Zadanie 1.22. Niech Y ⊆ X be_{}dzie podzbiorem przestrzeni topologicznej (X, T ). Dla A ⊆ Y domknie_{}cie A w podprzestrzeni (Y, T_{Y}) (w przestrzeni (X, T )) oznaczamy przez \overline{A}^{Y} (\overline{A}^{X}). (A) Wykazać, że \overline{A}^{Y} = \overline{A}^{X} ∩ Y. Dowód. Rozwia_{}zanie polega na uważnym wypisaniu warunków przynależności punktu do zbioru po lewej stronie i do zbioru po prawej stronie i stwierdzeniu, że te warunki sa_{}identyczne. Warunek przynależności punktu z do zbioru \overline{A}^{Y} jest naste_{}puja_{}cy:

(1.22.1.)  z ∈ \overline{A}^{Y} ⇔ (z ∈ Y ∧ ∀_{U∈T_{Y}} (z ∈ U ⇒ U ∩ A ≠ ∅)).

Zróbmy dwa małe komentarze do (1.22.1):

1. Gdybyśmy rozważali tylko jedna_{}przestrzeń topologiczna_{}, to wypisuja_{}c warunek przynależności punktu do domknie_{}cia zbioru zapewne pomine_{}libyśmy warunek, że ten punkt należy do rozpatrywanej przestrzeni, uznaja_{}c, że rozpatrywana przestrzeń stanowi uniwersum naszych rozważań. W tym wypadku podkreślamy, po prawej stronie równoważności, że z ∈ Y, bo w przeciwnym razie nie byłoby jasne, że to właśnie mamy na myśli.

2. Na ogół piszemy U = int U, gdy chcemy napisać, że zbiór U jest otwarty. Tutaj użyliśmy zapisu U ∈ T_{Y} , żeby unikna_{}ć wprowadzania dodatkowych oznaczeń int_{X} i int_{Y} .

To, co napisaliśmy we wzorze (1.22.1) nie odwoływało sie_{}na razie do definicji topologii podprzestrzeni: zbiory otwarte w Y to takie, które daja_{}sie_{}zapisać jako przecie_{}cie zbioru Y i jakiegoś zbioru otwartego w X. Uwzgle_{}dniaja_{}c te_{}zasade_{} możemy przepisać (1.22.1) w nate_{}puja_{}cej postaci:

(1.22.2.)  z ∈ \overline{A}^{Y} ⇔ (z ∈ Y ∧ ∀_{U∈T_{X}} (z ∈ U ∩ Y ⇒ U ∩ Y ∩ A ≠ ∅)).

Uwzgle_{}dniaja_{}c fakty, że o punkcie z założyliśmy w pierwszym członie koniunkcji iż z ∈ Y oraz że A ⊆ Y, możemy przepisać powyższy warunek w prostszej postaci:

(1.22.3.)  z ∈ \overline{A}^{Y} ⇔ (z ∈ Y ∧ ∀_{U∈T_{X}} (z ∈ U ⇒ U ∩ A ≠ ∅)).

(napisaliśmy z ∈ U, zamiast z ∈ U ∩ Y, bo w sytuacji, gdy wiadomo, że z ∈ Y sa_{} to warunki równoważne. Podobnie, skoro A ⊆ Y, to U ∩ Y ∩ A = U ∩ A.) W tym momencie dowód jest właściwie zakończony: prawa strona równoważności (1.22.3) przybrała postać warunku na przynależność punktu z do zbioru Y ∩ \overline{A}^{X} (w sformułowaniu zadania była mowa o \overline{A}^{X} ∩ Y, ale to już jest oczywiście wszystko jedno). (B) Wykazać, że jeżeli \overline{A}^{Y} = Y, to \overline{A}^{X} = \overline{Y}^{X}. Dowód. Z punktu (A) (dla przypomnienia: \overline{A}^{Y} = \overline{A}^{X} ∩ Y) wynika, że skoro \overline{A}^{Y} = Y, to

Y ⊆ \overline{A}^{X}.

Ze zgodności operacji domknie_{}cia z zawieraniem otrzymujemy

1.22.4  \overline{Y}^{X} ⊆ \overline{A}^{X}

(po prawej stronie nie dopisałem jeszcze jednej kreski, bo wiadomo, że domknie_{}cie zbioru domknie_{}tego to jest ten sam zbiór, to znaczy skorzystałem z faktu, że \overline{A}^{X} = \overline{\overline{A}^{X}}^{X}). Mamy też zawieranie w druga_{}strone_{}, to znaczy A ⊆ Y, zatem

1.22.5  \overline{A}^{X} ⊆ \overline{Y}^{X}.

Zestawiaja_{}c (1.22.4) i (1.22.5) otrzymujemy \overline{A}^{X} = \overline{Y}^{X}.