%\input algeinpu.tex
\input amstex
\documentstyle{amsppt}
\font\ozdot=cmssdc10 scaled\magstep2

\input psfig.tex
\font\ozdo=cmssdc10 scaled 1000
\input CM-PLCHR.PPT
\magnification 1000
\baselineskip=13pt
\noindent
\def\mypsfig#1#2{\vskip 1.3 truecm#1\psfig{figure=#2}}
\def\N{\Bbb N}
\def\Z{\Bbb Z}
\def\Q{\Bbb Q}
\def\C{\Bbb C}
\def\R{\Bbb R}

\newcount\q \q=0
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\font\sf=cmss10
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\def\Ct{{\kern1.5pt\hbox{\sf C\kern-5pt I\kern5pt}\kern-2.5pt}}
\def\Qt{{\kern 1.5pt\hbox{\sf Q\kern-6pt I\kern6pt}\kern -2pt}}
\def\Zt{{\hbox{\kern1.5pt\sf Z\kern-8.5pt Z\kern2.5pt}}}
\def\Nt{{\hbox{\sf N\kern-8.5pt I\kern8.5pt}}}
\def\Rt{{\kern1.5pt\hbox{\sf R\kern-5pt I\kern5pt}}}



\noindent{\ozdot Grzebie"n z wy"lamanym z"ebem}\hfill\break\noindent
Niech $$X=(\bigcup^\infty_{n=1} \{{1\over n}\}\times [0,1])\cup
([0,1]\times\{0\})\cup \{(0,1)\}\subseteq \R^2$$ X jest wi"ec
grzebieniem z pionowymi z"ebami, wyrastaj"acymi z osi $X$ do g"ory,
do wysoko"sci $1$, z punkt"ow postaci $1\over n$, wraz z r"aczk"a w
postaci odcinka $[0,1]$ na osi $X$ z do"l"aczonym pojedynczym
punktem $(0,1)$, ko"ncem wy"lamanego z"eba (patrz g"orny rysunek na
drugiej stronie.). Udowodni"c, "re przestrze"n $X$ nie jest "lukowo
sp"ojna.

\noindent{\bf Dow"od.} \hfill\break\noindent 1. Wersja bez
jednostajnej ci"ag"lo"sci. Rozpatrzmy funkcj"e ci"ag"l"a $f:
[0,1]\rightarrow X,$ tak"a "re $f(0)= (0,1).$ Chcemy pokaza"c, "re
$f(1)$ nie mo"re by"c r"owne $(1,1),$ czyli "re punkt"ow $(0,1)$ i
$(1,1)$ nie mo"rna po"l"aczy"c drog"a (ci"ag"lym obrazem odcinka) w $X.$
Niech $A$ b"edzie sk"ladow"a sp"ojno"sci punktu $0$ w
$f^{-1}(\{(0,1)\}).$ Jest jasne, "re $A= [0,t]$ dla odpowiedniego
$t,$ lub $A= \{0\}$  bo jako sp"ojny niepusty podzbi"or przedzia"lu
$[0,1]$, $A$ jest przedzia"lem lub zbiorem jednopunktowym. Nie ma
mo"rliwo"sci "reby $A=[0,t),$ bo funkcja ci"ag"la sta"la w obci"eciu do
$[0,t)$ musi by"c sta"la na ca"lym $[0,t]$ (w tym konkretnym
przypadku --- gdyby na przeciwdziedzinie rozpatrywa"c topologi"e
antydyskretn"a, to nie mo"rna by tak twierdzi"c). Poka"remy, nie ma
mo"rliwo"sci aby $A=[0,t], t<1.$ Rozpatrzmy $\varepsilon = {1\over
10}.$ Zgodnie z definicj"a ci"ag"lo"sci funkcji $f$ w punkcie $t$
istnieje $\delta>0,$ taka "re $f(t-\delta,t+\delta) \subseteq
B_X((0,1),{1\over 10}).$ W symbolu $B_X$ litera $X$ podkre"sla, "re
chodzi o kul"e w $X,$ a nie w $\R^2,$ patrz drugi rysunek na
drugiej stronie. Ale w takiej kuli sk"ladow"a sp"ojno"sci punktu
$(0,1)$ jest $\{(0,1)\}.$ Zatem $f(t-\delta,t+\delta)= \{(0,1)\}.$
W takim razie $t=1,$ bo w przeciwnym wypadku d"lu"rszy od $[0,t]$
sp"ojny przedzia"l $[0,t+\delta]$ by"lby ca"ly zawarty w
$f^{-1}(\{(0,1)\})$ (wbrew za"lo"reniu, "re $[0,t]$ jest sk"ladow"a
sp"ojno"sci w $f^{-1}(\{(0,1)\})$). Ewentualno"s"c $A= \{(0,1)\}$
wykluczamy analogicznie. Okaza"lo si"e, "re $f^{-1}(\{(0,1)\}) =
[0,1]$, co ko"nczy dow"od.

\noindent{\bf Dow"od.} \hfill\break\noindent 2. Wersja z
jednostajn"a ci"ag"lo"sci"a (bardziej skomplikowana, ale chyba bardziej
perspektywiczna). Rozpatrzmy funkcj"e ci"ag"l"a $f: [0,1]\rightarrow
X,$ tak"a "re $f(0)= (0,1).$ Chcemy pokaza"c, "re $f(1)$ nie mo"re by"c
r"owne $(1,1),$ czyli "re punkt"ow $(0,1)$ i $(1,1)$ nie mo"rna
po"l"aczy"c drog"a (ci"ag"lym obrazem odcinka) w $X.$ Przyjmijmy
$\varepsilon = {1\over 10}.$ Funkcja $f$ jest jednostajnie ciag"la,
bo jest funkcj"a ci"ag"l"a okre"slon"a na odcinku domkni"etym. W takim
razie istnieje $\delta >0,$ taka "re dla dowolnych $x_1,x_2\in
[0,1],$ je"reli $d(x_1,x_2)\leq \delta$, to
$d(f(x_1),f(x_2))<{1\over 10}$ (zwykle pisze si"e ostre
nier"owno"sci, ale tutaj pierwsz"a nier"owno"s"c wygodnie jest napisa"c w
postaci nieostrej). W szczeg"olno"sci punkty z przedzia"lu
$[0,\delta]$ musz"a mie"c obrazy w kuli $B_X((0,1),{1\over 10})$. W
symbolu $B_X$ litera $X$ podkre"sla, "re chodzi o kul"e w $X,$ a nie
w $\R^2,$ patrz drugi rysunek na drugiej stronie. Ale w takiej
kuli sk"ladow"a sp"ojno"sci punktu $(0,1)$ jest $\{(0,1)\},$ a
$f([0,\delta])$ jest zbiorem sp"ojnym, a zatem $f([0,\delta])=
\{(0,1)\}.$ Analogicznie pokazujemy, "re $f([\delta,2\delta])=
\{(0,1)\}$ i tak dalej. Zatem ostatecznie $f([0,1])= \{(0,1)\},$ w
szczeg"olno"sci $f(1)\neq (1,1).$

\vskip 20pt \mypsfig{}{topgrzeb.eps}{}


 \bye
