\input algeinpu.tex
\font\ozdot=cmssdc10 scaled\magstep2
\input amstex
\font\ozdo=cmssdc10 scaled 1000
\input CM-PLCHR.PPT
\magnification 1000
\baselineskip=13pt
\noindent
\newcount\q \q=0
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\font\sf=cmss10
\def\nref{\global\advance\q by1 \item{\the\q.}}
\def\Ct{{\kern1.5pt\hbox{\sf C\kern-5pt I\kern5pt}\kern-2.5pt}}
\def\Qt{{\kern 1.5pt\hbox{\sf Q\kern-6pt I\kern6pt}\kern -2pt}}
\def\Zt{{\hbox{\kern1.5pt\sf Z\kern-8.5pt Z\kern2.5pt}}}
\def\Nt{{\hbox{\sf N\kern-8.5pt I\kern8.5pt}}}
\def\Rt{{\kern1.5pt\hbox{\sf R\kern-5pt I\kern5pt}}}

\centerline{\ozdot Spis wa"rnych definicji i fakt"ow z topologii I.}
\hfill\break Uwaga: niekt"ore definicje s"a tak wa"rne, "re pomin"a"lem
je w tym spisie, uwa"raj"ac "re z pewno"sci"a wszyscy ju"r dawno znaj"a
je na pami"e"c. Na klas"owkach i na egzaminie mo"rna si"e bezpo"srednio
powo"lywa"c na fakty wymienione w tym spisie. Prosz"e uprzejmie o
uwagi, pewnie s"a tu jakie"s g"lupstwa. Przed chwil"a przez pomy"lk"e w
punkcie (5.5) napisa"lem {\sl otwartym} zamiast {\sl domkni"etym.}
Tym razem zauwa"ry"lem, ale mo"re jest wi"ecej takich b"l"ed"ow.


\item{1.} {\ozdo Zbi"or g"esty.} W przestrzeni topologicznej $X$
podzbi"or $A\subseteq X$ jest g"esty wtedy i tylko wtedy, gdy
$\overline{A} = X.$\hfill\break Uwaga: warunek konieczny i
dostateczny na to jest taki, "re ka"rdy niepusty podzbi"or otwarty
$U\subseteq X$ musi zawiera"c chocia"r jeden punkt ze zbioru $A.$
Uwaga: inna posta"c tego warunku koniecznego i dostatecznego:
je"reli $\Cal{B}$ jest baz"a to\-po\-logii przestrzeni $X,$ to ka"rdy
niepusty podzbi"or otwarty $U\in \Cal{B}$ musi zawiera"c chocia"r
jeden punkt ze zbioru $A.$
\item{2.} {\ozdo Przestrze"n o"srodkowa.} Przestrze"n o"srodkowa to
jest taka przestrze"n topologiczna, w kt"orej istnieje podzbi"or
g"esty mocy $\leq \aleph_0.$\hfill\break Uwaga: je"reli przestrze"n
topologiczna ma baz"e mocy $\leq \aleph_0,$ to automatycznie jest
tak"re o"srodkowa.
\item{3.} {\ozdo Punkt izolowany.} Punkt $x$ w przestrzeni
topologicznej $X$ jest izolowany\hfill\break$\Leftrightarrow
int\{x\}=\{x\}$.
\item{4.} {\ozdo Punkt skupienia.} Punkt $x\in A$ w przestrzeni
topologicznej $X$ nazywamy punktem skupienia zbioru $A
\Leftrightarrow x\in \overline{A-\{x\}}$.\hfill\break Dla
przestrzeni metrycznych jest to r"ownoznaczne stwierdzeniu,
"re\hfill\break $dist(x,A-\{x\})=0.$ Og"olnie, jest to r"ownowa"rne
stwierdzeniu, "re ka"rde otwarte otoczenie punktu $x$ ma niepuste
przeci"ecie ze zbiorem $A-\{x\}$.
\item{5.} {\ozdo W"lasno"s"c Hausdorffa.} Przestrze"n topologiczna
$(X,\Cal{T})$ ma w"lasno"s"c Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy
$$\forall_{a\neq b\in X} \exists_{U,V\in \Cal{T}}\ a\in U\wedge b\in V
\wedge U\cap V = \emptyset.$$ Mo"re kto"s woli ten sam warunek
sformu"lowany  w innym stylu:\hfill\break \noindent Dla dowolnych
dw"och r"o"rnych punkt"ow $a$ i $b$ przestrzeni $X$ istniej"a zbiory
otwarte $a\in U$ i $b\in V,$ takie ze $U\cap V= \emptyset.$
\hfill\break\noindent Nieco mniej formalnie mo"rna powiedzie"c, "re
zak"ladamy, "re dwa r"o"rne punkty daj"a si"e oddzile"c zbiorami
otwartymi. \hfill\break\noindent W"lasno"s"c Hausdorffa jest
mocniejsza, ni"r mo"rna na pierwszy rzut oka pomy"sle"c. Oto spis
niekt"orych wa"rnych fakt"ow zwi"azanych z t"a w"lasno"sci"a.
\item{5.1} Ka"rda przestrze"n metryczna jest Hausdorffa (tzn. ma w"lasno"s"c
Hausdorffa). To daje od razu metod"e pokazywania prostych
przyk"lad"ow przestrzeni topologicznych niemetryzowalnych, to znaczy
takich, "re topologia nie pochodzi od "radnej metryki. Najprostszy
taki przyk"lad, to przestrze"n antydyskretna mocy co najmniej 2.
\item{5.2} Je"reli $f,g:X \rightarrow Y$ s"a odwzorowaniami ci"ag"lymi
przestrzeni topologicznych, a przestrze"n $Y$ jest Hausdorffa i
ponadto $f|_A=g|_A,$ gdzie A jest podzbiorem g"estym w $X,$ to
$f=g.$
\item{5.3} Sko"nczona przestrze"n Hausdorffa jest dyskretna.
\item{5.4} W przestrzeni Hausdorffa podzbiory jednopunktowe s"a
domkni"ete.
\item{5.5} Przestrze"n $X$ ma w"lasno"s"c Hausdorffa $\Leftrightarrow$
przek"atna w produkcie $X\times X$ jest podzbiorem domkni"etym
(przek"atna, to znaczy $\Delta = \{(x,x)| x\in X\}$).
\item{5.6} Niech $f: X\rightarrow Y.$ Je"reli $Y$ jest przestrzeni"a
Hausdorffa, to $f$ jest funkcj"a ci"ag"l"a $\Leftrightarrow$ wykres
funkcji $f$ jest domkni"etym podzbiorem przestrzeni $X\times Y.$

\item{6.} {\ozdo W"lasno"s"c topologiczna} jest to taka w"lasno"s"c
przestrzeni topologicznych, kt"or"a dwie przestrzenie homeomorficzne
musz"a albo obie mie"c, albo obie nie mie"c. Na przyk"lad: je"reli
przestrze"n topologiczna ma dok"ladnie jeden punkt izolowany, to
ka"rda przestrze"n topologiczna z ni"a homeomorficzna te"r ma
dok"ladnie jeden punkt izolowany.\hfill\break Og"olna zasada jest
nast"epuj"aca: w"lasno"sci, kt"ore daje si"e opisa"c w terminach
topologiczno -- mnogo"sciowych s"a w"lasno"sciami topologicznymi.
W"lasno"sci, w kt"orych opisie odowlujemy si"e do metryki czasem s"a
w"lasno"sciami topologiczny\-mi, ale generalnie nie
musz"a.\hfill\break Przyk"lad. Topologia euklidesowa na $\R^2$ ma
nast"epuj"ac"a w"lasno"s"c: {\sl ka"rda kula jest sp"ojna}, ale ta
w"lasno"s"c odwo"luje si"e do poj"ecia metrycznego --- kuli. To jeszcze
nie znaczy, "re ta w"lasno"s"c nie jest topologiczna, ale faktycznie
nie jest: mo"rna na prostej zada"c metryk"e w taki spos"ob, "re
wyznaczona przez ni"a topologia b"edzie t"a sam"a topologi"a
euklidesow"a, ale niekt"ore kule b"ed"a niesp"ojne.

\vfill\eject


Poni"rszy spis zawiera list"e fakt"ow i definicji, dotycz"acych
przestrzeni zwartych. Te fakty oceniam subiektywnie jako na tyle
wa"rne, "re nale"ry je po prostu pami"eta"c.

\item{1.} Definicja przestrzeni topologicznej zwartej. Przestrze"n
topologiczna $X$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy spe"lnia
jednocze"snie nast"epuj"ace warunki:\hfil\break 1. jest
Hausdorffa\hfill\break 2. z ka"rdego pokrycia zbiorami otwartymi
mo"rna wybra"c podpokrycie sko"nczone (pokrycie to jest taka
rodzina zbior"ow, "re ich suma jest r"owna ca"lemu $X$).
\item{2.} Powy"rsza definicja mo"re by"c sformu"lowana r"ownie"r w
terminach zbior"ow domkni"e\-tych: warunek 2. z definicji mo"rna
zapisa"c w nast"epuj"acej postaci.\hfil\break Je"reli przeci"ecie
pewnej niepustej rodziny zbior"ow domkni"etych jest puste, to
przeci"ecie jakiej"s jej sko"nczonej niepustej podrodziny te"r jest
puste.\hfil\break Istnieje pewien tradycyjny spos"ob formu"lowania
tego samego warunku: \hfil\break Scentrowana niepusta rodzina
podzbior"ow domkni"etych ma niepuste przeci"ecie\hfill\break
(scentrowana rodzina, to taka, "re ka"rda sko"nczona niepusta
podrodzina ma niepuste przeci"ecie).
\item{3.} Dla przestrzeni metrycznych (kt"ore oczywi"scie s"a zawsze
Hausdorffa) nast"epuj"ace warunki (ka"rdy z nich) s"a r"ownowa"rne
zwarto"sci:\hfil\break 1. Ka"rdy ci"ag wst"epuj"acy podzbior"ow
otwartych w"la"sciwych przestrzeni $X$ ma sum"e, kt"ora dalej jest
podzbiorem w"la"sciwym w $X$.\hfil\break 2. Ka"rdy ci"ag zst"epuj"acy
podzbior"ow domkni"etych niepustych w przestrzeni $X$ ma przeci"ecie,
kt"ore dalej jest podzbiorem niepustym w przestrzeni
$X$.\hfil\break 3. Z ka"rdego ci"agu mo"rna wybra"c podci"ag
zbie"rny.\medskip

Powy"rej zosta"la podana definicja przestrzeni zwartych i pewne
warunki r"ownowa"r\-ne, niekt"ore z nich tylko dla przestrzeni
metrycznych. Teraz nast"api spis podstawowych w"lasno"sci przestrzeni
zwartych.\medskip
\item{4.} Przestrze"n metryczna zwarta jest ograniczona.
\item{5.} Przestrze"n metryczna zwarta nie mo"re zawiera"c niesko"nczonego
podzbioru w kt"o\-rym ka"rde dwa r"o"rne punkty s"a odleg"le o
wi"ecej  ni"r $\delta > 0$ (ta $\delta$ jest jednakowa dla
wszystkich par).
\item{6.} Je"reli $X$ jest przestrzeni"a zwart"a, to topologia
podprzestrzeni na podzbiorze $A\subseteq X$ jest zwarta wtedy i
tylko wtedy, gdy $A$ jest podzbiorem domkni"etym w $X$.
\item{7.} Obraz ci"ag"ly przestrzeni zwartej w przestrzeni Hausdorffa $Y$
jest podzbiorem domk\-ni"e\-tym.
\item{8.} Przekszta"lcenie ci"ag"le z przestrzeni zwartej w
przestrze"n Hausdorffa jest domkni"ete (to znaczy obrazy podzbior"ow
domkni"etych s"a domkni"ete).
\item{8.} Obraz ci"ag"ly przestrzeni zwartej w przestrzeni Hausdorffa $Y$
jest podzbiorem zwar\-tym.
\item{9.} Funkcja ci"ag"la o warto"sciach rzeczywistych okre"slona na
przestrzeni zwartej przyjmuje warto"s"c najwi"eksz"a i
najmniejsz"a.
\item{10.} Dla ka"rdego pokrycia przestrzeni zwartej metrycznej $X$
zbiorami otwartymi miepustymi $\{U_t\}_{t\in T}$ istnieje liczba
Lebesgue'a tego pokrycia $\lambda,$ to znaczy taka liczba
rzeczywista $\lambda > 0,$ "re dla ka"rdego $x\in X$ istnieje $t\in
T,$ takie "re $B(x,\lambda)\subseteq U_t.$
 \bye
