Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\include{style}
 
\begin{document}
 
\section{Pancerniki (Dasypodidae)}
\begin{enumerate}
\item Na obozie naukowym w Serwach uczestnicy rozwiązywać będą $2008$ zadań. Na obóz ten kompletowana jest kadra. Powiemy, że osoba $A$ jest \emph{niegłupsza} od osoby $B$, jeżeli $A$ potrafi rozwiązać wszystkie te zadania, które potrafi rozwiązać $B$. Powiemy, że osoba $C$ jest w kadrze \emph{zbędna}, jeżeli istnieje w kadrze inna osoba, która jest niegłupsza od $C$. Z ilu maksymalnie osób może składać się kadra, jeżeli wiadomo, że nie zawiera ona zbędnych osób?
\source{own}
 
\item Pokazać, że jeżeli $x,y,z$ są liczbami dodatnimi, to zachodzi:
$$\frac{\sqrt{y+z}}{x} + \frac{\sqrt{x+z}}{y} +\frac{\sqrt{x+y}}{z} \geq \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{x+y+z}}$$
\source{Staszic}
 
\item Okrąg o środku w $I$ jest wpisany w trójkąt $\triangle ABC$ i jest styczny do $AB, BC, CA$ w $L, N, K$ odpowiednio. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $AC$, zaś punkt $D$ leży na przecięciu $KI$ i $LN$. Udowodnić, że punkty $B, D, M$ są współliniowe.\\
\emph{Wskazówka: Użyj teorii środka masy}
\source{Mathlinks}
 
\item Wykazać, że jeżeli $a>3$ jest liczbą całkowitą nieparzystą, to dla dowolnej liczby naturalnej $n$, liczba
$$a^{2^n} - 1$$
ma co przynajmniej $n+1$ różnych dzielników pierwszych.
\source{Koło PTM}
 
\end{enumerate}
 
\end{document}