Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
\def\deg{^{\circ}}
 
\begin{document}
 
\section{PROSERWY - dzień czwarty}
\begin{enumerate}
 
%\item Rozpatrujemy wszystkie trapezy $ABCD$, o podstawach $AB$ i $CD$, dla których
%$$|AC|=1,\ \ |BC| = \sqrt{3} \hbox{ oraz } \angle ABC = 30\deg$$
%Wyznacz najmniejszą możliwą długość boku $AB$.\source{Zwardoń}
 
\item Rozpatrujemy wszystkie trapezy $ABCD$, o podstawach $AB$ i $CD$, dla których
$$|AC| = 1,\ \ |BD| = \sqrt{3} \hbox{ oraz } \angle ABD = 30\deg$$
Wyznacz najmniejszą możliwą sumę długości podstaw tego trapezu.\source{Zwardoń}
 
%\item (twierdzenie Lucasa) Niech $a\geq b\geq 0$ będą liczbami całkowitymi oraz niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Niech ciągi $(a_0,a_1,\dots,a_n), (b_0,b_1,\dots,b_n)$ będą takie, że
%$$\forall_i a_i,b_i\in \{0,1,\dots,p-1\}$$
%$$a = \sum_{i=0}^n a_i p^i,\ b = \sum_{i=0}^n b_i p^i$$
%Udowodnić, że zachodzi przystawanie
%$$\binom{a}{b} \equiv \binom{a_n}{b_n}\cdot\binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}\cdot\dots\cdot\binom{a_0}{b_0} \mod p$$
%\emph{Uznajemy tutaj, że $\binom{n}{m} = 0$ dla $n<m$ (tak jak liczba sposobów wybrania $m$ różnych elementów z $n$ możliwych)}.
%  \begin{enumerate}
%  \item Rozważyć wielomian $(x+1)^a$, popatrzeć na współczynnik przy $x^b$.
%  \item Rozbić ten wielomian na $(x+1)^{a_np^n}(x+1)^{a_{n-1}p^{n-1}}\dots (x+1)^{a_0}$ wymnożyć i porównać współczynnik po wymnożeniu.
%  \end{enumerate}
%\source{Lucas}
 
\item Wyznaczyć największy możliwy iloczyn liczb całkowitych dodatnich o sumie równej $2009$.\source{Zwardoń}
 
\item Baran i Kaczor grają w następującą grę. Na początku na tablicy napisana jest liczba całkowita dodatnia $n$. W jednym ruchu gracz odejmuje od w napisanej w danym momencie na tablicy liczby jej dzielnik będący jedynką, liczbą pierwszą, lub iloczynem dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych i wynikiem odejmowania zastępuje wcześniejszą liczbę. Pierwszy ruch wykonuje Baran, a następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Wygrywa gracz, który napisze na tablicy liczbę $0$. Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $n$ Baran może zapewnić sobie wygraną, niezależnie od ruchów Kaczora.
  \begin{enumerate}
  \item Teza: Wygraną można zapewnić dla liczb niepodzielnych przez $8$.
  \item Indukcja po $n$.
  \item Osiem przypadków $\rightarrow$ udowodnić, że z podzielnej przez $8$ można przejść tylko do niepodzielnej, a z niepodzielnej można zawsze przejść do podzielnej.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
$ $\\
 
\section{PROSERWY - dzień czwarty}
\begin{enumerate}
 
\item Rozpatrujemy wszystkie trapezy $ABCD$, o podstawach $AB$ i $CD$, dla których
$$|AC| = 1,\ \ |BD| = \sqrt{3} \hbox{ oraz } \angle ABD = 30\deg$$
Wyznacz najmniejszą możliwą sumę długości podstaw tego trapezu.\source{Zwardoń}
 
%\item (twierdzenie Lucasa) Niech $a\geq b\geq 0$ będą liczbami całkowitymi oraz niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Niech ciągi $(a_0,a_1,\dots,a_n), (b_0,b_1,\dots,b_n)$ będą takie, że
%$$\forall_i a_i,b_i\in \{0,1,\dots,p-1\}$$
%$$a = \sum_{i=0}^n a_i p^i,\ b = \sum_{i=0}^n b_i p^i$$
%Udowodnić, że zachodzi przystawanie
%$$\binom{a}{b} \equiv \binom{a_n}{b_n}\cdot\binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}\cdot\dots\cdot\binom{a_0}{b_0} \mod p$$
%\emph{Uznajemy tutaj, że $\binom{n}{m} = 0$ dla $n<m$ (tak jak liczba sposobów wybrania $m$ różnych elementów z $n$ możliwych)}.
%  \begin{enumerate}
%  \item Rozważyć wielomian $(x+1)^a$, popatrzeć na współczynnik przy $x^b$.
%  \item Rozbić ten wielomian na $(x+1)^{a_np^n}(x+1)^{a_{n-1}p^{n-1}}\dots (x+1)^{a_0}$ wymnożyć i porównać współczynnik po wymnożeniu.
%  \end{enumerate}
%\source{Lucas}
 
\item Wyznaczyć największy możliwy iloczyn liczb całkowitych dodatnich o sumie równej $2009$.\source{Zwardoń}
 
\item Baran i Kaczor grają w następującą grę. Na początku na tablicy napisana jest liczba całkowita dodatnia $n$. W jednym ruchu gracz odejmuje od w napisanej w danym momencie na tablicy liczby jej dzielnik będący jedynką, liczbą pierwszą, lub iloczynem dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych i wynikiem odejmowania zastępuje wcześniejszą liczbę. Pierwszy ruch wykonuje Baran, a następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Wygrywa gracz, który napisze na tablicy liczbę $0$. Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $n$ Baran może zapewnić sobie wygraną, niezależnie od ruchów Kaczora.
  \begin{enumerate}
  \item Teza: Wygraną można zapewnić dla liczb niepodzielnych przez $8$.
  \item Indukcja po $n$.
  \item Osiem przypadków $\rightarrow$ udowodnić, że z podzielnej przez $8$ można przejść tylko do niepodzielnej, a z niepodzielnej można zawsze przejść do podzielnej.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\end{document}