Biologia - wyniki

Rozwiązania zadań:

Policzyć pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o podanym piątym i siódmym (lub trzecim i piątym) wyrazie.

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego ma postać:

wobec tego iloraz wyrazu siódmego i piątego (lub piątego i trzeciego) jest równy:

W każdej z grup iloraz ten jest równy 4. Zatem q = 2 lub q = – 2.

a. Jeśli to stosując wzór ogólny otrzymamy czyli

Wniosek: pierwszy wyraz danego ciągu jest równy 1. Istnieją dwa ciągi o podanych własnościach, o ilorazie równym +2 lub równym – 2.

Dla pozostałych grup:

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = xe^x w podanym przedziale.

Najmniejszej i największej wartości funkcji f(x) w dowolnym przedziale [a,b] szukamy w następujący sposób. Najpierw sprawdzamy, gdzie nasza funkcje może mieć ekstrema lokalne, czyli liczymy jej pochodną i przyrównujemy tę pochodną do 0:

Zatem gdyż funkcja eksponencjalna jest zawsze dodatnia.

Ostatecznie, jedynym punktem, gdzie może wystąpić ekstremum lokalne, jest x = – 1. Teraz należy sprawdzić, czy punkt ten należy do badanego przedziału.

a. Dla przedziału [– 2,2] znaleziony punkt leży w jego wnętrzu. Aby znaleźć wartość najmniejszą i największą, porównujemy liczby f(– 2), f(– 1) oraz f(2) (czyli na brzegach przedziału i w punkcie, gdzie może wystąpić ekstremum lokalne). Mamy:

Ponieważ f(2) jest dodatnie, a pozostałe wartości są ujemne, to f(2) jest wartością największą. Musimy jeszcze wybrać mniejszą z dwóch liczb f(– 2) i f(– 1). Zauważmy, że

czyli f(– 1) jest najmniejsze.

Wniosek: w przedziale [– 2,2] wartością najmniejszą funkcji f(x) jest natomiast wartością największą jest

Dla pozostałych grup:

b. zatem porównujemy f(1) i f(3). Mamy f(1) = e oraz Ponieważ f(1) > f(3), to f_min = e i f_max = 3e³.

c. zatem porównujemy f(0) i f(2). Mamy f(0) = 0 oraz Ponieważ f(2) > f(0), to f_min = 0 i f_max = 2e².

d. zatem porównujemy f(– 2) i f(– 3). Mamyoraz Ponieważ 3 < 2e, to f(– 3) > f(– 2), czyli f_min = – 2e– ² i f_max = – 3e– ³.

e. ale jest równocześnie punktem brzegowym zatem znów porównujemy f(– 1) i f(– 2). Mamyoraz Wiemy już, że f(– 2) > f(– 1), czyli f_min = – e– ¹ i f_max = – 2e– ².

f. czyli sytuacja jest analogiczna jak w punkcie e. Porównujemy f(– 1) i f(2). Ponieważ f(2) jest dodatnie, a f(– 1) jest ujemne, to f_min = – e– ¹ i f_max = 2e².

g. zatem znów analogicznie jak w e. Porównujemy f(– 1) i f(– 3). Mamyoraz Wiemy już, że f(– 3) > f(– 2) i f(– 2) > f(– 1), czyli

f_min = – e– ¹ i f_max = – 3e– ³.

h. ale teraz jest to punkt wewnętrzny, zatem sytuacja jest analogiczna jak w punkcie a. Porównujemy f(– 2), f(– 1) i f(0). Dwie pierwsze wartości są ujemne, natomiast f(0) = 0, zatem jest to wartość największa. Z poprzednich punktów wiadomo, że

f(– 2) > f(– 1), czyli f_min = – e– ¹ i f_max = 0.

Zbadaj, ile ekstremów (minimów, maksimów) ma funkcja g(x) = xsinx w podanym przedziale.

Ekstrema lokalne funkcji g(x) są to punkty, w których g’(x) = 0 oraz g’(x) zmienia znak. Jeśli zmienia znak z – na +, to mamy minimum lokale, a jeśli z + na – , to mamy maksimum lokalne. Liczymy pochodną

Miejsca zerowe pochodnej są to zatem punkty, w których przecinają się wykresy funkcji y = x oraz (oczywiście dla ).

a. b. c. Analizując oba te wykresy widzimy, że w podanej dziedzinie mamy 3 punkty przecięcia, Musimy teraz zbadać zmianę znaku pochodnej. Zobaczmy, kiedy Załóżmy, że Wtedy cosinus jest dodatni i nasza nierówność jest równoważna nierówności Natomiast w pozostałym fragmencie dziedziny (pod warunkiem określoności tangensa) cosinus jest ujemny, zatem dodatniość pochodnej jest równoważna nierówności Podsumowując, pochodna jest dodatnia dla W pozostałych przedziałach pochodna jest ujemna. Ostatecznie w x₁ i w x₂ lokalne, a w x₂ jest minimum lokalne. Mamy więc dwa maksima lokalne, jedno minimum lokalne i w sumie trzy ekstrema lokalne.

d. e. f. W zadanej dziedzinie leżą punkty x₂ i x₃ oraz nie ma innych przecięć analizowanych wykresów. Zatem jest jedno minimum i jedno maksimum lokalne. W sumie wda ekstrema lokalne.

g. h. Z kolei teraz są tylko punkty x₁ i x₂ , czyli jak w d. e. jest jedno minimum i jedno maksimum lokalne.

4. Policzyć granicę

gdzie f(x) jest wielomianem drugiego lub trzeciego stopnia. Zauważmy, że dla x < 0 zachodzi czyli oraz gdzie znak zależy od stopnia wielomianu (+ dla wielomianu kwadratowego, natomiast – dla wielomianu stopnia trzeciego). Mamy zatem symbol nieoznaczony możemy więc zastosować regułę de l’Hospitala:

Zauważmy, że dla dowolnego wielomianu jego pochodna jest wielomianem o jeden stopień niższym, zatem f’(x) jest funkcją liniową lub kwadratową, czyli xf’(x) jest znów wielomianem stopnia drugiego lub trzeciego, analogicznie jak wyjściowa funkcja f(x). Po zastosowaniu reguły de l’Hospitala otrzymujemy zatem iloraz, który w liczniku ma 1, a mianownik dąży do nieskończoności Jest to już symbol oznaczony, czyli poszukiwana granica jest równa 0.

Policzyć wartość średnią funkcji sinus (lub cosinus) w zadanych przedziałach.

Wartość średnia funkcji h(x) w przedziale [a,b] jest równa:

Zauważmy, że funkcją pierwotną dla funkcji h(x) = sinx jest funkcja H(x) = – cosx (bo pochodną cosinusa jest sinus z przeciwnym znakiem) oraz funkcją pierwotną dla funkcji h(x) = cosx jest funkcja H(x) = sinx.

Zauważmy również, że funkcja sinx jest antysymetryczna, czyli sin(– x) = – sinx. Zatem jeśli rozważamy całkę w przedziale symetrycznym względem środka układu współrzędnych, to całka ta będzie się równać 0, gdyż na prawo od zera mamy funkcję dodatnią, a na lewo od zera identycznie wyglądającą funkcję ujemną, pola pod wykresem będą takie same, ale całki mają przeciwne znaki, więc obie całki się zniosą. Taka sama sytuacja powtórzy się, jeśli środkiem przedziału będzie dowolny punkt postaci gdzie k jest liczbą całkowitą (co wynika z okresowości i własności funkcji sinx). Ponieważ funkcje sinus i cosinus są przesunięte względem siebie, to opisana powyżej własność dotyczy również cosinusa, z tym że środkiem przedziału musi być teraz punkt Wobec tego w każdym z punktów jedna z wartości średnich jest równa 0 i pozostaje policzyć drugą:

h. 6. Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji w(x) = x⁴ – 6x³ + 12x² +12x + 6 (lub w(x) = –x⁴ + 6x³ – 12x² +12x – 6) leżące w zadanym przedziale.

Aby znaleźć punkty przegięcia danej funkcji, trzeba policzyć drugą pochodną i wyznaczyć punkty, w których zmienia ona znak.

Dla drugiej funkcji w₂(x) = – x⁴+6x^3–12x²+12x– 6 dostajemy w₂’’(x) = – w’’(x), zatem punkty przegięcia będą dokładnie takie same. Widzimy, że oraz że w każdym z tych punktów druga pochodna zmienia znak (w x = 2 z – na +, a w x = 1 z + na – ), zatem oba punkty są punktami przegięcia. Teraz pozostaje sprawdzić, które z tych punktów należą do wymienionych dziedzin.

a. g. Zatem jedynym punktem przegięcia w podanej dziedzinie jest x = 1.

b. zatem żaden z punktów nie należy do dziedziny, czyli nie ma w niej punktów przegięcia.

c. d. x = 2 jest punktem przegięcia z dziedziny.

e. czyli punktów przegięcia w dziedzinie brak.

f. g. zatem oba punkty przegięcia x = 1 i x = 2 leżą w dziedzinie.

7. Znaleźć wzór ogólny ciągu zadanego formułą rekurencyjną.

Wypisujemy kilka pierwszych wyrazów ciągu:

Wygląda na to, że Pokażemy to indukcyjnie. Sprawdzenie dla n = 1 już mamy, założenie indukcyjne dla ustalonego n właśnie napisaliśmy, teraz trzeba pokazać, że taki sam wzór obowiązuje dla n + 1, czyli Z definicji rekurencyjnej wynika, że

Wobec tego nasz postulat jest prawdziwy.

Tu postulujemy Podobnie jak w poprzednim punkcie:

Teraz Mamy:

czyli Mamy:

Stąd w mianowniku jest n + 1, a w liczniku 2n, czyli Dla n = 1 zachodzi zatem wzór się zgadza. Dla n > 1 mamy:

Wygląda na to, że Dla n = 1 mamy n + 1 = 2 i 2n = 2, czyli wzór się zgadza. Dla większych n

Tu postulujemy Dla n = 1 mamy 2(n + 1) = 4, czyli wzór jest prawdziwy.

czyli Mamy:

8. Zbadać znak całki.

Obie funkcje oraz są antysymetryczne (moduły obu funkcji sinus i cosinus są symetryczne, po pomnożeniu przez x dostajemy funkcję antysymetryczną). Podobnie jak w zadaniu 5., gdyby przedział, po którym całkujemy, był symetryczny względem 0, całka równałaby się 0. Wobec tego dzielimy przedział całkowania na dwa podprzedziały – symetryczny względem 0 i resztę, a następnie badamy znak całkowanej funkcji na “reszcie”. Całka będzie miała taki sam znak jak funkcja podcałkowa.

a. b. Funkcja jest dodatnia dla dodatnich x różnych od wielokrotności a jest dodatnia dla dodatnich x różnych od wielokrotności zatem całka jest dodatnia.

c. d. Funkcja jest ujemna dla ujemnych x różnych od wielokrotności a jest ujemna dla ujemnych x różnych od wielokrotności zatem całka jest ujemna.

e. f. Analogicznie jak w punktach a. i b. całka jest dodatnia.

g. h. Analogicznie jak w punktach c. i d. całka jest ujemna.

9. Populacja opisana jest za pomocą modelu uwzględniającego dwa procesy – albo rozrodczość albo śmiertelność i emigrację albo imigrację. Znamy liczebność początkową oraz współczynnik rozrodczości/śmiertelności. Jeśli zadany jest współczynnik migracji, to trzeba policzyć liczebność po trzech latach, a jeśli zadana jest liczebność po trzech latach, to trzeba policzyć współczynnik migracji.

a. e. Proces rozrodczości z emigracją możemy opisać za pomocą równania: