Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: podstawy-tl.tex
%     Created: Sun Dec 11 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Dec 11 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{7cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{rosnaca.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{12 grudnia 2011}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-2cm}
\section{Kongruencje II}
 
\begin{problem}[Zadanie (Małe twierdzenie Fermata)]
    Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, a~$a$ będzie liczbą całkowitą
    niepodzielną przez $p$.
    \begin{enumerate}
        \item Udowodnij, że liczby $\{0\cdot a, 1\cdot a,\dots, (p-1)\cdot
            a\}$ dają różne reszty z~dzielenia przez $p$.
        \item Udowodnij \emph{małe twierdzenie Fermata}:
            \[a^{p-1} \equiv 1 \mod p.\]
        \item Wywnioskuj, że \textbf{dla wszystkich} liczb całkowitych $a$
            zachodzi $a^p \equiv a \mod p$.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Uzasadnij, że jeśli $NWD(a, 105) = 1$ to $7\big|a^6 - 1,\ \ 3\big|a^2 - 1,\ \
    5\big|a^4 - 1$.
 
    Pokaż, że jeśli $NWD(a, 105) = 1$ to $105\big|a^{12} - 1$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Pokaż, że jeżeli $p$ jest pierwsza, to jedynymi rozwiązaniami równania
    $x^2 \equiv 1 \mod p$ są $1\mod p$ i~$-1\mod p$ (\emph{tzn. każda liczba
    całkowita $x$ spełniająca $x^2 \equiv 1$, przystaje do $1$
    lub $-1$ modulo $p$}).
 
    Pokaż, że bez założenia, że $p$ jest pierwsza, teza zadania nie byłaby
    prawdziwa.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Udowodnij, że jeśli $p$ jest pierwsza, a~$a$ całkowita niepodzielna przez
    $p$, to 
    \[a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p\hbox{ lub }a^{\frac{p-1}{2}}\equiv
    -1 \mod p.\]
 
    Wywnioskuj, że sześciany liczb całkowitych dają z~dzielenia przez $7$
    reszty ze zbioru $\{0, 1, -1\}$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Uzasadnij, że równanie $7^n = x^3 + 2y^3$ nie ma rozwiązań w~liczbach
    całkowitych dodatnich $x, y, n$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Oblicz, jakie reszty dają kwadraty liczb całkowitych przy dzieleniu przez
    $3$ (użyj zadania 2.) i~przez $4$. Pokaż, że równania $3^n = x^2 + y^2$ i~$4^n = x^2 + y^2$
    nie mają rozwiązań w~liczbach całkowitych dodatnich $x, y, n$.
\end{problem}
 
\end{document}