Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II rok matematyki grupa *

1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - bardzo bliski do programu wykładu, nowocześnie napisany, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - bardzo bliski do programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
4. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
5. Borovkov Rachunek Prawdopodobieństwa - wydaje mi się nieco "za suchy", ale poczytać nikomu nie zaszkodzi
6. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 11 luty 2002 - aksjomatyka Kołmogorowa, przykłady przestrzeni probabilistycznych (prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, dyskretne przestrzenie probabilistyczne), dobór właściwego modelu probabilistycznego - paradoks Bertranda, język prawdopodobieństwa a teoria mnogości - interpretacja limsup i liminf, podstawowe własności prawdopodobieństwa, I część Lematu Borella-Cantelliego, konstruowanie nowych przestrzeni probabilistycznych - eksperyment częściowy, prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite (wzór Bayesa).
• 18 luty 2002 - iloczyn skończonej i nieskończonej liczby przestrzeni probabilistycznych, twierdzenie Caratheodory'ego o przedłużaniu miary, schemat Bernoulliego
• 25 luty 2002 - niezależność zdarzeń i sigma-ciał, lemat o systemach multyplikatywnych (i warianty), niezależność wystarczy sprawdzać na systemie multyplikatywnym generującym sigma-ciało, prawo 0-1 Kołmogorowa, niezależność sigma ciał generowanych przez rozłączne grupy niezależnych sigma-ciał, druga część lematu Borela-Canteliego
• 4 marzec 2002 - definicja zmiennej losowej, rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta zmiennej losowej o wartościach w R^d, dystrybuanta wyznacza rozkład, własności dystrybuanty, niezależność zmiennych losowych, niezależność a rozkład i dystrybuanta, dyskretne zmienne losowe, przegląd ważniejszych rozkładów dyskretnych - rozkład Bernoulliego, dwumianowy, Poissona, rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych
• 11 marzec 2002 - rozkłady dyskretne c.d. - rozkład geometryczny i dwumianowy ujemny; rozkłady ciągłe, gęstość rozkładów, przegląd rozkładów ciągłych, rozkład jednostajny, eksponencjalny, normalny, gamma i Cauchy'ego; Wartość oczekiwana i własności, twierdzenie o zamianie zmiennych, przykłady liczenia wartości średniej (rozkład dwumianowy, Poissona, normalny i Cauchy'ego).
• 18 marzec 2002 - wariancja zmiennej losowej, własności, wariancja rozkładu Poissona i normalnego, nierówność Czebyszewa i Markowa, inne charakterystyki zmiennych losowych - mediana, momenty, kowariancja i korelacja zmiennych losowych, własności, macierz kowariancji wektora losowego, wariancja sumy zmiennych losowych, sumy niezależnych zmiennych losowych - przypadek ogólny (rozkład i dystrybuanta sumy), przypadek dyskretny - suma niezależnych rozkładów dwumianowych i Poissona, przypadek ciągły - wzór na gęstość sumy
• 25 marzec 2002 - suma niezależnych rozkładów normalnych jest normalna, rozkład chi kwadrat z n stopniami swobody. Warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem pojedynczego zdarzenia i sigma ciała generowanego przez przeliczalny podział. Ogólna definicja warunkowej wartości oczekiwanej, zgodność ze wcześniej rozważonym przykładem. Istnienie i jednoznaczność warunkowej wartości oczekiwanej.
• 8 kwiecień 2002 - Własności warunkowej wartości oczekiwanej, twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej oraz Lemat Fatou dla warunkowej wartości oczekiwanej, warunkowa wartość oczekiwana względem zmiennej losowej - krzywa regresji, prawdopodobieństwo warunkowe, regularny rozkład warunkowy.
• 15 kwiecień 2002 - istnienie regularnego rozkładu warunkowego na prostej, zwiazek regularnego rozkładu warunkowego z warunkową wartością oczekiwaną; przegląd nierówności - nierówność Jensena, Holdera, Schwarza, Lyapunowa, Minkowskiego, nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną; różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych - prawie na pewno, według prawdopodobieństwa i według p-tego momentu, która zbieżność implikuje którą, ciąg zbieżny według prawdopodobieństwa ma podciąg zbieżny prawie na pewno
• 22 kwiecień 2002 - zbieżność szeregów losowych - warunek równoważny, przegląd nierówności maksymalnych - nierówności Levy'ego-Octavianiego, Levy'ego, Kołmogorowa, odwrotna nierówność maksymalna Kołmogorowa, twierdzenie Kołmogorowa-Chinczyna, twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach (kryterium zbieżności sum niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych)
• 29 kwietnia 2002 - Wnioski z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach - kryterium zbieżności sum symetrycznych niezależnych zmiennych losowych. Nierówność Paleya-Zygmunda. Losowe szeregi Taylora mają deterministyczny obszar holomorficzności. Słabe prawo wielkich liczb. Przykładowe zastosowanie - wielomiany Bernsteina jako jednostajna aproksymacja funkcji ciągłej na odcinku.
• 6 maja 2002 Silne Prawo Wielkich Liczb i zastosowania -częstościowa definicja prawdopodobieństwa, dystrybuanta empiryczna i twierdzenie Gliwienko-Cantelli o jednostajnej zbieżności dystrybuanty empirycznej p.n.
• 13 maja 2002 Liczby normalne, prawie wszystkie liczby są normalne; Przybliżenia rozkładu dwumianowego - Lokalne Centralne Twierdzenie Granicze de Moivre'a-Laplace'a i Centralne Twierdzenie Graniczne de Moivre'a-Laplace'a
• 27 maja 2002 Proces Poissona - definicja, własności trajektorii, momenty kolejnych skoków i ich interpretacja, konstrukcja procesu Poissona w oparciu o niezależne zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym, skąd się bierze rozkład Poissona, uwagi o innych definicjach procesu Poissona