KLASÓWKA

grupa I, 4 kwietnia 2000

1. (15 pkt) Zdarzenia A, B, C, D sa̧ niezależne a) czy zdarzenia A ∩ B, C ∪ D musza̧ być niezależne?

b) załóżmy, że P (A) = P (B) = 0.2, P (C) = 0.5, P (D) = 0.7, ile wynosza̧ prawdopodobieństwa P (A ∩ B|B ∩ C) i P (A ∪ B ∪ C ∪ D)?

2. (15pkt) Zmienna losowa X ma rozkład

\{(−3, \frac{1}{20})(−2, \frac{1}{10}), (−1, \frac{2}{10}), (0, \frac{3}{10})(1, \frac{5}{20})(2, \frac{1}{10})\}.

a) Znajdź rozkład zmiennej losowej X^{2} + 2X

b) Oblicz P (X > 0) i P (X^{3} − 3X > 0)

3. (20 pkt) Pewien koszykarz trafia do tarczy z 90% skutecznościa̧. Załóżmy, że wyniki kolejnych rzutów wykonywanych przez koszykarza sa̧ od siebie niezależne. Oblicz

a) najbardziej prawdopodobna̧ liczbȩ trafionych rzutów w 9 próbach

b) prawdopodobieństwo, że 8 trafienie nasta̧pi w 9 rzucie

c) prawdopodobieństwo, że drugie pudło nasta̧pi w 7dmym a czwarte w 12 rzucie.

d) Wiadomo, ze w 10 próbach koszykarz spudłował nie wiȩcej niż raz, jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci rzut był celny?

4. (25 pkt) Czterech tenisistów A,B,C,D co miesia̧c rozgrywa miniturniej tenisowy. Na pocza̧tek dziela̧ siȩ losowo na dwie pary, które graja̧ mecze półfinałowe, a później zwyciȩzcy obu pojedynków graja̧ decyduja̧cy mecz (w tenisie nie ma możliwości remisu). Mecze tocza̧ siȩ od siebie niezależnie, a prawdopodobieństwa, że w pojedynczej grze A wygra z B jest 0.6, A wygra z C 0.7, A wygra z D 0.8, B wygra z C 0.6, B wygra z D 0.7, C wygra z D 0.5.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że gracz D wygra cały turniej

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w cia̧gu roku gracz D wygra wiȩcej niż jeden turniej?

c) Która z drabinek turniejowych jest najbardziej korzystna dla gracza D?

5. (25pkt) Spośród liczb od 0 do 9999 wybrano losowo jedna̧. Niech X oznacza najwiȩksza̧ cyfrȩ wylosowanej liczby, zaś Y ilość różnych cyfr w wylosowanej liczbie.

a) Znajdź rozkład X

b) Oblicz P (X ≤ 2) i P (Y ≥ 2)

c) Oblicz prawdopodobieństwo, że X jest równe 8 jeśli wiadomo, że Y = 4 d) Oblicz P (X = Y = 3)

6. (20 pkt*) Rzucamy n razy symetryczna̧ moneta̧. Niech X_{n} oznacza najdluższa̧ seriȩ orłów (np dla cia̧gu ROROOORROO X_{10} = 3). Wykaż, że a) lim_{n→∞} P (X_{n} > λ log_{2} n) = 0 dla λ > 1

b) lim_{n→∞} P (X_{n} > λ log_{2} n) = 1 dla λ < 1.

KLASÓWKA

grupa II, 4 kwietnia 2000

1. (15pkt) Zmienna losowa X ma rozkład

\{(−4, \frac{1}{20})(−3, \frac{1}{10}), (−2, \frac{2}{10}), (0, \frac{3}{10})(1, \frac{5}{20})(2, \frac{1}{10})\}.

a) Znajdź rozkład zmiennej losowej X^{2} + X

b) Oblicz P (X < 0) i P (X^{3} − 5X > 1)

2. (15 pkt) Zdarzenia A, B, C, D sa̧ niezależne a) czy zdarzenia A ∪ B, C ∩ D musza̧ być niezależne?

b) załóżmy, że P (A) = 0.3, P (B) = 0.4, P (C) = P (D) = 0.5, ile wynosza̧ prawdopodobieństwa P (A ∩ B|C ∩ D) i P (A ∪ B ∪ C ∪ D)?

3. (25pkt) Spośród liczb od 0 do 99999 wybrano losowo jedna̧. Niech X oznacza najwiȩksza̧ cyfrȩ wylosowanej liczby, zaś Y ilość różnych cyfr w wylosowanej liczbie.

a) Znajdź rozkład X

b) Oblicz P (X ≤ 5) i P (Y ≥ 2)

c) Oblicz prawdopodobieństwo, że X jest równe 9 jeśli wiadomo, że Y = 5 d) Oblicz P (X = Y = 2)

4. (20 pkt) Pewien koszykarz trafia do tarczy z 80% skutecznościa̧. Załóżmy, że wyniki kolejnych rzutów wykonywanych przez koszykarza sa̧ od siebie niezależne. Oblicz

a) najbardziej prawdopodobna̧ liczbȩ trafionych rzutów w 19 próbach b) prawdopodobieństwo, że 6 trafienie nasta̧pi w 8 rzucie

c) prawdopodobieństwo, że trzecie pudło nasta̧pi w 7dmym a pia̧te w 14 rzucie.

d) Wiadomo, ze w 8 próbach koszykarz spudłował nie wiȩcej niż raz, jakie jest prawdopodobieństwo, że szósty rzut był niecelny?

5. (25 pkt) Czterech tenisistów A,B,C,D co miesia̧c rozgrywa miniturniej tenisowy. Na pocza̧tek dziela̧ siȩ losowo na dwie pary, które graja̧ mecze półfinałowe, a później zwyciȩzcy obu pojedynków graja̧ decyduja̧cy mecz (w tenisie nie ma możliwości remisu). Mecze tocza̧ siȩ od siebie niezależnie, a prawdopodobieństwa, że w pojedynczej grze A wygra z B jest 0.5, A wygra z C 0.4, A wygra z D 0.3, B wygra z C 0.4, B wygra z D 0.3, C wygra z D 0.5.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że gracz A wygra cały turniej

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w cia̧gu roku gracz A wygra wiȩcej niż jeden turniej?

c) Która z drabinek turniejowych jest najbardziej korzystna dla gracza A?

6. (20 pkt*) Rzucamy n razy symetryczna̧ moneta̧. Niech X_{n} oznacza najdluższa̧ seriȩ orłów (np dla cia̧gu ROROOORROO X_{10} = 3). Wykaż, że a) lim_{n→∞} P (X_{n} > λ log_{2} n) = 0 dla λ > 1

b) lim_{n→∞} P (X_{n} > λ log_{2} n) = 1 dla λ < 1.