24 lutego 2025 - Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha - definicja i kilka przykładów.
Przestrzenie C(K), C(K,X), C_ogr(E) z normą supremum oraz ich szczególne przypadki,
w tym przestrzeń ciągów ograniczonych i przestrzeń ciągów zbieżnych.
Nierówności Minkowskiego i Hoeldera. Przestrzenie L_p i l_p dla 1<=p<\infty.
3 marca 2025 - Przestrzeń L_\infty i l_\infty, wersja nierówności Hoeldera dla p=1,q=\infty.
Miary ze znakiem i zespolone, definicja, moduł (wariacja) miary. Moduł miary zespolonej jest miarą,
a przestrzeń miar ze znakiem/zespolonych jest przestrzenią Banacha. Całka względem miary ze znakiem
i miary zespolonej.
10 marca 2025 - Operator liniowy między przestrzeniami unormowanymi jest ciągły wtedy i tylko wtedy,
gdy jest ograniczony. Przestrzeń operatorów liniowych między przestrzeniami unormowanymi. Przestrzeń
operatorów liniowych między przestrzenią unormowaną a Banacha jest przestrzenią Banacha.
Przestrzeń operatorów liniowych ciągłych na X. Przykłady.
Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.
Iloraz przestrzeni unormowanej i jej domkniętej podprzestrzeni, iloraz przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.
Przypomnienie definicji przestrzeni unitarnej i euklidesowej, własności iloczynu
skalarnego i nierówności Schwarza. Przestrzeń Hilberta - definicja i przykłady.
17 marca 2025 - Tożsamość równoległoboku. W przestrzeni Hilberta w każdym zbiorze wypukłym domkniętym
istnieje dokładnie jeden punkt o najmniejszej normie. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym i o rzucie ortogonalnym na domkniętą podprzestrzeń przestrzeni Hilberta. Twierdzenie Riesza o postaci
ciągłego funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. Absolutna ciągłość, gęstość i osobliwość
miar. Twierdzenie Lebesgue'a-Radona-Nikodyma o rozkładzie miary na część osobliwą i absolutnie ciągłą
mającą gęstość dla miar sigma-skończonych. Przykład, że założenie sigma-skończoności jest istotne.
24 marca 2025 - Twierdzenie Radona-Nikodyma w przypadku, gdy miara dominowana jest miarą zespoloną.
Układy ortogonalne i ortonormalne. Rzut na przestrzeń genrowaną przez układ n-wektorów
ortonormalnych. Nierówność Besssela. Liniowo gęstość rodziny wektorów. Bazy ortonormalne - trzy
równoważne warunki. Izometryczność przestrzeni Hilberta i \ell_2(I). Tożsamość Parsevala.
Ośrodkowa przestrzeń Hilberta ma przeliczalną bazę.
31 marca 2025 - Gęstość funkcji ciągłych o nośniku zwartym w L_p(G,\mu), gdzie G otwarty podzbiór
w R^d, a \mu miara borelowska, skończona na zbiorach zwartych. Układ trygonometryczny jako baza
L_2[-\pi,\pi] (po przeskalowaniu w L^[a,b]), wielowymiarowy układ trygonometryczny jako baza
L_2([-pi,pi]^n), zastosowanie - wzór na \sum n^{-2}. Układ Haara jako baza o.n. w L_2[0,1] i
L_2(\er). Układ Walsha jako baza L_2[0,1] (dowód odłożony na ćwiczenia). Układy wielomianów ortogonalnych. Lemat Banacha o przedłużaniu funkcjonału dominowanego przez funkcjonał Banacha.