KLASÓWKA

grupa I, 26 października 1999

1. (15pkt) Symetryczna̧ kostka̧ do gry rzucono 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wyniki wszystkich rzutów były różne

b) za 5 tym razem wyrzucono liczbȩ oczek, która nie pojawiła siȩ w pierwszych czterech rzutach

c) wyrzucono dokładnie dwie jedynki.

2. (10pkt) Agata zakupiła na loterii fantowej 10 losów. Zakładaja̧c, iż wśród 100 losów przygotowanych na loteriȩ było 15 wygrywaja̧cych oblicz prawdopodobieństwo, że Agata kupiła

a) dokładnie jeden los wygrywaja̧cy

b) conajmniej jeden los wygrywaja̧cy.

3. (15pkt) a) Ile różnych (niekoniecznie sensownych) 13-literowych wyrazów można utworzyć przestawiaja̧c litery w słowie ”SZCZEBRZESZYN”? Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany z tych wyrazów

b) zaczyna siȩ od cia̧gu liter ”SZCZ”

c) zawiera cia̧g liter ”SZCZ”?

4. (20pkt) Spośród liczb calkowitych 0, 1, …, 99999 wybrano losowo jedna̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba

a) zawiera cyfrȩ 5

b) zawiera cyfrȩ 5 lub 7 (np 5, 7, 5073)

c) zawiera obie cyfry 5 i 7 (np 57, 7095, ale nie 5509, 673)

d) zawiera cyfry 5, 7 i 9 (np 9570, 7759, ale nie 9512, 5577)?

5. (10pkt) 15 osobowa rada pewnej gminy postanowiła ze swego grona wybrać trzy komisje specjalne licza̧ce odpowiednio 6, 5 i 4 osoby, przy czym każdy z radnych może uczestniczyć tylko w jednej komisji.

a) Na ile sposobów można dokonać wyboru komisji?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym wyborze komisji radni Abacki i Babacki trafia̧ do tej samej komisji?

6. (15pkt) Ile jest rozwia̧zań równania

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 25

a) w liczbach całkowitych nieujemnych

b) w liczbach całkowitych dodatnich

c) w liczbach nieparzystych dodatnich?

7. (15pkt) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grze w brydża gracz dostanie a) wiȩcej kart czerwonych niż czarnych

b) układ 4-3-3-3 (tzn 4 karty w pewnym kolorze i po 3 w pozostałych)

c) żadnego asa i conajmniej jednego króla?

8. (10pkt*) W pewnej klasie uczy siȩ 5 dziewczyn i 12 chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym ustawieniu uczniów w szereg żadne dwie dziewczyny nie stoja̧ obok siebie?

KLASÓWKA

grupa II, 26 października 1999

1. (15pkt) a) Ile różnych (niekoniecznie sensownych) 14-literowych wyrazów można utworzyć przestawiaja̧c litery w słowie ”ROZSZCZEPIENIE”? Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany z tych wyrazów

b) zaczyna siȩ od cia̧gu liter ”SZCZ”

c) zawiera cia̧g liter ”SZCZ”?

2. (10pkt) Agata zakupiła na loterii fantowej 10 losów. Zakładaja̧c, iż wśród 150 losów przygotowanych na loteriȩ było 20 wygrywaja̧cych oblicz prawdopodobieństwo, że Agata kupiła

a) dokładnie jeden los wygrywaja̧cy

b) conajmniej jeden los wygrywaja̧cy.

3. (20pkt) Spośród liczb calkowitych 0, 1, …, 9999 wybrano losowo jedna̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba

a) zawiera cyfrȩ 1

b) zawiera cyfrȩ 1 lub 3 (np 1, 3, 1073)

c) zawiera obie cyfry 1 i 3 (np 13, 3011, ale nie 1501, 673)

d) zawiera cyfry 1, 3 i 5 (np 1530, 3351, ale nie 9512, 5537)?

4. (15pkt) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grze w brydża gracz dostanie a) wiȩcej kart czarnych niż czerwonych

b) układ 7-2-2-2 (tzn 7 kart w pewnym kolorze i po 2 w pozostałych)

c) żadnego asa i conajwyżej trzy króle?

5. (15pkt) Symetryczna̧ kostka̧ do gry rzucono 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wyniki wszystkich rzutów były różne

b) za 4 tym razem wyrzucono liczbȩ oczek, która nie pojawiła siȩ w pierwszych trzech rzutach

c) wyrzucono dokładnie dwie dwójki.

6. (15pkt) Ile jest rozwia̧zań równania

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 20

a) w liczbach całkowitych nieujemnych

b) w liczbach całkowitych dodatnich

c) w liczbach nieparzystych dodatnich?

7. (10pkt) 20 osobowa rada pewnej gminy postanowiła ze swego grona wybrać trzy komisje specjalne licza̧ce odpowiednio 8, 7 i 5 osób, przy czym każdy z radnych może uczestniczyć tylko w jednej komisji.

a) Na ile sposobów można dokonać wyboru komisji?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym wyborze komisji radni Abacki i Babacki trafia̧ do tej samej komisji?

8. (10pkt*) W pewnej klasie uczy siȩ 7 dziewczyn i 13 chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym ustawieniu uczniów w szereg żadne dwie dziewczyny nie stoja̧ obok siebie?