KLASÓWKA

grupa I, 30 maja 2000

1. (15 pkt) Rzucamy kolejno symetryczna̧ moneta̧ dopóki nie wyrzucimy orła, ale nie wiȩcej niż 4 razy. Oznaczmy przez X ilość wykonanych rzutów. Znajdź rozkład X, wartość średnia̧ i wariancjȩ X.

2. (10 pkt) Zdarzenia A ∪ B, C sa̧ niezależne. Udowodnij,że wówczas zdarzenia A, B, C sa̧ niezależne wtedy i tylko wtedy gdy sa̧ parami niezależne.

3. (20 pkt) Wieloletnie statystyki wykazuja̧, że 30% spotkań ligowych we Francji kończy siȩ remisami. W jednej kolejce odbywa siȩ 9 spotkań. Zakładaja̧c, że wszystkie mecze siȩ odbywaja̧ niezależnie i w każdym prawdopodobieństwo remisu jest 0.3 oblicz wartość oczekiwana̧, wariancjȩ i najbardziej prawdopodobna̧ wartość liczby remisów w jednej kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiȩcej niż jedno spotkanie zakończy siȩ remisem?

4. (15 pkt) Rzucamy trzy razy moneta̧, a nastȩpnie kostka̧ tyle razy ile wypadło orłów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wyrzucimy conajmniej jedna̧ szóstkȩ

b) wyrzuciliśmy same orły, jeśli wiadomo, że wyrzuciliśmy conajmniej jedna̧ szóstkȩ.

5. (20 pkt) Ze zbioru {0, 1, …, 99999} wybrano w sposób losowy jedna̧ liczbȩ. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana liczba

a) nie ma cyfr wiȩkszych od 5

b) ma dokładnie jedna̧ cyfrȩ wiȩksza̧ od 5

c) ma conajmniej jedna̧ cyfrȩ równa̧ 5 i conajmniej jedna̧ równa̧ 6

d) ma dokładnie dwie cyfry równe 5 i dokładnie jedna̧ równa̧ 6?

6. (20 pkt) Niech X oznacza liczbȩ pików w rȩce gracza N w grze w brydża. Znajdź

a) rozkład X i P (X ≥ 1)

b) wartość średnia̧ X (podaj konkretna̧ liczbȩ) c)(10 pkt*) wariancjȩ X (podaj konkretna̧ liczbȩ).

KLASÓWKA

grupa II, 30 maja 2000

1. (10 pkt) Zdarzenia A, B, C sa̧ parami niezależne. Udowodnij,że wówczas zdarzenia A, B, C sa̧ niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia A∪B, C sa̧ niezależne.

2. (20 pkt) Wieloletnie statystyki wykazuja̧, że 25% spotkań w drugie lidze kończy siȩ remisami. W jednej kolejce odbywa siȩ 12 spotkań. Zakładaja̧c, że wszystkie mecze siȩ odbywaja̧ niezależnie i w każdym prawdopodobieństwo remisu jest 0.25 oblicz wartość oczekiwana̧, wariancjȩ i najbardziej prawdopodobna̧ wartość liczby remisów w jednej kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiȩcej niż jedno spotkanie zakończy siȩ remisem?

3. (15 pkt) Rzucamy kolejno symetryczna̧ moneta̧ dopóki nie wyrzucimy orła, ale nie wiȩcej niż 3 razy. Oznaczmy przez X ilość wykonanych rzutów. Znajdź rozkład X, wartość średnia̧ i wariancjȩ X. .

4. (20 pkt) Ze zbioru {0, 1, …, 999999} wybrano w sposób losowy jedna̧ liczbȩ. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana liczba

a) nie ma cyfr wiȩkszych od 6

b) ma dokładnie dwie cyfry równe 6

c) ma conajmniej jedna̧ cyfrȩ wiȩksza̧ niż 6 i conajmniej jedna̧ mniejsza̧ niż 6

d) ma dokładnie dwie cyfry mniejsze niż 6 i dokładnie jedna̧ równa̧ 6?

5. (15 pkt) Rzucamy cztery razy moneta̧, a nastȩpnie kostka̧ tyle razy ile wypadło orłów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wyrzucimy conajmniej jedna̧ szóstkȩ

b) wyrzuciliśmy same orły, jeśli wiadomo, że wyrzuciliśmy conajmniej jedna̧ szóstkȩ

6. (20 pkt) Niech X oznacza liczbȩ figur (tzn. kart starszych od 10tki) w rȩce gracza N w grze w brydża. Znajdź

a) rozkład X i P (X ≥ 1)

b) wartość średnia̧ X (podaj konkretna̧ liczbȩ) c)(10 pkt*) wariancjȩ X (podaj konkretna̧ liczbȩ).