Zadanie 1.21. Udowodnić, że \overline{A} ∪ \overline{B} = \overline{A ∪ B} Dowód. Chcemy udowodnić zawierania w obydwie strony. Mniej trywialna cze_{}ść dowodu (\overline{A} ∪ \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B}) polega na dwukrotnym zastosowaniu ogólnej zasady:

0.  X ⊆ Y ⇒ \overline{X} ⊆ \overline{Y} (domknie_{}cie jest zgodne z zawieraniem).

Mianowicie:

1.  A ⊆ A ∪ B, zatem \overline{A} ⊆ \overline{A ∪ B}

2.  B ⊆ A ∪ B, zatem \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B}

Z 1. 2. wynika natychmiast, że \overline{A} ∪ \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B}, mamy wie_{}c zawieranie w jedna_{} strone_{}.

Ale zawieranie w druga_{}strone_{}(\overline{A ∪ B} ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B}) jest jeszcze bardziej oczywiste:

3.  A ∪ B ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B}

Domykaja_{}c obydwie strony zawierania otrzymujemy

4.  \overline{A ∪ B} ⊆ \overline{\overline{A} ∪ \overline{B}} = \overline{A} ∪ \overline{B}

We wzorze 4. zawieranie jest domknie_{}ciem zawierania ze wzoru 3., a równość wynika z faktu, że domknie_{}cie zbioru domknie_{}tego jest tym samym zbiorem. Mamy zatem zawierania w obydwie strony, a wie_{}c rozpatrywane zbiory sa_{}równe.