\input amstex
\input cm-plchr.ppt
\documentstyle{amsppt}
\magnification 1200 \nopagenumbers \noindent
\parindent = 0pt
\parskip=10pt
\def\begintest{}
\baselineskip=16pt
\hsize=460 true pt
%\vsize=700 true pt
\voffset=-20pt
%horizontal size \the\hsize
%vertical size \the\vsize
%\pagewidth{6.5 true in}
%\pagelength{6.5 true in} 
\def\endbox
{\thinspace\vbox{\hrule height .5pt \hbox{\vrule  width.5pt
depth2pt\vbox to 10pt{\hbox to 15pt{}} \vrule width .5pt depth2pt}
\hrule height 0pt depth .5pt}\hskip 5pt}
\def\checkbox {\hskip -27pt\thinspace\vbox{\hrule height .5pt \hbox{\vrule  width.5pt
depth2pt\vbox to 10pt{\hbox to 15pt{}} \vrule width .5pt depth2pt}
\hrule height 0pt depth .5pt}\hskip 5pt}
\newcount\q \q=0
\def\df{\text{Definicja}}
\def\nref{\global\advance\q by1 \the\q.\ }
\def\tr{\triangleleft \hskip -7pt\lower1pt\hbox{\_\hskip -3pt\_}\hskip 2pt}
\font\sf=cmss10
\def\ch{\raise3pt\hbox{$\,\underset\text{ch}\to\trianglelefteq\,$}}

\def\tak{\checkbox}
\def\nie{\checkbox}
\def\N{\Bbb N}
\def\Z{\Bbb Z}
\def\R{\Bbb R}
\def\C{\Bbb C}
\def\Q{\Bbb Q}
%\def\tak{\hskip -30pt\thinspace{\bf TAK\;}}
%\def\nie{\hskip -30pt\thinspace{\bf NIE\;}\hskip 4pt}

{\bf Imi"e i nazwisko:} $\underline{\hbox{ \hskip 12.3true cm}}$\medskip
{\bf Do oceny przeznaczam uzasadnienia odpowiedzi na pytania:} $\underline{\hbox{ \hskip 3true cm}}$\hfill\break\medskip


Punktacja: odpowied"z prawid"lowa: 2 punkty, b"l"edna: $-1$
punkt,  brak odpowiedzi: 0 punkt"ow, maksymalna "l"aczna
punktacja: 38 punkt"ow. Nale"ry uzasadni"c na pi"smie odpowiedzi na
cztery spo"sr"od pyta"n oznaczonych gwiazdkami (ocena: 0 -- 10 punkt"ow, maksymalna
"l"aczna punktacja: 38 punkt"ow). Nie b"ed"a oceniane uzasadnienia
odpowiedzi na pytania nie oznaczone gwiazdkami. Uzasadnienia odpowiedzi na dwa ostanie pytania,
oznaczone dwiema gwiazdkami, mog"a by"c podane osobno i s"a liczone oddzielnie 
(mo"rna za nie uzyska"c dodatkowo po 10 punkt"ow, cho"cby punktacja z uzasadnie"n przekroczy"la 38).

$\underline{\hbox{ \hskip 12.85cm}}$

\tak\nref Je"reli produkt dw"och niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzeni"a sp"ojn"a,
to ka"rda z tych przestrzeni jest sp"ojna.

\nie\nref Niech $X$ b"edzie sum"a dw"och zewn"etrznie stycznych sfer o promieniu $1,$
w przestrzeni euklidesowej $\R^3$. W"owczas ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly, to znaczy taki, "re $f(x) = x.$

\tak\nref Je"reli $X$ i $Y$ s"a przestrzeniami topologicznymi, $Y$ jest niesp"ojna i 
istnieje ci"ag"le odwzorowanie $f\colon X \longrightarrow Y$, takie "re $f(X) = Y,$
to przestrze"n $X$ te"r jest niesp"ojna.

\nie\nref Przestrze"n $(\R^2,d_k)$ (czyli p"laszczyzna z metryk"a kolejow"a) jest o"srodkowa 
(to znaczy: posiada podzbi"or g"esty mocy $\leq \aleph_0$).

\nie\nref W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje podprzestrze"n homeomorficzna z p"laszczyzn"a 
$(\R^2,d_k)$ (to znaczy p"laszczyzn"a z metryk"a kolejow"a).

\nie\nref Istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni $S^{2009}$ (to znaczy sfery euklidesowej) 
na prze\-strze"n $(C[0,1],d_{sup})$.

\tak\nref Niech $D_n$ oznacza kul"e domkni"et"a w przestrzeni euklidesowej wymiaru $n$.
Niech $f\colon D_n \longrightarrow C[0,1]$ b"edzie odwzorowaniem ci"ag"lym w przestrze"n 
funkcji ci"ag"lych $C[0,1]$.
W"owczas $f(D_n)$ jest podzbiorem domkni"etym i brzegowym w $C[0,1]$.

\tak\nref W przestrzeni $(\R^2,d_r)$ (p"laszczyzna z metryk"a rzeka) ka"rdy niepusty podzbi"or 
sp"ojny\vfill\eject jest "sci"agalny.

\tak\nref Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a, a $C$ sk"ladow"a sp"ojno"sci w 
tej przestrzeni. W"owczas $C$ jest zbiorem domkni"etym w $X.$

\tak\nref Przestrze"n $(C[0,1],d_{sup})$ posiada baz"e mocy $\leq \aleph_0$.

\nie\nref Przestrze"n  $(\R^2,d_r)$ (p"laszczyzna z metryk"a rzeka) posiada baz"e mocy $\leq \aleph_0$.

\nie\nref W przestrzeni euklidesowej $\R^2$ rozpatrujemy podprzestrzenie
$$A=([-1,1]\times [-1,1])\setminus \{(1,1),(-1,-1)\}$$ i 
$$B=([-1,1]\times [-1,1])\setminus \{(1,1)\}.$$
W"owczas $A$ i $B$ s"a homeomorficzne.

\nie\nref W przestrzeni eukldesowej $\R^2$ rozpatrujemy podprzestrzenie
$$A=([-1,1]\times [-1,1])\setminus \{(1,1),(-1,-1)\}$$ i 
$$B=([-1,1]\times [-1,1])\setminus \{(1,1)\}.$$
W"owczas $A$ i $B$ s"a homotopijnie r"ownowa"rne.

\nie\nref Ka"rda przestrze"n topologiczna $X$, taka "re $2\leq |X| < \aleph_0,$ jest niesp"ojna.

\tak\nref * Je"reli istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni topologicznej $X$ na
przestrze"n dy\-skret\-n"a $n$-punktow"a, to przestrze"n $X$ ma nie mniej ni"r 
$n$ sk"ladowych.

\tak\nref W przestrzeni $(\R^2,d_e)$ istnieje podzbi"or, kt"ory nie jest ani otwarty
ani domkni"ety.

\tak\nref Jez"reli przestrze"n $X$ ma dok"ladnie trzy sk"ladowe sp"ojno"sci, to sk"ladowe 
s"a zbiorami jednocze"snie domkni"etymi i otwartymi.

\nie\nref * W przestrzeni euklidesowej $\R^2$ rozpatrujemy podprzestrzenie 
$$X= \big((0,\infty)\times \{0\}\big) \cup \big(\bigcup_{n=1}^\infty \{{1\over n}\} \times [-1,1]\big)
\cup \big(\{0\}\times [-1,1]\big) \setminus \{(0,0)\}$$
i 
$$Y= X\cup \big(\{0\}\times [-2,2]\big) \setminus \{(0,0)\}.$$
W"owczas $X$ i $Y$ s"a homeomorficzne.

\tak\nref * Je"reli $n$-elementowa przestrze"n topologiczna $X$ ma 
$n$ sk"ladowych sp"ojno"sci, to przestrze"n $X$ jest dyskretna.

\nie\nref * W przestrzeni euklidesowej $\R^2$ rozpatrujemy podzbi"or
$$X= \big((0,\infty)\times \{0\}\big) \cup \big(\bigcup_{n=1}^\infty \{{1\over n}\} \times [-1,1]\big)
\cup \big(\{0\}\times [-1,1]\big) \setminus \{(0,0)\}.$$
Zbi"or $X$ jest sp"ojny.

\nie\nref Niech $X=[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1].$
Niech $A= X\setminus \{(1,1,1)\}.$ W"owczas zbi"or $A$ 
jest retraktem przestrzeni $X$, to znaczy: istnieje odwzorownie
ci"ag"le $f\colon X\rightarrow A,$ takie "re $f|_A = id_A.$

\nie\nref Niech $X=[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1].$
Niech $A= X\setminus \{(1,1,1)\}.$ Na zbiorze $A$ mo"rna okre"sli"c relacj"e
r"ownowa"rno"sci $\sim$ w taki spos"ob, "reby przestrze"n 
$A/_\sim$ by"la homeomorficzna z przestrzeni"a $X.$

\nie\nref Przestrze"n $(\R^2,d_k)$ (p"laszczyzna z metryk"a kolejow"a) mo"rna 
przedstawi"c jako sum"e wst"epuj"acego ci"agu podzbior"ow zwartych.

\tak\nref Niech $X$ oznacza p"laszczyn"e z metryk"a kolejow"a, a $Y$ p"laszczyzn"e 
z metryk"a rzeka. W przestrzeni
$X\times Y$ istnieje podzbi"or homeomorficzny z $S^1$ (to znaczy z okr"egiem 
euklidesowym).

\nie\nref * Przestrze"n $(\R^2,d_k)$ (p"laszczyzna z metryk"a kolejow"a) ma w"lasno"s"c
punktu sta"lego, to znaczy: dla ka"rdego odwzorowania ci"ag"lego $f$ tej przestrzeni w siebie
istnieje punkt $x_0,$ taki "re $f(x_0) = x_0.$

\nie\nref{\bf **} Je"reli punkty $a$ i $b$ przestrzeni topologicznej $X$ nale"ra
do r"o"rnych sk"ladowych sp"ojno"sci, to istnieje takie odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X \longrightarrow \{0,1\}_{dyskr},$ "re $f(a) \neq f(b).$

\nie\nref {\bf **} Istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni euklidesowej $\R^{2009}$ na przestrze"n
\hfill\break $(C[0,1],d_{sup}).$

\bye




\vfill\eject

\tak\nref * W przestrzeni $(\R^2,d_k)$ (p"laszczyzna z metryk"a w"eze"l kolejowy) ka"rdy
podzbi"or sp"ojny jest "lukowo sp"ojny.

\nie\nref  W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$  ka"rdy
podzbi"or sp"ojny jest "lukowo sp"ojny.

\nie\nref  W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$  ka"rdy niepusty
podzbi"or "lukowo sp"ojny jest "sci"agalny.

\nie\nref * W przestrzeni $(\R^2,d_k)$ (p"laszczyzna z metryk"a w"eze"l kolejowy) ka"rdy
podzbi"or zwarty jest domkni"ety i brzegowy.

\tak\nref * Niech $A\subseteq \R^2$. Zbi"or $A$ z topologi"a podprzestrzeni
przestrzeni $(\R^2,d_k)$ ($\R^2$ z metryk"a w"ez"la kolejowego) jest zwarty. W"owczas w topologii 
euklidesowej na zbiorze $\R^2$ zbi"or $A$ jest domkni"ety i brzegowy.

\tak\nref  W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$  ka"rdy
podzbi"or  zwarty jest domkni"ety i brzegowy.

\nie\nref* Istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni $S^{2009}$ (to znaczy sfery jednostkowej
w $(\R^{2010},d_e)$ na $(C[0,1],d_{sup}).$

\tak\nref W przestrzeni $\R^2$ rozpatrujemy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie:
$$D=\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\},$$
$$E = D \setminus \{(0,1),(0,-1)\}$$
W"owczas $D$ i $E$ s"a homotopijnie r"ownowa"rne.

\tak\nref W przestrzeni $\R^2$ rozpatrujemy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie:
$$D=\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\},$$
$$E = D \setminus \{(0,1),(0,-1)\}$$
W"owczas $D$ i $E$ s"a homeomorficzne.

\tak\nref  * W przestrzeni $\R^2$ rozpatrujemy nast"epuj"ace dwa podzbiory:
$$D=\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1,$$
$$E = D \setminus \{(0,1),(0,-1)\}$$
W"owczas $E$ jest retraktem $D$.

\tak\nref Przestrze"n metryczna $(X,d_x)$ ma nast"epuj"ac"a w"lasno"s"c: {\sl 
dla ka"rdej liczby dodatniej $r\in R$ i ka"rdego punktu $x_0\in X$ istnieje punkt
$x_1\in X,$ taki "re $d(x_0,x_1) < r.$} W"owczas ka"rda przestrze"n metryczna $(Y,d_y)$
homeomorficzna z przestrzeni"a $X$ r"ownie"r ma analogiczn"a w"lasno"s"c.

\tak\nref Przestrze"n metryczna $(X,d_X)$ ma nast"epuj"ac"a w"lasno"s"c: {\sl 
dla ka"rdej liczby dodatniej $r\in R$ i ka"rdego punktu $x_0\in X$ istnieje punkt
$x_1\in X,$ taki "re $d(x_0,x_1) > r.$} W"owczas ka"rda przestrze"n metryczna $(Y,d_y)$
homeomorficzna z przestrzeni"a $X$ r"ownie"r ma analogiczn"a w"lasno"s"c.

\tak\nref * Rozpatrzmy podprzestrze"n $K$ w $\R^3,$ kt"ora jest sum"a kraw"edzi zwyk"lego, 
geometrycznego sze"scianu.
Na prostej euklidesowej $\R$ mo"rna okre"sli"c relacj"e r"ownowa"rno"sci $\sim$ w taki spos"ob,
"reby przestrze"n ilorazowa $R/{\sim}$ by"la homeomorficzna z $K$.

\tak\nref * Rozpatrzmy podprzestrze"n $K$ w $\R^3,$ kt"ora jest sum"a kraw"edzi zwyk"lego, 
geometrycznego sze"scianu.
Na przestrzeni euklidesowej $\R^{2009}$ mo"rna okre"sli"c relacj"e r"owno\-wa"r\-no"sci $\sim$ w taki spos"ob,
"reby przestrze"n ilorazowa $R/{\sim}$ by"la homeomorficzna z $K$.

\tak\nref W przestrzeni $\R^2$ rozpatrujemy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie:
$$E=\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\}\setminus \{(0,1),$$
$$F = D \setminus \{(0,-1)\}$$
W"owczas $D$ i $E$ s"a homeomorficzne.

\nie\nref * Niech $M$ oznacza zbi"or liczb postaci ${1\over {n+1}}, n\in \N$ Rozpatrzmy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie w przestrzeni 
euklidesowej $\R^2$:
$$X= \big( ((0,\infty)\times\{0\})\cup (M\times (-1,1)) \cup (\{0\}\times \R)\big) \setminus \{(0,0)\}$$ 
$$Y =  \big( ((0,\infty)\times\{0\})\cup (M\times \R) \cup (\{0\}\times \R)\big)\setminus \{(0,0)\}.$$ 
W"owczas przestrzenie $X$ i $Y$ s"a homeomorficzne.

\nie\nref {\bf **} Istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni $(\R^2,d_e)$ na przestrze"n 
$(\R^2,d_r)$ (po stronie dziedziny jest metryka euklidesowa, a po stronie przeciwdziedziny
metryka w"ez"la kolejowego).

\nie\nref {\bf **} Istnieje ci"ag"le odwzorowanie przestrzeni euklidesowej $\R^{2009}$ na przestrze"n
\hfill\break $(C[0,1],d_{sup}).$



\vfill\eject






\tak\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a. W"owczas funkcja
$d_0$ zadana wzorem $d_0(x,y) = min(d(x,y),2009)$ jest metryk"a na zbiorze $X,$ wyznaczaj"ac"a 
t"e sam"a topologi"e co topologia wyznaczona przez metryk"e $d.$

\tak\nref Przestrze"n topologiczna $X$ ma nast"epuj"ac"a w"lasno"s"c:
{\sl istnieje punkt $x_0\in X,$ taki "re $X - \{x_0\}$ ma dwie sk"ladowe sp"ojno"sci,
kt"orych domkni"ecia w przestrzeni $X$ s"a zwarte}. W"owczas ka"rda przestrze"n homeomorficzna 
z przestrzeni"a $X$ r"ownie"r ma opisan"a w"la\-sno"s"c.

\nie\nref Ka"rda sko"nczona przestrze"n topologiczna $(X,\Cal{T})$ jest metryzowalna, to znaczy
istnieje taka metryka na zbiorze $X$, "re topologi"a wyznaczon"a przez t"e metryk"e jest w"la"snie
topologia $\Cal{T}$.

\tak\nref Ka"rda sko"nczona przestrze"n topologiczna Hausdorffa $(X,\Cal{T})$ jest metryzowalna, to znaczy
istnieje taka metryka na zbiorze $X$, "re topologi"a wyznaczon"a przez t"e metryk"e jest w"la"snie
topologia $\Cal{T}$.

\tak\nref Na zbiorze $X=\{1,2,\ldots,2009\}$ okre"slamy topologi"e w taki spos"ob, "re jedynymi 
zbiorami otwartymi s"a $\emptyset$ oraz wszystkie zbiory postaci $\{1,\ldots,k\}, k\leq 2009.$
W"owczas, dla ka"rdej 
funkcji ci"ag"lej $f\colon X\longrightarrow X,$ takiej "re $f(X) = X$ istnieje punkt 
$x\in X,$ taki "re $f(x) = x$ (nie domagamy si"e
tego, "reby taki punkt by"l dok"ladnie jeden).

\tak\nref  Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a. W przestrzeni $X\times X$ rozpatrujemy 
podprzestrze"n $\Delta = \{(x,x): x\in X\}.$ W"owczas przestrze"n $\Delta$ jest homeomorficzna
z $X.$

\nie\nref Je"reli $(X,d)$ jest przestrzeni"a metryczn"a zwart"a, a $A\subseteq X$ jest 
jej podprzestrzeni"a zupe"ln"a, to przestrze"n $A$ jest zwarta.

\tak\nref W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje niesko"nczony zbi"or punkt"ow
(czyli funkcji), taki "re ka"rde dwa r"o"rne punkty z tego zbioru s"a odleg"le o $1.$

\nie\nref  * W przestrzeni $(C[0,1],d_{sup})$ istnieje zbi"or mocy continuum punkt"ow
(czyli funkcji), taki "re ka"rde dwa r"o"rne punkty z tego zbioru s"a odleg"le o $1.$

\nie\nref * Niech $W$ b"edzie podprzestrzeni"a w $(C[0,1],d_{sup})$ z"lo"ron"a ze
wszystkich wielomian"ow o wsp"o"lczynnikach wymiernych (i tylko z nich). W"owczas przestrze"n
$W$ jest metryzowalna w spos"ob zupe"lny.

\tak\nref Przestrze"n $(C[0,1],d_{sup})$ jest "sci"agalna.

\tak\nref Przestrze"n $(C[0,1],d_{sup})$ jest zwarta.

\nie\nref * Przestrze"n ilorazowa $\R/\Q$ (chodzi o iloraz przez tak"a relacj"e $\sim$, "re
$x\sim y \leftrightarrow (x=y$ lub $x,y \in \Q)$ jest antydyskretna (to znaczy: jedynymi zbiorami
otwartymi s"a zbi"or pusty i ca"la przestrze"n).

\nie\nref * Przestrze"n ilorazowa $\R/\Q$ (chodzi o iloraz przez tak"a relacj"e $\sim$, "re
$x\sim y \leftrightarrow (x=y$ lub $x,y \in \Q)$ jest przestrzeni"a Hausdorffa.

\tak\nref * Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Niech 
$f\colon X\longrightarrow X$ b"edzie odwzorowaniem zw"e"raj"acym, to znaczy takim "re istnieje 
$0\leq \lambda <1,$ taka
"re $$\forall_{x\neq y\in X}\  d(f(x),f(y)) < \lambda \cdot d(x,y).$$ W"owczas istnieje dok"ladnie jedna 
sk"ladowa $C$ przestrzeni $X,$ taka "re $f(C) \subseteq C.$

\nie\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Niech 
$f\colon X\longrightarrow X$ b"edzie odwzorowaniem spe"lniaj"acym warunek:
$$\forall_{x\neq y\in X}\  d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$ 
W"owczas istnieje taka sk"ladowa $C$ przestrzeni $X,$ "re $f(C) \subseteq C.$

\nie\nref * Rozpatrzmy nast"epuj"ace dwie podprzestrzenie w przestrzeni 
euklidesowej $\R^2$:
$X= ([0,\infty)\times\{0\})\cup (\N\times [0,1])$ (przyjmujemy, "re $0\in \N$),
$Y = (\R\times\{0\}) \cup (\Z\times [0,1])$. W"owczas przestrzenie 
$X$ i $Y$ s"a homeomorficzne.

\nie\nref * W przestrzeni $(\R^2,d_r)$ (p"laszczyzna z metryk"a rzeka) istnieje
podprzestrze"n homeomorficzna z okr"egiem euklidesowym $S^1.$

\nie\nref * Je"reli przestrzenie topologiczne $X$ i $Y$ s"a homotopijnie r"ownowa"rne, 
to istnieje odwzorowanie ci"ag"le $f\colon X\longrightarrow Y,$ takie "re $f(X) = Y.$

\nie\nref Niech $X$ b"edzie sum"a dw"och zewn"etrznie stycznych okr"eg"ow o promieniu $1$
na p"lasz\-czy"z\-nie $\R^2$. W"owczas ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly, to znaczy taki, "re $f(x) = x.$

\tak\nref Niech $X$ b"edzie sum"a dw"och zewn"etrznie stycznych domkni"etych k"o"l o promieniu $1$
na p"lasz\-czy"z\-nie $\R^2$. W"owczas ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly, to znaczy taki, "re $f(x) = x.$

\tak\nref Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a, tak"a "re ka"rde odwzorowanie
ci"ag"le\break $f\colon X\longrightarrow X$ ma punkt sta"ly. Niech $A\subseteq X$ i niech 
$r\colon X\longrightarrow A$ b"edzie retrakcj"a (to znaczy odwzorowaniem ci"ag"lym, takim "re 
dla wszystkich $a\in A$ zachodzi $r(a) = a$). W"owczas tak"re ka"rde odwzorowanie ci"ag"le 
$h\colon A\longrightarrow A$ ma punkt sta"ly.

\nie\nref Niech $(X,d)$ b"edzie przestrzeni"a metryczn"a zupe"ln"a. Przypu"s"cmy, "re dla 
ka"rdej liczby dodatniej $M$ istnieje metryka $d_M$ na zbiorze $X,$ taka "re topologia wyznaczona
przez $d_M$ jest identyczna z topologi"a wyznaczon"a przez $d$ i ponadto w przestrzeni $(X,d_M)$ 
odleg"lo"s"c dowolnych dw"och punkt"ow nie przekracza $M.$ W"owczas przestrze"n $X$ jest zwarta.

\nie\nref {\bf **} Na zbiorze $X=\{1,2,\ldots,2008\}$ okre"slamy topologi"e w taki spos"ob, "re jedynymi 
zbiorami otwartymi s"a $\emptyset$ oraz wszystkie zbiory postaci $\{1,\ldots,k\}, k\leq 2008.$
W"owczas przestrze"n topologiczna $X$ ma w"lasno"s"c punktu sta"lego, to znaczy: dla ka"rdej 
funkcji ci"ag"lej $f\colon X\longrightarrow X$ istnieje punkt $x\in X,$ taki "re $f(x) = x$ (nie domagamy si"e
tego, "reby taki punkt by"l dok"ladnie jeden).


\bye
