1. Przypuśćmy, że $u$ jest rozwiązaniem równania $u_t={\mathrm{\Delta }}^{3}u+{\mathrm{\Delta }}^2(u-u^3)$ z okresowymi warunkami na $d$-wymiarowym torusie, $d=1,2$ i danymi początkowymi $u_0$ w $L^2$ (albo w $H^1$, $H^{-2}$). Wykazać istnienie granicy $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}u(t)=u^{\mathrm{\infty }}$, gdzie $u^{\mathrm{\infty }}$ jest rozwiązaniem stacjonarnym równania.
   Wariant tego zadania: to samo pytanie dla równania $u_t={\mathrm{\Delta }}^{3}u+{\mathrm{\Delta }}^2(u-u^3)+\alpha \mathrm{\Delta }u$, gdzie $\alpha \in \mathbb{R}$.
2. Zbadać proste równanie (np. ciepła, falowe, Laplace'a...) na grafie, np. na literze Y.
3. Zbadać równanie $u_{xx}=f$ w kole przy zadanych warunkach brzegowych. Uogólnić pierwsze spostrzeżenia.

---

Last modified: 08/19/2022 09:02:16