Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{Zadania dodatkowe ze środy i czwartku}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Zadania}
 
\begin{enumerate}
\item Udowodnić, że dla $n$ całkowitego dodatniego
$$1>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$
 
\item Udowodnić, że dla $n$ całkowitego dodatniego
$$1>\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\cdots+\frac{n}{2^{n+1}}$$
 
\item Obliczyć, dla $n$ całkowitego dodatniego, $q\neq 1$
$$1+q+q^2+\cdots+q^n$$
 
\item Obliczyć, dla $n$ całkowitego dodatniego, $q\neq 1$
$$1+2q+3q^2+\cdots+nq^{n-1}$$
 
\item Znaleźć wszystkie rozwiązania równania
$$x^2 + y^2 = 3z^2$$
w liczbach całkowitych dodatnich.
 
 
\item (nieomawiane) Znaleźć wszystkie rozwiązania równania
$$x^2 + y^2 + z^2 = x^2y^2$$
w liczbach całkowitych.
 
\item (nieomawiane) Znaleźć wszystkie rozwiązania równania
$$x_1^4 + x_2^4 +\cdots + x_{14}^4 = 1599$$
(podpowiedź: trzeba wziąć duże modulo)
 
\footnotesize{Źródło części zadań: www.ptm.pb.bialystok.pl}
\end{enumerate}
 
\end{document}