Imie_{}i nazwisko:

Do oceny przeznaczam uzasadnienia odpowiedzi na pytania:

Punktacja: odpowiedź prawidłowa: 2,5 punktu, błe_{}dna: −1 punkt (suma punktów za błe_{}dne odpowiedzi be_{}dzie zaokra_{}glona w góre_{}do liczby całkowitej podzielnej przez 3), brak odpowiedzi: 0 punktów, maksymalna ła_{}czna punktacja: 50 punktów. Należy uzasadnić na piśmie odpowiedzi na trzy spośród pytań oznaczonych gwiazdkami (ocena: 0 – 20 punktów, maksymalna ła_{}czna punktacja: 50 punktów). Nie be_{}da_{}oceniane uzasadnienia odpowiedzi na pytania nie oznaczone gwiazdkami. Prosze_{}zaznaczyć, które zadania zostały wybrane do uzasadnienia. Do ostatnich dwóch zadań można napisać uzasadnienia dodatkowo, nie deklaruja_{}c tego. Be_{}da_{}sie_{}one liczyć i nie be_{}da_{}podlegać ograniczeniu wynikaja_{}cemu z maksymalnej punktacji.

TAK 1. W pierścieniu ℤ_{3} × ℤ_{13} każdy ideał jest główny.

NIE 2. W pierścieniu ℤ × ℤ każdy ideał jest główny.

NIE 3. W pierścieniu ℤ[X] każdy ideał jest główny.

TAK 4. Niech x be_{}dzie elementem nilpotentnym pierścienia R (to znaczy takim, że istnieje liczba naturalna n, taka że x^{n} = 0. Wówczas element 1 + x jest odwracalny.

TAK 5. W pierścieniu, który ma 2010 elementów nie może być wie_{}cej niż 1005 elementów nilpotentych.

TAK 6. Pierścień ℤ[i]/(2010) jest skończony.

TAK 7. Pierścień ℤ[i]/(2010 + 2011i) jest skończony.

NIE 8. * Istnieje epimorfizm pierścienia ℤ[i] na ℤ.

TAK 9. Niech R be_{}dzie dziedzina_{}ideałów głównych, a I, J be_{}da_{}ideałami maksymalnymi w R. Wówczas I i J sa_{}jedynymi ideałami maksymalnymi zawieraja_{}cymi I ∩ J.

NIE 10. W grupie A_{5} każde dwa elementy rze_{}du 5 sa_{}sprze_{}żone.

TAK 11. W grupie rze_{}du 17 · 27 istnieje podgrupa rze_{}du 51. NIE 12. W grupie Σ_{2011} każde dwa elementy rze_{}du 73 sa_{}sprze_{}żone. TAK 13. Grupa rze_{}du 17 · 27 ma nietrywialne centrum. TAK 14. Grupa rze_{}du 19 · 27 ma nietrywialne centrum. NIE 15. Grupa rze_{}du 19 · 9 ma nietrywialne centrum. TAK 16. Grupa rze_{}du 25 · 7 · 17 jest produktem półprostym grupy rze_{}du 25 i grupy rze_{}du 7 · 17. NIE 17. * Każde działanie grupy A_{5} na zbiorze siedemnastoelementowym ma punkt stały. TAK 18. Grupa A_{10} zawiera podgrupe_{}izomorficzna_{}z grupa_{}Σ_{5}. TAK 19. Grupa A_{7} zawiera podgrupe_{}izomorficzna_{}z grupa_{}Σ_{5}. NIE 20. Grupa A_{5} zawiera podgrupe_{}izomorficzna_{}z grupa_{}Σ_{4}. TAK 21. ℤ_{21} × ℤ_{35} × ℤ_{15} ≃ ℤ_{105} × ℤ_{105} (pytanie dotyczy grup). TAK 22. ** Niech x i y be_{}da_{}elementami grupy G. Wówczas x^{2}y^{3}x^{4}y^{−2}x^{−6}y^{−1} należy do

komutanta grupy G. TAK 23. ** Grupa rze_{}du 25 · 7 · 17 jest przemienna.