PRACA KLASOWA 2, 11 stycznia 2000, grupa 1

1. (20pkt) W urnie znajduje siȩ 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli dopóki nie wylosujemy kuli z numerem 7.

a) Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 wykonamy skończona̧ liczbȩ losowań

b) Zaproponujemy przestrzeń probabilistyczna̧ dla tego zadania Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

c) dokonamy nieparzystej liczby losowań

d) dokonamy nieparzystej liczby losowań pod warunkiem, że bȩdziemy losować kule conajmniej 3 razy.

2. (15 pkt) W pewnym mieście 35% mieszkańców ma conajwyżej 20 lat, 25% od 21 do 40 lat a 40% powyżej 40 lat. W ostatnim roku chorowało 30% spośród osób do 20 lat, 10% spośród osób od 21 do 40 lat i 20% osób starszych niż 40 lat. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo mieszkaniec miasta

a) chorował w zeszłym roku

b) nie chorował w zeszłym roku i ma nie wiȩcej niż 40 lat.

3. (20pkt) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Rozważmy nastȩpuja̧ce zdarzenia: A - na pierwszej i drugiej kostce wypadła 6tka B - na drugiej i trzeciej kostce wypadła ta sama liczba oczek C - suma wyrzuconych oczek była parzysta. Czy zdarzenia A, B, C sa̧ parami niezależne? Czy zdarzenia A ∩ B i C sa̧ niezależne. Odpowiedź uzasadnij.

4. (15 pkt) W urnie znajduje siȩ a kul białych i b kul czarnych. Powtarzamy nastȩpuja̧ce doświadczenie: losujemy z urny kulȩ i rzucamy moneta̧ - jeśli wypadnie orzeł to zwracamy kulȩ do urny, jeśli reszka to nie zwracamy kuli. Niech p_{n}(a, b) oznacza prawdopodobieństwo, że za n-tym razem wylosujemy kulȩ biała̧. Udowodnij, że

p_{n}(a, b) = \frac{a}{a + b} dla n = 1, 2, …, a + b.

5. (10pkt) Zdarzenia A i B sa̧ niezależne, 0 < P (B) < 1 oraz 5P (A ∩ B) = P (B). Oblicz

a) P (A)

b) P (A|B′).

6. (20pkt) Dane sa̧ dwie urny - w pierwszej znajduje siȩ 5 kul białych i 5 czarnych, w drugiej 2 białe i 6 czarnych. Z pierwszej urny losujemy dwie kule i wrzucamy je drugiej urny, a nastȩpnie losujemy z drugiej urny jedna̧ kulȩ.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z drugiej urny wylosujemy kulȩ biała̧? Załóżmy, że z drugiej urny wylosowaliśmy kulȩ biała̧, oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wycia̧gnȩliśmy

b) dwie kule białe

c) conajmniej jedna̧ kulȩ biała̧.

7. (15pkt*) Karol i Karolina graja̧ w nastȩpuja̧ca̧ grȩ: rzucaja̧ moneta̧ i jeśli wypadnie orzeł to Karolina daje Karolowi 1 zł., a jeśli reszka to Karol daje Karolinie 1 zł. Rzuty siȩ powtarza aż któryś z graczy przegra grȩ tzn zostanie bez pieniȩdzy. Zakładaja̧c, że na pocza̧tku gry Karol miał 2 zł., a Karolina 3 zł., oblicz prawdopodobieństwo, że grȩ wygra Karolina.

1. (10pkt) Zdarzenia A i B sa̧ niezależne, 0 < P (A) < 1 oraz 4P (A ∩ B) = P (A). Oblicz

a) P (B)

b) P (B|A′).

2. (20pkt) W urnie znajduje siȩ 11 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 11. Z urny losujemy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli dopóki nie wylosujemy kuli z numerem 11.

a) Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 wykonamy skończona̧ liczbȩ losowań

b) Zaproponujemy przestrzeń probabilistyczna̧ dla tego zadania Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

c) dokonamy parzystej liczby losowań

d) dokonamy parzystej liczby losowań pod warunkiem, że bȩdziemy losować kule conajmniej 2 razy.

3. (20pkt) Dane sa̧ dwie urny - w pierwszej znajduje siȩ 4 kule białe i 6 czarnych, w drugiej 1 biała i 7 czarnych. Z pierwszej urny losujemy dwie kule i wrzucamy je drugiej urny, a nastȩpnie losujemy z drugiej urny jedna̧ kulȩ.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z drugiej urny wylosujemy kulȩ biała̧? Załóżmy, że z drugiej urny wylosowaliśmy kulȩ biała̧, oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wycia̧gnȩliśmy

b) dwie kule białe

c) conajmniej jedna̧ kulȩ biała̧.

4. (15 pkt) W pewnym mieście 40% mieszkańców ma conajwyżej 20 lat, 25% od 21 do 40 lat a 35% powyżej 40 lat. W ostatnim roku chorowało 40% spośród osób do 20 lat, 20% spośród osób od 21 do 40 lat i 30% osób starszych niż 40 lat. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo mieszkaniec miasta

a) nie chorował w zeszłym roku

b) chorował w zeszłym roku i ma wiȩcej niż 20 lat.

5. (20pkt) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Rozważmy nastȩpuja̧ce zdarzenia: A - na pierwszej kostce wypadła 6tka B - na drugiej i trzeciej kostce wypadła ta sama liczba oczek C - suma wyrzuconych oczek była parzysta. Czy zdarzenia A, B, C sa̧ parami niezależne? Czy zdarzenia A ∩ B i C sa̧ niezależne. Odpowiedź uzasadnij.

6. (15 pkt) W urnie znajduje siȩ a kul białych i b kul czarnych. Powtarzamy nastȩpuja̧ce doświadczenie: losujemy z urny kulȩ i rzucamy moneta̧ - jeśli wypadnie orzeł to zwracamy kulȩ do urny, jeśli reszka to nie zwracamy kuli. Niech p_{n}(a, b) oznacza prawdopodobieństwo, że za n-tym razem wylosujemy kulȩ biała̧. Udowodnij, że

p_{n}(a, b) = \frac{a}{a + b} dla n = 1, 2, …, a + b.

7. (15pkt*) Karol i Karolina graja̧ w nastȩpuja̧ca̧ grȩ: rzucaja̧ moneta̧ i jeśli wypadnie orzeł to Karolina daje Karolowi 1 zł., a jeśli reszka to Karol daje Karolinie 1 zł. Rzuty siȩ powtarza aż któryś z graczy przegra grȩ tzn zostanie bez pieniȩdzy. Zakładaja̧c, że na pocza̧tku gry Karol miał 2 zł., a Karolina 3 zł., oblicz prawdopodobieństwo, że grȩ wygra Karolina.