28.02.2018
O słabym rozwiązaniu p-Laplasjanu, [L], Rozdział 2.

07.03.2018
Równoważność zagadnienia najmniejszego gradientu (NG) i swobodnego projektowania materiału, [GRS], tw. 2.1
Definicja przestrzeni BV, [R] Rozdział 1, [AFP]
brak półciągłości u ---> |Du| z warunkami brzegowymi, [R] Rozdział 2 (i odsyłacze do literatury)
Sformułowanie zagadnień Monge'a i Monge'a-Kantorowicza

14.03.2018
Rozwiązania zagadnienia Monge'a-Kantorowicza, wg. [St] par. 1.1

21.03.2018
Słaba rozwiązalność zagadnienia brzegowego p-Laplasjanu; zbieżność rozwiązań, gdy p dąży do 1, wg [MRS], część 1. - dane brzegowe z W^{1/2,2}

04.04.2018
zbieżność rozwiązań p-Laplasjanu, gdy p dąży do 1, wg [MRS], część 2. - dane brzegowe z L^1

11.04.2018
Dyskusja przykładu Brothersa z [MRS]. Teoria Anzellottiego sparowań i śladu, cz. 1, wg [A]

18.04.2018
Dokończenie dyskusji przykładu Brothersa i innych zaległości. Teoria Anzellottiego śladu, cz. 2, wg [A]

25.04.2018
Dokończenie teorii Anzellottiego i wzór Gaussa. Sformułowanie dualnego zagadnienia Monge'a-Kantorowicza wg. [St].

09.05.2018
Istnienie rozwiązań dualnego zagadnienia Monge'a-Kantorowicza wg. par. 1.2 w [St]. Zagadnienie Monge'a jako ekstremum związane, wstęp do [EG].

16.05.2018
Konstrukcja transportu optymalnego wg. [EG], motywacja. Część I: oszacowania jednostajne na funkcje p-harmoniczne, rozdział 2 z [EG]

23.05.2018
Konstrukcja transportu optymalnego: cz. II, sieci transportowe, promienie tranportu, rozdział 3 z [EG]

30.05.2018
Konstrukcja transportu optymalnego: cz. III, różniczkowalność potencjału, typowe właściwości promieni transportowych, rozdziały 4 i 5 z [EG]

05.06.2018
Konstrukcja transportu optymalnego: cz. IV, zachowanie się gęstości transportu wzdłuż promieni transportowych, przybliżone odzworowanie transportowe, rozdziały 6 i 8 z [EG]

12.06.2018
Konstrukcja transportu optymalnego: cz. V, optymalność konstrukcji, rozdział 10 z [EG]. Przypadek ściśle wypukłej i różniczkowalnej funkcji kosztu, konstrukcja odwzorowania transportowego, par. 1.3 ze [St].

Literatura
  • [A] Anzellotti, Gabriele Pairings between measures and bounded functions and compensated compactness. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 135 (1983), 293-318 (1984).
  • [AFP] Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
  • [EG] C.L.Evans, W.Gangbo, Differential equations methods for the Monge-Kantorovich mass transfer problem. Mem. Amer. Math. Soc. 137 (1999), no. 653.
  • [GRS] Wojciech Górny, Piotr Rybka, Ahmad Sabra, Special cases of the planar least gradient problem, Nonlinear Analysis 151 (2017), 66-95
  • [L] P.Lindqvist, NOTES ON THE p -LAPLACE EQUATION
  • [MRS] Mazón, José M.; Rossi, Julio D.; Segura de León, Sergio Functions of least gradient and 1-harmonic functions. Indiana Univ. Math. J. 63 (2014), no. 4, 1067-1084.
  • [R] P.Rybka, The BV space in variational and evolution problems,
  • [St] F.Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians Birkhauser, 2015
  • [V] C.Villani, Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
    • Tematy zaliczeniowe
  • (1) Ślad składowej normalnej miary na podstawie:
    Chen, Gui-Qiang; Frid, Hermano, On the theory of divergence-measure fields and its applications. Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 32 (2001), no. 3, 401-433.
  • (2) Rozwiązanie zagadnienia wariacyjnego sformułowanego 21.03 jest rozwiązaniem 1-laplasjanu. Opracować na podstawie [MRS]
  • (3) Ciągłość i jedyność rozwiązania najmniejszego gradientu w ściśle wypukłych obszarach, wg Sternberg, Peter; Williams, Graham; Ziemer, William P. Existence, uniqueness, and regularity for functions of least gradient. J. Reine Angew. Math. 430 (1992), 35-60
  • (4) Twierdzenie o stabilności funkcji o najmniejszym gradiencie, wg M. Miranda, Comportamento delle successioni convergenti di frontiere minimali, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 38 (1967) 238-257 lub Hakkarainen, H.; Korte, R.; Lahti, P.; Shanmugalingam, N. Stability and continuity of functions of least gradient. Anal. Geom. Metr. Spaces 3 (2015), 123-139.
  • (5) inf zagadnienia Monge'a-Kantorowicza = sup zagadnienia dualnego, wg. [St] albo [V]. Rozdział o dualności jest w wolnym dostępie na serwerze wydawcy pod https://bookstore.ams.org/gsm-58/34.
  • (6) Zagadnienie transportu optymalnego w geometrii finslerowskiej, wg. Igbida, Noureddine; Mazón, José M.; Rossi, Julio D.; Toledo, Julián Optimal mass transportation for costs given by Finsler distances via p-Laplacian approximations. Adv. Calc. Var. 11 (2018), no. 1, 1-28.
  • (7) Metryki Wassersteina i topologia przez nie wyznaczona, na podstawia par. 5.1, i 5.2 z [St].
  • (8) Zagadnienie transportu optymalnego a zagadnie najmniejszego -- gładkość rozwiązań, na podstawie pracy S.Dweika i F.Santambrogia
  • (9) Zasada porównawcza dla \infty-laplasjanu, wg R. Jensen, Uniqueness of Lipschitz extensions: minimizing the sup norm of the gradient. Arch. Rational Mech. Anal. 123 (1993), no. 1, 51-74.
  • (10) Dowód stwierdzenia 5.1 z [EG].