Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
\def\comment#1{}
\def\deg{^{\circ}}
 
\begin{document}
\section{Miejsca geometryczne}
 
\begin{enumerate}
\item O podłogę i prostopadłą do niej ścianę stoi oparta drabina. Nóżki drabiny przesuwają się po podłodze (bez poślizgu) prostopadle do ściany i drabina obsuwa się. Na środku drabiny siedzi kotek (którego traktujemy jako punkt). Udowodnić, że w miarę opadania drabiny kotek zakreśli w przestrzeni łuk okręgu.
\source{Koło PTM}
 
\item \emph{Miejsce geometryczne} -- w geometrii zbiór punktów spełniających zadany warunek, np. pewna kula może być zdefiniowana jako miejsce geometryczne punktów odległych nie bardziej niż o $r$ od środka układu współrzędnych.
\source{wikipedia}
 
\item Na płaszczyźnie dane są punkty $A,B$. Udowodnić, że miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny równoodległych od $A,B$ jest prosta prostopadła do odcinka $AB$ i przechodząca przez jego środek.
\comment{I stąd wynika jednoznaczność okręgu opisanego na trójkącie}
\source{known}
 
\item W przestrzeni dane są punkty $A,B$. Udowodnić, że miejscem geometrycznym punktów przestrzeni trójwymiarowej równoodległych od $A,B$ jest płaszczyzna prostopadła do odcinka $AB$ i przechodząca przez jego środek.
\comment{I stąd wynika jednoznaczność sfery opisanej na czworościanie}
\source{known}
 
\item Na płaszczyźnie dany jest trójkąt $ABC$. Udowodnić, że zbiorem punktów równoodległych od prostych $AC$ i $BC$ jest para prostych prostopadłych, przecinających się w $C$. Jak jest w przypadku przestrzennym? \comment{I stąd okrąg wpisany w trójkąt i dopisany do trójkąta}
\source{known}
 
\item \emph{Okrąg Apoloniusza} Na płaszczyźnie dane są różne punkty $A,B$ oraz liczba dodatnia $k$. Udowodnić, że zbiór punktów $X$ płaszczyzny, spełniających
$$\frac{AX}{BX} = k$$
jest
\begin{itemize}
\item okręgiem, jeżeli $k\neq 1$,
\item symetralną $AB$, jeżeli $k=1$.
\end{itemize}
\source{known}
 
\item Niech $o$ będzie okręgiem Apoloniusza dla danych $A,B,k\neq 1$ przy czym punkt $A$ leży na zewnątrz $o$. Z punktu $A$ poprowadzono styczne $AP,AQ$ do okręgu $o$. Udowodnić, że $B$ jest środkiem odcinka $PQ$.
\source{Prasolow}
 
\item W czworokącie $ABCD$ miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku $A$ jest większa od $180\deg$ oraz zachodzi równość
$$AB \cdot CD = AD \cdot BC$$
Punkt $P$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $BD$. Udowodnić, że $\angle PCB = \angle ACD$.
\source{LVII OM}
 
\item * Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB$ i $CD$ nie są równoległe. Niech $\mathcal{X}$ będzie zbiorem punktów $X$ takich, że $[XAB] + [XCD] = \frac{1}{2}[ABCD]$, gdzie $[\mathcal{Y}]$ oznacza pole figury $\mathcal{Y}$. Znaleźć $\mathcal{X}$.
\source{Prasolow}
 
%Ew coś ze Zwardonia -> Pompe ostatni Zwardoń
 
\end{enumerate}
\end{document}