Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa III rok matematyki grupa *

1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - bardzo bliski do programu wykładu, nowocześnie napisany, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - bardzo bliski do programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
4. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
5. Borovkov Rachunek Prawdopodobieństwa - wydaje mi się nieco "za suchy", ale poczytać nikomu nie zaszkodzi
6. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 7 pażdziernika 2002 - Słaba zbieżność miar probabilistycznych i zbieżność zmiennych według rozkładu (na przestrzeniach metrycznych), charakteryzacja zbieżności wg rozkładu za pomocą zbieżności miar zbiorów otwartych/domkniętych/o zerowym brzegu, zbieżność według rozkładu a zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości, uwagą, że w definicji zbieżności wg rozkładu można się ograniczyć do "porządnych" funkcji (jednostajnie ciągłych, Lipschitzowskich); ciasność rodziny rozkładów probabilistycznych, twierdzenie Prochorowa o równoważności ciasności z prezwartością w topologii słabej zwartości (przypadek rozkładów na prostej)
• 14 października 2002 - dokończenie dowodu twierdzenia Prochorowa, uwaga o jego ogólnej formie dla rozkładów probabilistycznych na przestrzeniach polskich; funkcja charakterystyczna - definicje, przykłady (w tym funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego), podstawowe własności, uwaga o twierdzeniu Bochnera (charakteryzacja f.ch. rozkładów probabilistycznych na prostej), momenty zmiennej losowej a pochodne funkcji charakterystycznej, funkcja charakterystyczna wyznacza rozkład.
• 21 października 2002 - Twierdzenie Levy'ego-Cramera (równoważność zbieżności punktowej funkcji charakterystycznych i zbieżności rozkładów), wielowymiarowe funkcje charakterystyczne - definicja i uwaga o podobnych własnościach co w przypadku jednowymiarowym, jak z funkcji charakterystycznej wektora losowego odczytać niezależność współrzednych, słaba zbieżność wektorów losowych jest równoważna słabej zbieżnośći dowolnych kombinacji liniowych współrzędnych, Centralne Twierdzenie Graniczne w przypadku iid, układy trójkątne i warunek Lindeberga.
• 28 października 2002 - Dowód centralnego twierdzenia granicznego w wersji Lindeberga poprzez funkcje charakterystyczne, konieczność warunku Lindeberga przy założeniu zbieżności maksymalnej wariancji w wierszu do zera, alternatywny dowód CLT bez użycia funkcji charakterystycznych.
• 4 listopada 2002 - Rozkłady gaussowskie w R^d - trzy równoważne definicje (afiniczny obraz kanonicznego, postać funkcji charakterystycznej, gaussowskość dowolnych liniowych kombinacji), parametry rozkładów gaussowskich - wektor średnich i macierz kowariancji, niezależność współrzędnych wektora gaussowskiego jest równoważna ich nieskorelowaniu, wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne.
• 18 listopada Filtracje i momenty zatrzymania - podstawowe definicje i własności, sigma ciało zdarzeń obserwowalnych do momentu zatrzymania tau, ciągi zmiennych adaptowalne do filtracji, tożsamość Walda, definicje (pod, nad) martyngału, przykłady, transformata martyngałowa
• 25 listopada 2002 - twierdzenie Dooba "optional sampling", zastosowania - inny dowód tożsamości Walda, prawdopodobieństwo ruiny gracza w grze monetą symetryczną, przejścia w góre ciągu przez przedział, oszacowanie liczby przejść w górę dla nadmartyngałów, twierdzenie o zbieżności prawie na pewno nadmartyngałów, przykład - rózniczkowalność funkcji Lipschitzowskich, nierówność mnaksymalna Dooba dla martyngałów.
• 2 grudnia 2002 - jednostajna całkowalność rozdziny zmiennych losowych - dwie równoważne definicje, podstawowe przykłady - rodzina jednoelementowa, rodzina uśrednień po rożnych sigma-ciałach ustalonej zmiennej losowej, rodzina zmajoryzowana przez zmienną całkowalną, zbieżność w L^p jest równoważna zbieżności według prawdopodobieństwa przy założeniu jednostajnej całkowalności p-tych potęg, twierdzenia o zbieżności martyngałów w L^1 i L^p dla p>1, zbieżność martyngałów z czasem odwróconym, zastosowanie - dowód prawa 0-1
• 9 grudnia 2002 - Łańcuchy Markowa - ogólna definicja i przykłady, macierze stochastyczne, macierze przejścia w n-tym kroku i rozkład początkowy łańcucha Markowa, jak na podstawie skończenie wymiarowych rozkładów rozpoznać własność Markowa, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu łańcucha Markowa zadanego przez rozkład początkowy i macierze przejścia. Jednorodne łańcuchy Markowa, prawdopodobieństwo zadające rozkład jednorodnego łańcucha Markowa przy ustalonym rozkładzie początkowym, podstawowe własności, macierz przejścia po n krokach jako potęga macierzy przejścia w jednym kroku, klasyfikacja stanów, łańcuchy nieprzywiedlne, przykłady (w tym błądzenie po kracie d-wymiarowej)
• 16 grudnia 2002 - stany chwilowe i powracające, w nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa wszystkie stany są tego samego typu, do powracającego stanu wracamy nieskończenie wiele razy, a w chwilowym przebywamy skończenie wiele razy, kryterium powracalności, bładzenie w Z^k jest powracające wtedy i tylko wtedy gdy k<=2, stany okresowe, stany komunikujące się mają ten sam okres, rozkłady stacjonarne łańcuchów Markowa, przykłady, twierdzenie ergodyczne dla nieprzywiedlnych, nieokresowych łańcuchów Markowa.
• 7 stycznia 2003 - każdy łańcuch Markowa o skończonej przestrzeni stanów ma rozkład stacjonarny, układ równań na prawdopodobieństwo i średni czas dojścia do ustalonego zbioru stanów. Proces Wienera - motywacja, krótkie wprowadzenie do procesów stochastycznych, procesy o przyrostach niezależnych i stacjonarnych, dwie definicje procesu Wienera i ich równoważność (w szczególności proces Wienera jest jedynym znormalizowanym procesem startującym z zera o ciągłych trajektoriach, przyrostach niezależnych i stacjonarnych całkowalnym z 4ta potęgą).
• 13 stycznia 2003 - procesy gaussowskie, funkcja kowariancji i wartości średniej, proces Wienera jako scentrowany proces gaussowski o ciągłych trajektoriach i odpowiedniej funkcji kowariancji, konstrukcja procesu Wienera na [0,1] za pomocą układu Haara, prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są funkcjami ciągłymi nie różniczkowalnymi w żadnym punkcie.