Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Triki z nierównościami}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{\sqrt{a^2bc} + \sqrt{ab^2c} + \sqrt{abc^2} + (a+b+c)^2}{\sqrt{a+b+c}\sqrt{abc}} \geq 4\sqrt{3}$$
\source{Koło PTMu - 6 młodsi grudzień 2006}
%odp. grupowanie
 
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b$ zachodzi
$$\frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{ab}{a^2 + b^2} \geq \frac{5}{2}$$
\source{Zadania przygotowawcze do konkursu PTM}
%odp. grupowanie
 
\item * Niech $a,b,c$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $abc=1$. Pokazać, że
$$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}$$
\source{IMO 1995}
%warunek + jednomono + szacowanie na chama
 
\item Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$
\source{Jungary 1996, Hoojoo Lee}
%comment: można też z Jensena
%przyblizenie wymierne
 
\item Wykazać, że dla liczb dodatnich $a,b,c,d$ zachodzi nierówność
$$\frac{a^4}{a^3 + a^2b + b^3} + \frac{b^4}{b^3 + b^2c + c^3} + \frac{c^4}{c^3 + c^2d + d^3} + \frac{d^4}{d^3 + d^2a + a^3} \geq \frac{a+b+c+d}{3}$$
\source{Staszic}
%przyblizenie wymierne
 
\item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność Nesbitta
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$
%dodawanie stałej
\source{known}
 
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 4\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\right)$$
%odp. grupowanie
\source{Pawłowski}
 
\item Niech $n>3$ będzie liczbą naturalną, a liczby $x_1,x_2,\dots,x_n$ będą dodatnie. Udowodnij, że
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i + x_{i+3}}{x_{i+1} + x_{i+2}} \geq n$$
gdzie suma jest cykliczna, tj. $x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2, x_{n+3} = x_3$.
%dodawanie stałej
\source{OM}
 
\end{enumerate}
\end{document}