\input amstex
\input cm-plchr.ppt
\def\adom{\overline {A}}
\def\bdom{\overline {B}}
\def\xdom{\overline {X}}
\def\ydom{\overline {Y}}
%\input psfig.tex
\magnification 1200 \baselineskip 15pt
\documentstyle{amsppt}
\def \t{\thinspace}
\def \amh{&\hfill}
\def \ams{&\phantom{m}\hfill}

\def\mypsfig#1#2#3{\vskip 6 truecm}%#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{figure~#3}\vskip .8 truecm}

\def\mypstab#1#2#3{\vskip 6 truecm}%#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{table~#3}\vskip .8 truecm}

%\def\mypsfig#1#2#3{\vskip 1.3 truecm#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{figure~#3}\vskip .8 truecm}
%\def\mypstab#1#2#3{\vskip 1.3 truecm#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{table~#3}\vskip .8 truecm}

\noindent {\bf Zadanie 1.21.} Udowodni"c, "re
$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}$

\noindent{\bf Dow"od.} Chcemy udowodni"c zawierania w obydwie
strony. Mniej trywialna cz"e"s"c dowodu
($\adom\cup\bdom\subseteq\overline{A\cup B}$) polega na dwukrotnym
zastosowaniu og"olnej zasady:
$$X\subseteq Y \Rightarrow \xdom\subseteq \ydom\ \text{\rm(domkni"ecie\ jest\ zgodne\ z\ zawieraniem)}.\leqno 0.$$
Mianowicie: $$A\subseteq A\cup B,\text{\rm zatem}\ \adom \subseteq
\overline{A\cup B}\leqno 1.$$
$$B\subseteq A\cup B, \text{\rm  zatem}\ \bdom
\subseteq \overline{A\cup B}\leqno 2.$$ \hfill\break

\noindent Z\ \ 1. 2. wynika natychmiast, "re
$\adom\cup\bdom\subseteq\overline{A\cup B}$, mamy wi"ec zawieranie
w jedn"a stron"e. \hfill\break

\noindent Ale zawieranie w drug"a stron"e ($\overline{A\cup
B}\subseteq \adom\cup\bdom$) jest jeszcze bardziej oczywiste:
$$A\cup B\subseteq \adom\cup\bdom\leqno 3.$$ Domykaj"ac obydwie
strony zawierania otrzymujemy
$$\overline{A\cup B}\subseteq \overline{\adom\cup\bdom}=\adom\cup\bdom\leqno 4.$$
We wzorze 4. zawieranie jest domkni"eciem zawierania ze wzoru 3., a
r"owno"s"c wynika z faktu, "re domkni"ecie zbioru domkni"etego jest tym
samym zbiorem. \hfill\break Mamy zatem zawierania w obydwie
strony, a wi"ec rozpatrywane zbiory s"a r"owne. \bye
