Imie_{}i nazwisko:

Do oceny przeznaczam uzasadnienia odpowiedzi na pytania:

Punktacja: odpowiedź prawidłowa: 2 punkty, błe_{}dna: −1 punkt, brak odpowiedzi: 0 punktów, maksymalna ła_{}czna punktacja: 38 punktów. Należy uzasadnić na piśmie odpowiedzi na cztery spośród pytań oznaczonych gwiazdkami (ocena: 0 – 10 punktów, maksymalna ła_{}czna punktacja: 38 punktów). Nie be_{}da_{}oceniane uzasadnienia odpowiedzi na pytania nie oznaczone gwiazdkami. Uzasadnienia odpowiedzi na dwa ostanie pytania, oznaczone dwiema gwiazdkami, moga_{}być podane osobno i sa_{}liczone oddzielnie (można za nie uzyskać dodatkowo po 10 punktów, choćby punktacja z uzasadnień przekroczyła 38).

1. Niech (X, d) be_{}dzie przestrzenia_{}metryczna_{}. Wówczas funkcja d_{0} zadana wzorem d_{0}(x, y) = min(d(x, y), 2009) jest metryka_{}na zbiorze X, wyznaczaja_{}ca_{}te_{}sama_{}topologie_{} co topologia wyznaczona przez metryke_{}d.

2. Przestrzeń topologiczna X ma naste_{}puja_{}ca_{}własność: istnieje punkt x_{0} ∈ X, taki że X − {x_{0}} ma dwie składowe spójności, których domknie_{}cia w przestrzeni X sa_{}zwarte. Wówczas każda przestrzeń homeomorficzna z przestrzenia_{}X również ma opisana_{}własność.

3. Każda skończona przestrzeń topologiczna (X, T ) jest metryzowalna, to znaczy istnieje taka metryka na zbiorze X, że topologia_{}wyznaczona_{}przez te_{}metryke_{}jest właśnie topologia T .

4. Każda skończona przestrzeń topologiczna Hausdorffa (X, T ) jest metryzowalna, to znaczy istnieje taka metryka na zbiorze X, że topologia_{}wyznaczona_{}przez te_{}metryke_{} jest właśnie topologia T .

5. Na zbiorze X = {1, 2, …, 2009} określamy topologie_{}w taki sposób, że jedynymi zbiorami otwartymi sa_{}∅ oraz wszystkie zbiory postaci {1, …, k}, k ≤ 2009. Wówczas, dla każdej funkcji cia_{}głej f: X ⟶ X, takiej że f(X) = X istnieje punkt x ∈ X, taki że f(x) = x (nie domagamy sie_{}tego, żeby taki punkt był dokładnie jeden).

2

6. Niech X be_{}dzie przestrzenia_{}topologiczna_{}. W przestrzeni X × X rozpatrujemy podprzestrzeń Δ = {(x, x) : x ∈ X}. Wówczas przestrzeń Δ jest homeomorficzna z X.

7. Jeżeli (X, d) jest przestrzenia_{}metryczna_{}zwarta_{}, a A ⊆ X jest jej podprzestrzenia_{} zupełna_{}, to przestrzeń A jest zwarta.

8. W przestrzeni (C[0, 1], d_{sup}) istnieje nieskończony zbiór punktów (czyli funkcji), taki że każde dwa różne punkty z tego zbioru sa_{}odległe o 1.

9. * W przestrzeni (C[0, 1], d_{sup}) istnieje zbiór mocy continuum punktów (czyli funkcji), taki że każde dwa różne punkty z tego zbioru sa_{}odległe o 1.

10. * Niech W be_{}dzie podprzestrzenia_{}w (C[0, 1], d_{sup}) złożona_{}ze wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych (i tylko z nich). Wówczas przestrzeń W jest metryzowalna w sposób zupełny.

11. Przestrzeń (C[0, 1], d_{sup}) jest ścia_{}galna.

12. Przestrzeń (C[0, 1], d_{sup}) jest zwarta.

13. * Przestrzeń ilorazowa ℝ/ℚ (chodzi o iloraz przez taka_{}relacje_{}∼, że x ∼ y ↔ (x = y lub x, y ∈ ℚ) jest antydyskretna (to znaczy: jedynymi zbiorami otwartymi sa_{}zbiór pusty i cała przestrzeń).

14. * Przestrzeń ilorazowa ℝ/ℚ (chodzi o iloraz przez taka_{}relacje_{}∼, że x ∼ y ↔ (x = y lub x, y ∈ ℚ) jest przestrzenia_{}Hausdorffa.

15. * Niech (X, d) be_{}dzie przestrzenia_{}metryczna_{}zupełna_{}. Niech f: X ⟶ X be_{}dzie odwzorowaniem zwe_{}żaja_{}cym, to znaczy takim że istnieje 0 ≤ λ < 1, taka że

∀_{x≠y∈X} d(f(x), f(y)) < λ · d(x, y).

Wówczas istnieje dokładnie jedna składowa C przestrzeni X, taka że f(C) ⊆ C.

16. Niech (X, d) be_{}dzie przestrzenia_{}metryczna_{}zupełna_{}. Niech f: X ⟶ X be_{}dzie odwzorowaniem spełniaja_{}cym warunek:

∀_{x≠y∈X} d(f(x), f(y)) < d(x, y).

Wówczas istnieje taka składowa C przestrzeni X, że f(C) ⊆ C.

17. * Rozpatrzmy naste_{}puja_{}ce dwie podprzestrzenie w przestrzeni euklidesowej ℝ^{2}: X = ([0, ∞)×{0})∪(ℕ×[0, 1]) (przyjmujemy, że 0 ∈ ℕ), Y = (ℝ×{0})∪(ℤ×[0, 1]). Wówczas przestrzenie X i Y sa_{}homeomorficzne.

18. * W przestrzeni (ℝ^{2}, d_{r}) (płaszczyzna z metryka_{}rzeka) istnieje podprzestrzeń homeomorficzna z okre_{}giem euklidesowym S^{1}.

19. * Jeżeli przestrzenie topologiczne X i Y sa_{}homotopijnie równoważne, to istnieje odwzorowanie cia_{}głe f: X ⟶ Y, takie że f(X) = Y.

20. Niech X be_{}dzie suma_{}dwóch zewne_{}trznie stycznych okre_{}gów o promieniu 1 na płaszczyźnie ℝ^{2}. Wówczas każde odwzorowanie cia_{}głe f: X ⟶ X ma punkt stały, to znaczy taki, że f(x) = x.

21. Niech X be_{}dzie suma_{}dwóch zewne_{}trznie stycznych domknie_{}tych kół o promieniu 1 na płaszczyźnie ℝ^{2}. Wówczas każde odwzorowanie cia_{}głe f: X ⟶ X ma punkt stały, to znaczy taki, że f(x) = x.

22. Niech X be_{}dzie przestrzenia_{}topologiczna_{}, taka_{}że każde odwzorowanie cia_{}głe f: X ⟶ X ma punkt stały. Niech A ⊆ X i niech r: X ⟶ A be_{}dzie retrakcja_{}(to znaczy odwzorowaniem cia_{}głym, takim że dla wszystkich a ∈ A zachodzi r(a) = a). Wówczas także każde odwzorowanie cia_{}głe h: A ⟶ A ma punkt stały.

23. Niech (X, d) be_{}dzie przestrzenia_{}metryczna_{}zupełna_{}. Przypuśćmy, że dla każdej liczby dodatniej M istnieje metryka d_{M} na zbiorze X, taka że topologia wyznaczona przez d_{M} jest identyczna z topologia_{}wyznaczona_{}przez d i ponadto w przestrzeni (X, d_{M}) odległość dowolnych dwóch punktów nie przekracza M. Wówczas przestrzeń X jest zwarta.

24. ** Na zbiorze X = {1, 2, …, 2008} określamy topologie_{}w taki sposób, że jedynymi zbiorami otwartymi sa_{}∅ oraz wszystkie zbiory postaci {1, …, k}, k ≤ 2008. Wówczas przestrzeń topologiczna X ma własność punktu stałego, to znaczy: dla każdej funkcji cia_{}głej f: X ⟶ X istnieje punkt x ∈ X, taki że f(x) = x (nie domagamy sie_{}tego, żeby taki punkt był dokładnie jeden).

25. ** W przestrzeni (C[0, 1], d_{sup}) istnieje podprzestrzeń homeomorficzna ze sfera_{}S^{2009}.