item Rozwiązać układ równań w rzeczywistych $a, b, c, d$ :
      \[
\begin{cases} a + b + c + d = 4 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = -1 \\ abc + abd + acd + bcd = -16 \\abcd = -12 \end{cases}
\]  
  \source{Staszic}
 
  \item Rozwiązać układ równań w liczbach rzeczywistych:
      \[
\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 20 \end{cases}
\]
 
      \item Liczby $x,y,z$ spełniają równości: $x+y+z=a$, $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{1}{a}$.
      Udowodnić, że przynajmniej jedna z nich jest równa $a$.
 
      \item Suma trzech liczb całkowitych $u,v,w$ jest równa zeru. Udowodnij, że liczba $2u^4+2v^4+2w^4$ jest kwadratem liczby całkowitej.
 
      \item Rozwiązać układ równań w dodatnich $a, b, c$ :
            \[
      \begin{cases}ab + bc + ac = 12 \\ a + b + c + 2 = abc \end{cases}
      \]
         \source{Staszic}
 
         \item Liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania:
           \[
\begin{cases} a + b + c + d = -3 \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \\ abc + abd + acd + bcd = 3 \end{cases}
\]
Pokazać, że istnieje taka liczba rzeczywista $M$, ze $M \geq abcd \geq -2$.
\source{Staszic}
 
 
\end{enumerate}  
\paragraph{Różności}
\begin{enumerate}
 
       \item Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany $P(x)$ oraz $P(P(P(x)))$ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.
    \source{LVIII OM $II^{o}$}
 
    \item Dany jest wielomian $W(x)=x^2+ax+b$, o współczynnikach całkowitych, spełniających warunek:
    Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$, że liczby $W(k)$ oraz $W(k+1)$ są podzielne przez $p$.
    Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$, dla której:
    \[W(m)=W(m+1)=0\]
        \source{LVI OM $II^{o}$}
 
   \item Znaleźć reszty z dzielenia wielomianu $(x^2- x - 1)^{2008}$ przez wielomiany: $x-1$ i $x^2-1$.
    \source{Staszic}
   \item Znajdź wszystkie wielomiany $p(x)$, dla których zachodzi następująca tożsamość:
   \[ (x-26)p(x)=xp(x-1) \]
   dla każdej liczby rzeczywistej x.
 
    \item Wyznacz wszystkie wielomiany $P(x)$ spełniające dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ równość:
    \[ P(x^2-y^2)=P(x+y)P(x-y)\]
    \source{Staszic}
 
  \end{enumerate}
\end{document}