\input amstex
\input cm-plchr.ppt
\documentstyle{amsppt}
\magnification 1200 \nopagenumbers \noindent
\parindent = 0pt
\parskip=10pt
\def\begintest{}
\baselineskip=16pt
\hsize=460 true pt
%\vsize=700 true pt
\voffset=-20pt
%horizontal size \the\hsize
%vertical size \the\vsize
%\pagewidth{6.5 true in}
%\pagelength{6.5 true in} 
\def\endbox
{\thinspace\vbox{\hrule height .5pt \hbox{\vrule  width.5pt
depth2pt\vbox to 10pt{\hbox to 15pt{}} \vrule width .5pt depth2pt}
\hrule height 0pt depth .5pt}\hskip 5pt}
\def\checkbox {\hskip -27pt\thinspace\vbox{\hrule height .5pt \hbox{\vrule  width.5pt
depth2pt\vbox to 10pt{\hbox to 15pt{}} \vrule width .5pt depth2pt}
\hrule height 0pt depth .5pt}\hskip 5pt}
\newcount\q \q=0
\def\df{\text{Definicja}}
\def\nref{\global\advance\q by1 \the\q.\ }
\def\tr{\triangleleft \hskip -7pt\lower1pt\hbox{\_\hskip -3pt\_}\hskip 2pt}
\font\sf=cmss10
\def\ch{\raise3pt\hbox{$\,\underset\text{ch}\to\trianglelefteq\,$}}

\def\tak{\checkbox}
\def\nie{\checkbox}
\def\N{\Bbb N}
\def\Z{\Bbb Z}
\def\R{\Bbb R}
\def\C{\Bbb C}
\def\Q{\Bbb Q}
%\def\tak{\hskip -30pt\thinspace{\bf TAK\;}}
%\def\nie{\hskip -30pt\thinspace{\bf NIE\;}\hskip 4pt}

{\bf Imi"e i nazwisko:} $\underline{\hbox{ \hskip 12.3true cm}}$\medskip
{\bf Do oceny przeznaczam uzasadnienia odpowiedzi na pytania:} $\underline{\hbox{ \hskip 3true cm}}$\hfill\break\medskip


Punktacja: odpowied"z prawid"lowa: 2 punkty, b"l"edna: $-1$
punkt,  brak odpowiedzi: 0 punkt"ow, maksymalna "l"aczna
punktacja: 38 punkt"ow. Nale"ry uzasadni"c na pi"smie odpowiedzi na
cztery spo"sr"od pyta"n oznaczonych gwiazdkami (ocena: 0 -- 10 punkt"ow, maksymalna
"l"aczna punktacja: 38 punkt"ow). Nie b"ed"a oceniane uzasadnienia
odpowiedzi na pytania nie oznaczone gwiazdkami. Uzasadnienia odpowiedzi na dwa ostanie pytania,
oznaczone dwiema gwiazdkami, mog"a by"c podane osobno i s"a liczone oddzielnie 
(mo"rna za nie uzyska"c dodatkowo po 10 punkt"ow, cho"cby punktacja z uzasadnie"n przekroczy"la 38).

$\underline{\hbox{ \hskip 12.85cm}}$

\tak\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a. W"owczas funkcja
$d_0$ zadana wzorem $d_0(x,y) = min(d(x,y),2009)$ jest metryk"a na zbiorze $X,$ wyznaczaj"ac"a 
t"e sam"a topologi"e co topologia wyznaczona przez metryk"e $d.$

\tak\nref Przestrze"n topologiczna $X$ ma nast"epuj"ac"a w"lasno"s"c:
{\sl istnieje punkt $x_0\in X,$ taki "re $X - \{x_0\}$ ma dwie sk"ladowe sp"ojno"sci,
kt"orych domkni"ecia w przestrzeni $X$ s"a zwarte}. W"owczas ka"rda przestrze"n homeomorficzna 
z przestrzeni"a $X$ r"ownie"r ma opisan"a w"la\-sno"s"c.

\nie\nref Ka"rda sko"nczona przestrze"n topologiczna $(X,\Cal{T})$ jest metryzowalna, to znaczy
istnieje taka metryka na zbiorze $X$, "re topologi"a wyznaczon"a przez t"e metryk"e jest w"la"snie
topologia $\Cal{T}$.

\tak\nref Ka"rda sko"nczona przestrze"n topologiczna Hausdorffa $(X,\Cal{T})$ jest metryzowalna, to znaczy
istnieje taka metryka na zbiorze $X$, "re topologi"a wyznaczon"a przez t"e metryk"e jest w"la"snie
topologia $\Cal{T}$.

\tak\nref Na zbiorze $X=\{1,2,\ldots,2009\}$ okre"slamy topologi"e w taki spos"ob, "re jedynymi 
zbiorami otwartymi s"a $\emptyset$ oraz wszystkie zbiory postaci $\{1,\ldots,k\}, k\leq 2009.$
W"owczas, dla ka"rdej 
funkcji ci"ag"lej $f\colon X\longrightarrow X,$ takiej "re $f(X) = X$ istnieje punkt 
$x\in X,$ taki "re $f(x) = x$ (nie domagamy si"e
tego, "reby taki punkt by"l dok"ladnie jeden).

\tak\nref  Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a. W przestrzeni $X\times X$ rozpatrujemy 
podprzestrze"n $\Delta = \{(x,x): x\in X\}.$ W"owczas przestrze"n $\Delta$ jest homeomorficzna
z $X.$

\nie\nref Je"reli $(X,d)$ jest przestrzeni"a metryczn"a zwart"a, a $A\subseteq X$ jest 
jej podprzestrzeni"a zupe"ln"a, to przestrze"n $A$ jest zwarta.

\tak\nref W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje niesko"nczony zbi"or punkt"ow
(czyli funkcji), taki "re ka"rde dwa r"o"rne punkty z tego zbioru s"a odleg"le o $1.$

\nie\nref  * W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje zbi"or mocy continuum punkt"ow
(czyli funkcji), taki "re ka"rde dwa r"o"rne punkty z tego zbioru s"a odleg"le o $1.$

\nie\nref * Niech $W$ b"edzie podprzestrzeni"a w $(C[0,1],d_{sup})$ z"lo"ron"a ze
wszystkich wielomian"ow o wsp"o"lczynnikach wymiernych (i tylko z nich). W"owczas przestrze"n
$W$ jest metryzowalna w spos"ob zupe"lny.

\tak\nref Przestrze"n $(C[0,1],d_{sup})$ jest "sci"agalna.

\tak\nref Przestrze"n $(C[0,1],d_{sup})$ jest zwarta.

\nie\nref * Przestrze"n ilorazowa $\R/\Q$ (chodzi o iloraz przez tak"a relacj"e $\sim$, "re
$x\sim y \leftrightarrow (x=y$ lub $x,y \in \Q)$ jest antydyskretna (to znaczy: jedynymi zbiorami
otwartymi s"a zbi"or pusty i ca"la przestrze"n).

\nie\nref * Przestrze"n ilorazowa $\R/\Q$ (chodzi o iloraz przez tak"a relacj"e $\sim$, "re
$x\sim y \leftrightarrow (x=y$ lub $x,y \in \Q)$ jest przestrzeni"a Hausdorffa.

\tak\nref * Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Niech 
$f\colon X\longrightarrow X$ b"edzie odwzorowaniem zw"e"raj"acym, to znaczy takim "re istnieje 
$0\leq \lambda <1,$ taka
"re $$\forall_{x\neq y\in X}\  d(f(x),f(y)) < \lambda \cdot d(x,y).$$ W"owczas istnieje dok"ladnie jedna 
sk"ladowa $C$ przestrzeni $X,$ taka "re $f(C) \subseteq C.$

\nie\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Niech 
$f\colon X\longrightarrow X$ b"edzie odwzorowaniem spe"lniaj"acym warunek:
$$\forall_{x\neq y\in X}\  d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$ 
W"owczas istnieje taka sk"ladowa $C$ przestrzeni $X,$ "re $f(C) \subseteq C.$

\nie\nref * Rozpatrzmy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie w przestrzeni 
euklidesowej $\R^2$:
$X= ([0,\infty)\times\{0\})\cup (\N\times [0,1])$ (przyjmujemy, "re $0\in \N$),
$Y = (\R\times\{0\}) \cup (\Z\times [0,1])$. W"owczas przestrzenie 
$X$ i $Y$ s"a homeomorficzne.

\nie\nref * W przestrzeni $(\R^2,d_r)$ (p"laszczyzna z metryk"a rzeka) istnieje
podprzestrze"n homeomorficzna z okr"egiem euklidesowym $S^1.$

\nie\nref * Je"reli przestrzenie topologiczne $X$ i $Y$ s"a homotopijnie r"ownowa"rne, 
to istnieje odwzorowanie ci"ag"le $f\colon X\longrightarrow Y,$ takie "re $f(X) = Y.$

\nie\nref Niech $X$ b"edzie sum"a dw"och zewn"etrznie stycznych okr"eg"ow o promieniu $1$
na p"lasz\-czy"z\-nie $\R^2$. W"owczas ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly, to znaczy taki, "re $f(x) = x.$

\tak\nref Niech $X$ b"edzie sum"a dw"och zewn"etrznie stycznych domkni"etych k"o"l o promieniu $1$
na p"lasz\-czy"z\-nie $\R^2$. W"owczas ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly, to znaczy taki, "re $f(x) = x.$

\tak\nref Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a, tak"a "re ka"rde odwzorowanie
ci"ag"le\break $f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly. Niech $A\subseteq X$ i niech 
$r\colon X\longrightarrow A$ b"edzie retrakcj"a (to znaczy odwzorowaniem ci"ag"lym, takim "re 
dla wszystkich $a\in A$ zachodzi $r(a) = a$). W"owczas tak"re ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$h\colon A\longrightarrow A$ ma punkt sta"ly.

\nie\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Przypu"s"cmy, "re dla 
ka"rdej liczby dodatniej $M$ istnieje metryka $d_M$ na zbiorze $X,$ taka "re topologia wyznaczona
przez $d_M$ jest identyczna z topologi"a wyznaczon"a przez $d$ i ponadto w przestrzeni $(X,d_M)$ 
odleg"lo"s"c dowolnych dw"och punkt"ow nie przekracza $M.$ W"owczas przestrze"n $X$ jest zwarta.

\nie\nref {\bf **} Na zbiorze $X=\{1,2,\ldots,2008\}$ okre"slamy topologi"e w taki spos"ob, "re jedynymi 
zbiorami otwartymi s"a $\emptyset$ oraz wszystkie zbiory postaci $\{1,\ldots,k\}, k\leq 2008.$
W"owczas przestrze"n topologiczna $X$ ma w"lasno"s"c punktu sta"lego, to znaczy: dla ka"rdej 
funkcji ci"ag"lej $f\colon X\longrightarrow X$ istnieje punkt $x\in X,$ taki "re $f(x) = x$ (nie domagamy si"e
tego, "reby taki punkt by"l dok"ladnie jeden).

\tak\nref {\bf**}  W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje podprzestrze"n 
homeomorficzna ze sfer"a $S^{2009}.$

\bye
