\input amstex
\input cm-plchr.ppt
\def\adom{\overline {A}}
\def\bdom{\overline {B}}
\def\xdom{\overline {X}}
\def\ydom{\overline {Y}}
%\input psfig.tex
\magnification 1200 \baselineskip 15pt
\documentstyle{amsppt}
\def \t{\thinspace}
\def \amh{&\hfill}
\def \ams{&\phantom{m}\hfill}

\def\mypsfig#1#2#3{\vskip 6 truecm}%#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{figure~#3}\vskip .8 truecm}

\def\mypstab#1#2#3{\vskip 6 truecm}%#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{table~#3}\vskip .8 truecm}

%\def\mypsfig#1#2#3{\vskip 1.3 truecm#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{figure~#3}\vskip .8 truecm}
%\def\mypstab#1#2#3{\vskip 1.3 truecm#1\psfig{figure=#2}\hfill\break\vskip .2 truecm\centerline{table~#3}\vskip .8 truecm}



\noindent {\bf Zadanie 1.22.} Niech $Y\subseteq X$ b"edzie
podzbiorem przestrzeni topologicznej $(X,{\Cal T}).$ Dla
$A\subseteq Y$ domkni"ecie $A$ w podprzestrzeni $(Y,{\Cal T}_Y)$
(w przestrzeni $(X,{\Cal T})$) oznaczamy przez $\adom^Y$
($\adom^X).$ \hfill\break\noindent {\bf(A)} Wykaza"c, "re
$\adom^Y= \adom^X\cap Y.$ \hfill\break\noindent Dow"od.
Rozwi"azanie polega na uwa"rnym wypisaniu warunk"ow
przynale"rno"sci punktu do zbioru po lewej stronie i do zbioru po
prawej stronie i stwierdzeniu, "re te warunki s"a identyczne.
Warunek przynale"rno"sci punktu $z$ do zbioru $\adom^Y$ jest
nast"epuj"acy:
$$z\in \adom^Y \Leftrightarrow (z\in Y \wedge \forall_{U\in {\Cal
T}_Y}\ (z\in U \Rightarrow U\cap A \neq \emptyset)).\leqno
(1.22.1.)
$$
Zr"obmy dwa ma"le komentarze do (1.22.1):\hfill\break\noindent
\item{1.} Gdyby"smy rozwa"rali tylko jedn"a przestrze"n
topologiczn"a, to wypisuj"ac warunek przynale"rno"sci punktu do
domkni"ecia zbioru zapewne pomin"eliby"smy warunek, "re ten punkt
nale"ry do rozpatrywanej przestrzeni, uznaj"ac, "re rozpatrywana
przestrze"n stanowi uniwersum naszych rozwa"ra"n. W tym wypadku
podkre"slamy, po prawej stronie r"ownowa"rno"sci, "re $z\in Y,$ bo
w przeciwnym razie nie by"loby jasne, "re to w"la"snie mamy na
my"sli.
\item{2.} Na og"o"l piszemy $U= int\thinspace U,$ gdy chcemy
napisa"c, "re zbi"or $U$ jest otwarty. Tutaj u"ryli"smy zapisu
$U\in  {\Cal T}_Y,$ "reby unikn"a"c wprowadzania dodatkowych
oznacze"n $int_X$ i $int_Y.$

\noindent To, co napisali"smy we wzorze (1.22.1) nie odwo"lywa"lo si"e
na razie do definicji topologii podprzestrzeni: zbiory otwarte w
$Y$ to takie, kt"ore daj"a si"e zapisa"c jako przeci"ecie zbioru $Y$ i
jakiego"s zbioru otwartego w $X.$ Uwzgl"edniaj"ac t"e zasad"e mo"remy
przepisa"c (1.22.1) w nat"epuj"acej postaci:
$$z\in \adom^Y \Leftrightarrow (z\in Y \wedge \forall_{U\in {\Cal
T}_X}\ (z\in U\cap Y \Rightarrow U\cap Y\cap A \neq
\emptyset)).\leqno (1.22.2.)
$$
Uwzgl"edniaj"ac fakty, "re o punkcie $z$ za"lo"ryli"smy w
pierwszym cz"lonie koniunkcji i"r $z\in Y$ oraz "re $A\subseteq
Y,$ mo"remy przepisa"c powy"rszy warunek w prostszej postaci:
$$z\in \adom^Y \Leftrightarrow (z\in Y \wedge \forall_{U\in {\Cal
T}_X}\ (z\in U \Rightarrow U\cap A \neq \emptyset)).\leqno
(1.22.3.)
$$
(napisali"smy $z\in U,$ zamiast $z\in U\cap Y$, bo w sytuacji, gdy
wiadomo, "re $z\in Y$ s"a to warunki r"ownowa"rne. Podobnie, skoro
$A\subseteq Y,$ to $U\cap Y \cap A = U\cap A.$)
\hfill\break\noindent W tym momencie dow"od jest w"la"sciwie
zako"nczony: prawa strona r"ownowa"rno"sci (1.22.3) przybra"la
posta"c warunku na przynale"rno"s"c punktu $z$ do zbioru $Y\cap
\adom^X$ (w sformu\-"lo\-wa\-niu zadania by"la mowa o $\adom^X\cap
Y,$ ale to ju"r jest oczywi"scie wszystko jedno).

\noindent{\bf (B)} Wykaza"c, "re  je"reli $\adom^Y = Y,$ to
$\adom^X = \ydom^X.$ \hfill\break\noindent Dow"od. Z punktu (A)
(dla przypomnienia: $\adom^Y= \adom^X\cap Y$) wynika, "re skoro
$\adom^Y = Y,$ to
$$Y\subseteq \adom^X.$$ Ze zgodno"sci operacji domkni"ecia z
zawieraniem otrzymujemy
$$\ydom^X\subseteq \adom^X\leqno 1.22.4$$
(po prawej stronie nie dopisa"lem jeszcze jednej kreski, bo
wiadomo, "re domkni"ecie zbioru domkni"etego to jest ten sam
zbi"or, to znaczy skorzysta"lem z faktu, "re $\adom^X =
\overline{\adom^X}^X$). \hfill\break\noindent Mamy te"r zawieranie
w drug"a stron"e, to znaczy $A\subseteq Y$, zatem
$$\adom^X\subseteq \ydom^X.\leqno 1.22.5$$ Zestawiaj"ac (1.22.4) i
(1.22.5) otrzymujemy $\adom^X = \ydom^X.$



\bye
