wykład monograficzny: Elementy geometrycznej teorii miary

wykładowca: Piotr Rybka

miejsce: sala 5840, czas: środy, 8:30 -- 10:00. Uwaga 1: to jest nowa sala
Uwaga 2: od 11.03 spotykamy się na kanale meet.google.com/wya-qbdk-vdw

26.02. Wprowadzenie, funkcjonały Rudina-Oshera-Fatemiego i Mumforda-Shaha oraz kłopoty z nimi związane. Przykłady działania.
04.03. Brak dolnej półciągłości miary Hausdorffa względem zbieżności zbiorów w metryce Haudorffa. Przykład: istnienie punktów minimalnych jednowymiarowego funkcjonału

E_{M S}

, wg [D].
11.03 Dokończenie przykładu, prosty przykład dwuwymiarowy. Zupełność metryki Hausdorffa w zbiorze podzbiorów względnie domkniętych

Ω

. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D]

18.03 Dokończenie dowodu zupełności metryki Hausdorffa. Definicja przestrzeni $B V (Ω)$ . Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [AFP].
Komentarze do notatek: lemat 6 to lemat 13 ze str 17 w [D]; w dalszym ciągu objaśniam dowód stw 6, str 244 w [D].
Przeskakuję do nowego tematu i definiuję przestrzeń BV funkcji o wahaniu ograniczonym.

25.03 Właściwości przestrzeni BV, przykłady; dolna półciągłość $| D u | (Ω)$ . Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [AFP].
Komentarze do notatek: Dodatkowym źródłem jest [R], jego wadą jest szczupłość dowodów. Definicja i w wzór (3.2) z [AFP] nie tłumaczą nazwy przestrzeni, po to wykazuję stw. 3.6. z [AFP]
Zadanie 1. Załóżmy, że $u \in B V (Ω)$ i $[D u]_{s} = 0$ . Wykazać, że $u \in W^{1, 1} (Ω)$ .

01.04. Ciąg dalszy właściwości BV (przybliżanie f. gładkimi, tw. o zanurzaniu i zwartości kuli). Warunki dostateczne dolnej półciągłości $H^{d}$ . Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].
Zadanie 2. Załóżmy, że $u_{k} ⇀ u$ w $L^{p}, p \in (1, \infty)$ . Wykazać, że $\underset{k \to \infty}{lim inf} ‖ u_{k} ‖_{L^{p}} \geq ‖ u ‖_{L^{p}}$ .

08.04 Zgodnie z zarządzeniem dziekana tego dnia zajęcia odbywają się według planu piątkowego, a zatem spotykamy się po świętach.

15.04 Twierdzenie o dolnej półciągłości $H^{d}$ . Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D]

22.04 Wniosek z tw. o dolnej półciągłości $H^{d}$ , tj. przypadek szczególny $H^{1}$ . Wzór na całkowanie po włóknach. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [EG]

29.04. Dokończenie dowodu wzoru na całkowanie po włóknach. Aproksymatywne granice, ciągłość i skok funkcji. Dowód faktu, iż zbiory osobliwy i skoków są borelowskie. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [AFP].
Zadanie 3. Załóżmy, że $E \subset R^{N}$ jest ograniczony i ma obwód skończony. Kładziemy, $u = χ_{E}$ . Wykazać, że $J_{u} \subset E^{1 / 2}$ , gdzie $E^{1 / 2}$ jest zbiorem punktów $R^{N}$ , w których $E$ ma gęstość 1/2.

06.05. Zofia Grochulska, różniczkowalność prawie wszędzie funkcji monotonicznych. Szczegóły rachunkowe przykładu (a) z poprzedniego wykładu. Zastosowanie metody bezpośredniej rachunku wariacyjnego do dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha, Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].

13.05 Ciąg dalszy zastosowania metody bezpośredniej o dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha, Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].

20.05 M.Fabisiak, rozwiązanie zadania 3. Zamknięcie wątku zastosowania metody bezpośredniej o dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału Mumforda-Shaha i wskazanie brakujących elementów. Przestawienie elementów składowych dowodu $J_{u} \subset J_{f}$ na podstawie twierdzenia 1 z [CCN]. Odręczne notatki do wykładu oraz skan fragmentów książki [D].

27.05. Dowód $J_{u} \subset J_{f}$ i przedstawienie elementów koniecznej teorii. Odręczne notatki do wykładu

03.06. Dowód stw. 31. Objaśnienia warunku (H) z wykładu z 20.05. Odręczne notatki do wykładu.

10.06 O zredukowanych punktach minimalnych funkcjonału $E_{M S}$ . Przykład $f \neq 0$ , ale takiego, że $u = 0$ jest punktem minimalnym $E_{R O F}$ . Podsumowanie kursu. Odręczne notatki do wykładu.

Literatura
[An] G. Anzellotti, Pairings between measures and bounded functions and compensated compactness, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 135 (1983), 293-318 (1984).
[A] L.Ambrosio, Existence theory for a new class of variational problems, Arch. Rational Mech. Anal. 111 (1990), no. 4, 291-322.
[AFP] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
[CCN] V.Caselles, A.Chambolle, M.Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, Multiscale Model. Simul. 6 (2007), no. 3, 879-894.
[Ch] A. Chambolle, An algorithm for total variation minimization and applications, J. Math. Imaging Vision 20 (2004), no. 1-2, 89-97.
[D] Guy David, Singular sets of minimizers for the Mumford-Shah functional. Progress in Mathematics, 233. Birkhauser Verlag, Basel, 2005.
[EG] L.C.Evans, R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton, 1992.
[Fa] K.J.Falconer, The geometry of fractal sets. Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
[MS] F.Maddalena, S.Solimini, Lower semicontinuity properties of functionals with free discontinuities, Arch. Ration. Mech. Anal. 159 (2001), no. 4, 273-294.
[R] Piotr Rybka, The BV space in variational and evolution problems, skrypt wykładów.

Tematy zaliczeniowe

Sformułowanie funkcjonału Mumforda-Shaha jako funkcjonału na przestrzeni funkcyjnej $S B V (Ω)$ , na podstawie artykułu [A].
Staranny dowód tw. 10 z notatek, tj. tw. 3.9 z [AFP].
Staranny dowód tw. 15 z notatek.
Staranny dowód tw. 18 z notatek na podstawie [Fa].
Obliczanie wahania funkcji za pośrednictwem zagadnienia dualnego na podstawie pracy [Ch].
Dokończenie dowodu istnienia punktów minimalnych funkcjonału $E_{M S}$ na podstawie pracy [MS]
Staranne obliczenie podróżniczki $Φ (u)$ , gdy $Φ (u) = | D u | (Ω)$ .
Teoria Anzellottiego na podstawie pracy [An].

Last modified: 06/10/2020 10:49:28