|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: mlodsi.tex
% Created: Tue Feb 26 10:00 AM 2013 C
% Last Change: Tue Feb 26 10:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{7cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{26 lutego 2013}
\begin{document}
\section{Przegląd PTMów}
\vspace{1cm}
Zadania przeznaczone na półtora kółka, nie wszystko na dziś ;).
\emph{Wszystkie zadania pochodzą z~Podlaskiego Konkursu Matematycznego, aka
Konkursu Matematycznego PB.}
\begin{problem} W~przestrzeni trójwymiarowej punkt $M$ jest środkiem każdego z~odcinków
$AD, BE, CF$. Uzasadnić, że trójkąty $ \triangle ABC$ i~$ \triangle DEF$
są przystające.
\end{problem}
\begin{problem} Wykazać, że jeśli liczby $a,b$ są nieujemne to
\[
(a+b)(a^4+b^4)\geq (a^2+b^2)(a^3+b^3).
\]
\end{problem}
\begin{problem} Która z~liczb: $6^{7^{8^{9}}}, 9^{8^{7^{6}}}$ jest większa?
Odpowiedź uzasadnić.
\emph{Uwaga: potęgi są bez nawiasów: $2^{2^{3}} = 2^{8} \neq 2^{6} =
\left(2^{2}\right)^{3}$, podobnie $2^{2^{2^{2}}} = 2^{2^{4}} =
2^{16}$. Rozwiązanie tego zadania (jak i pozostałych zadań) nie może
korzystać z obliczeń na komputerze, kalkulatorze itp.}
\end{problem}
\begin{problem} Ile maksymalnie liczb pierwszych może wystąpić wśród dziesięciu
kolejnych liczb całkowitych?
\end{problem}
\begin{problem} Wyznaczyć wszystkie przedstawienia liczby $2012$ w~postaci sumy kolejnych liczb całkowitych.
\end{problem}
\begin{problem} Czy na płaszczyźnie można wybrać $7$ punktów tak, aby wśród dowolnych
trzech spośród nich istniały dwa punkty odległe od siebie o~$1$?
\end{problem}
\begin{problem} Dla dowolnych liczb $x,y$ z~przedziału $(0,1)$ udowodnić, że $xy - x -y < (xy)^2
- x^2 - y^2$.
\end{problem}
\begin{problem} Pole kwadratu $ABCD$ wynosi $5$. Punkty $K, L, M, N$ są środkami boków
$AB, BC, CD, DA$ odpowiednio. Obliczyć, ile wynosi pole kwadratu $XYZT$
ograniczonego prostymi $CK, DL, AM$ i~$BN$.
\end{problem}
\end{document}
|
