Trochę zadań kombinatorycznych

1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?

2. Na szachownicy o wymiarach n × n umieszczamy 8 nierozróżnialnych wież szachowych tak aby żadne dwie nie biły się. Na ile to można zrobić sposobów? Jak zmieni się liczba sposobów jeśli założymy, że wieże są rozróżnialne?

3. Na ile sposobów można podzielić 24 studentów na dwie dwunastoosobowe grupy podczas kolokwium?

4. Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczynek, tak by w skład delegacji wchodziło więcej chłopców niż dziewczynek?

5. Ile jest możliwości ustawienia 24 osobowej klasy w szeregu tak, by każdy uczeń stał na miejscu o numerze k, gdzie k n − 3, zaś n oznacza numer ucznia na liście w dzienniku.

6. Na ile sposobów można wybrać 13 kart z 52–kartowej talii tak, by w pewnym kolorze mieć 7 kart, zaś w pozostałych po dwie karty?

7. Gramy w pokera talią 24 kartową. Na ile sposobów można otrzymać �z ręki” 5 kart stanowiących

a) parę

b) dwie pary

c) trójkę

d) fulla

e) karetę

f) kolor

g) pokera?

8. Ile różnych (niekoniecznie sensownych) słów 12 literowych można ułożyć permutując litery słowa DEGRENGOLADA?

9. Na ile sposobów można wybrać trzy różne wierzchołki 12 kąta foremnego by tworzyły one trójkąt prostokątny? A rozwartokątny?

10. Na ile sposobów można rozdać 28 kostek domina czterem graczom?

11. Na ile sposobów można umieścić N listów w N zaadresowanych kopertach tak, by żaden nie trafił do właściwego adresata?

12. Na ile sposobów można ustawić 7 krzeseł białych i 3 czerwone przy okrągłym stole?

13. Ile jest rozwiązań równania x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 20 a) w liczbach naturalnych

b) w liczbach całkowitych nieujemnych

c) w liczbach naturalnych takich, że x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 1

1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2^{Ω} . Udowodnij, że istnieją liczby p_{ω} 0, ∑ _{ω∈Ω} p_{ω} = 1 takie, że P (A) = ∑ _{ω∈A} p_{ω} dla wszystkich A ∈ F.

2. Opisać wszystkie przestrzenie probabilistyczne z przeliczalnym zbiorem zdarzeń elementarnych Ω.

3*. Udowodnij, że każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne.

4. Udowodnij następujące tożsamości

(lim supA_{n})′ = lim inf(An^{′}), (lim inf A_{n})′ = lim sup(An^{′}),

lim inf A_{n} ⊂ lim supA_{n}, lim sup(A_{n} ∪ B_{n}) = lim supA_{n} ∪ lim supB_{n},

lim supA_{n} ∩ lim inf B_{n} ⊂ lim sup(A_{n} ∩ B_{n}) ⊂ lim supA_{n} ∩ lim supB_{n},

A_{n} ↗ A lub A_{n} ↘ A to A = lim supA_{n} = lim inf A_{n}.

5. Wykaż, że jeśli A_{n} = (−∞, x_{n}) oraz x = lim supx_{n} to lim supA_{n} = (−∞, x) lub (−∞, x] oraz oba te przypadki mogą zajść.

6. Udowodnij, że następujące dwie pseudometryki na F

ρ_{1}(A, B) = P (AΔB)

ρ_{2}(A, B) = \{ \begin{matrix}\frac{P (AΔB)}{P (A∪B)} & jeśli P (A ∪ B) > 0 \\ 0 & jeśli P (A ∪ B) = 0 \end{matrix}

spełniają warunek trójkąta.

7*. Rzucamy monetą dopóki nie wypadną dwa orły pod rząd. Znaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładnie k razy.

8. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi jest losowany jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każy uczeń będzie przepytany.

9. W szafie znajduje się n par butów, na chybił trafił wybieramy z nich 2k butów przy czym 2k < n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wśród wylosowanych butów jest conajmniej jedna para,

b) wśród wylosowanych butów jest dokładnie jedna para.

10*. Roztrzepana sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty.

11. W n rozróżnialnych urnach umieszczono w sposób losowy k rozróżnialnych kul. Oblicz prawdopodobieństwo p_{m}(k, n), że dokładnie m urn pozostanie pustych 0 m n − 1. (Wskazówka: policz najpierw p_{0}(k, n)).

12. Udowodnij, że dla dowolnych zdarzeń probabilistycznych a) ℙ(⋃ _{i=1}^{n} A_{i}) = ∑ _{k=1}^{n} (−1)^{k−1} ∑ _{1 i_{1} <...<i_{k} n} ℙ(A_{i_{1}} ∩ … ∩ A_{i_{k}} ) b*) ℙ(⋃ _{i=1}^{n} A_{i}) ∑ _{k=1}^{m} (−1)^{k−1} ∑ _{1 i_{1} <...<i_{k} n} ℙ(A_{i_{1}} ∩ … ∩ A_{i_{k}} ) dla m nieparzystych c*) ℙ(⋃ _{i=1}^{n} A_{i}) ∑ _{k=1}^{m} (−1)^{k−1} ∑ _{1 i_{1} <...<i_{k} n} ℙ(A_{i_{1}} ∩ … ∩ A_{i_{k}} ) dla m parzystych.

1* Wykaż, że liczba σ-ciał podzbiorów zbioru \{1, …, n\} jest równa \frac{1}{e} ∑ _{k 0} \frac{k^{n}}{k!} .

2. Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 uprawniających do kolejnego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania?

3. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładnie 3 asy jeśli wiadomo, że

a) mamy conajmniej jednego asa

b) mamy asa czarnego koloru

c) mamy asa pik

d) pierwszą wylosowaną kartą jest as

e) pierwszą wylosowaną kartą jest czarny as

f) pierwszą wylosowaną kartą jest as pik.

4.* (schemat urnowy Polya) Urna zawiera b kul białych i c kul czarnych. Wykonujemy kolejno następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, a następnie wkładamy ją z powrotem do urny, a wraz z nią dokładamy do urny a kul tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo wylosowania w n-tym losowaniu kuli białej jest \frac{b}{b+c} .

5. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma n dzieci jest równe

p_{n} = \{ \begin{matrix}αp^{n} & n = 1, 2, … \\ 1 − ∑ _{n=1}^{∞} αp^{n} = 1 − \frac{αp}{1−p} & n = 0 \end{matrix}

Zakładając, że wszystkie 2^{n} rozkładów płci dzieci w rodzinie o n dzieciach jest równoprawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma

a) conajmniej jedną córkę

b) dokładnie jedną córkę?

c) Losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedną córkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona jedynaczką?

6.* Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą aż pojawi się ciąg OOO lub ORO. Jeśli najpierw pojawi się OOO wygrywa gracz A, jeśli ORO gracz B.

a) Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 gra się zakończy

b) Jakie są szanse, że grę wygra gracz A?

7.* Dwaj gracze grają w orła i reszkę monetą symetryczną. Jeśli wypadnie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostanie bez pieniędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że grę wygra gracz A.

b) Jak zmieni się to prawdopodobieństwo, jeśli moneta jest sfałszowana tzn. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p ≠ 1/2?

8.* Udowodnij, że nie istnieje prawdopodobieństwo określone na wszystkich podzbiorach ℤ_{+} takie, że dla wszystkich k, P (A_{k}) = 1/k, gdzie A_{k} jest zbiorem liczb podzielnych przez k.

1. Na kiju długości l wybrano na chybił trafił 2 punkty i w tych punktach przełamano kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymanych 3 kawałków można zbudować trójkąt.

2. (Igła Buffona) Igłę o długości l rzucono w sposób losowy na płaszczyznę z zaznaczonymi liniami równoległymi. Odległość między sąsiednimi liniami wynosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii.

3* Wielokąt wypukły o średnicy mniejszej niż d rzucono na płaszczyznę poliniowaną jak w poprzednim zadaniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wielokąt przetnie którąś z linii.

4. Dla A ∈ F zdefiniujmy A^{1} = A i A^{−1} = A′. Udowodnij, że dla dowolnych A_{1}, …, A_{n} ∈ F i ε_{1}, …, ε_{n} ∈ {−1, 1} zdarzenia A_{1}, …, A_{n} są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia A_{1}^{ε_{1}} , …, A_{n}^{ε_{n}} są niezależne.

5* Udowodnij, że w definicji niezależności n zdarzeń każde z 2^{n} −n−1 równań jest niezbędne (tzn. jeśli odrzucimy jedno z równań to istnieją zdarzenia zależne spełniające wszystkie pozostałe równania).

6. Oblicz prawdopodobieństwo, że w schemacie Bernoulliego w n próbach i prawdopodobieństwu sukcesu w pojedynczej próbie równym p będzie parzysta liczba sukcesów.

7. Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą n razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymają tę samą liczbę orłów?

8. Rzucamy wielokrotnie parą symetrycznych kości. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek równa 7 wypadnie przed sumą oczek 8.

9. Podaj przykład rodziny zbiorów A oraz dwu miar probabilistycznych pokrywających się na A, ale nie na σ(A).

10* Wykaż, że jeśli zdarzenia A_{i} są parami niezależne oraz ∑ _{i=1}^{∞} ℙ(A_{i}) = ∞ to ℙ(lim supA_{i}) = 1.

11. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 w ciągu niezależnych rzutów monetą wystąpi każdy skończony ciąg złożony z orłów i reszek.

12. Zdarzenia A_{1}, A_{2}, … są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jaka jest szansa, że zajdzie nieskończenie wiele spośród zdarzeń A_{i}?

13* Załóżmy, że koła rozłączne B(x_{i}, r_{i}) są zawarte w pewnym prostokącie oraz pokrywają ten prostokąt z dokładnością do zbioru miary 0. Wykaż, że ∑ _{i} r_{i} = ∞.

1* Niech F : R → [0, 1] będzie prawostronnie ciągłą niemalejącą funkcją taką, że F (∞) = 1 oraz F (−∞) = 0. Na odcinku [0, 1] z miarą Lebesgue’a skonstruuj zmienną losową, która ma dystrybuantę F.

2* Wykaż, że dwie ograniczone zmienne losowe X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼(X^{n}Y^{m}) = 𝔼X^{n}𝔼Y^{m} dla dowolnych liczb naturalnych n i m.

3. a) Pokazać, że funkcje Rademachera r_{n}(x) = sgn(cos(2^{n}πx)) są niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|)

b) dla t ∈ [0, 1] i n = 1, 2, … niech X_{n}(t) oznacza n-tą cyfrę rozwinięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwinięć wybieramy np. to ze skończoną liczbą 1). Udowodnij, że X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|).

4. Niech ε_{1}, ε_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że ℙ(ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2} (zob. zad. 4.). Dla skończonych podzbiorów A liczb całkowitych dodatnich zdefiniujmy funkcje Walsha

w_{A} = \{ \begin{matrix}∏ _{i∈A} ε_{i} & jeśli A ≠ ∅ \\ 1 & jeśli A = ∅ \end{matrix}

a) znajdź rozkład w_{A}

b) wykaż, że w_{A}, w_{B} są niezależne gdy A ≠ B. Czy w_{A}, w_{B}, w_{C} muszą być niezależne dla różnych indeksów A, B, C?

5. Zmienna losowa X ma dystrybuantę

F_{X} (t) = \{ \begin{matrix}0 & dlax < 0 \\ \frac{1}{7} + 2x & dla 0 x < \frac{1}{14} \\ \frac{2}{7} + x & dla \frac{1}{14} x < \frac{3}{7} \\ 1 & dla x \frac{3}{7}. \end{matrix}

Oblicz ℙ(X \frac{3}{7}), ℙ(0 < X < \frac{3}{7}), ℙ(X = 0), ℙ(\frac{1}{14} X \frac{3}{7}).

6. Niech X_{1}, …, X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuantą F. Dla ω ∈ Ω niech X_{1}^{∗}(ω), …, X_{n}^{∗}(ω) będzie ustawieniem X_{1}(ω), …, X_{n}(ω) w porządku rosnącym X_{1}^{∗}(ω) X_{2}^{∗}(ω) … X_{n}^{∗}(ω) (czyli w szczególności X_{1}^{∗} = min(X_{1}, …, X_{n}), X_{n}^{∗} = max(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź dystrybuantę X_{k}^{∗} dla k = 1, …, n (X_{k}^{∗} nazywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X_{1}, …, X_{n})

7. Niech X_{i}^{(j)} , 1 i n_{j} , j = 1, 2, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi, a f_{j} funkcjami mierzalnymi na ℝ^{n_{j}} . Czy zmienne f_{j} (X_{1}^{(j)} , …, X_{n_{j}}^{(j)} ), j = 1, 2 … są niezależne? Odpowiedź uzasadnij.

8* Załóżmy, że X, Y zmienne losowe takie, że X jest σ(Y)-mierzalne tzn. σ(X) ⊂ σ(Y).Udowodnij, że istnieje φ : ℝ → ℝ mierzalna taka, że X = φ(Y).

9* Czy na odcinku [0, 1] istnieją dwie niestałe funkcje ciągłe, będące niezależnymi zmiennymi losowymi względem miary Lebesgue’a?

1* Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych. Określmy

Y := lim sup_{n→∞}X_{n}, Z := lim inf_{n→∞} X_{n}.

Udowodnij, że Y i Z są zdegenerowanymi zmiennymi losowymi tzn. istnieją c, d ∈ ℝ ∪ {±∞} takie, że ℙ(Y = c) = ℙ(Z = d) = 1.

2. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrami odpowiednio p i r. Oblicz ℙ(X < Y).

3. Rozwiąż zadanie j.w., ale w przypadku gdy X i Y mają rozkład wykładniczy z parametrami λ i μ.

4* Niech X będzie �niestarzejącą się zmienną losową” tzn.

∀_{t,s>0} ℙ(X > s + t|X > s) = ℙ(X > t)

(zakładamy, że ℙ(X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodnij, że X ma rozkład wykładniczy.

5. Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym dystrybuanta X jest ciągła. Wykaż, że ℙ(X = Y) = 0.

6. Na skrzyżowaniu ulic na pewnym kierunku światło czerwone świeci się 2 minuty, zaś światło zielone 1 minutę (zakładamy, że nie ma światła żółtego). W losowym momencie samochód przyjeżdża na skrzyżowanie, oznaczmy przez X długość oczekiwania na światło zielone.

a) Znajdź rozkład X

b) Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję X.

7* Niech ε_{1}, ε_{2}, … będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi Bernoulliego tzn. P (ε_{i} = ±1) = 1/2. Jaki rozkład ma zmienna X = ∑ _{i=1}^{∞} 2^{−i} ε_{i}?

8. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a_{1}, …, a_{n}

𝔼( ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i})^{4} 3( 𝔼( ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i})^{2})^{2},

gdzie ε_{1}, …, ε_{n} są takie jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że stałej 3 nie można poprawić.

9* Roztrzepana sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję X.

10* Przy oznaczeniach jak w zadaniu 7 wykaż, że dla wszystkich t 0

ℙ( | ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i} | t) 2 exp( − \frac{t^{2}}{2 ∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{2}} ) .

1* Niech F będzie dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Udowodnij, że jeśli F jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie, to X ma rozkład ciągły.

2. W Beer City jest 50 pubów. W każdy weekend klub miłośników piwa odwiedza 3 losowo wybrane puby. Zakładając, że cotygodniowe wybory są dokonywane niezależnie oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby lokali odwiedzonych przynajmniej raz w ciągu 10 kolejnych weekendów.

3. Urna zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy z urny bez zwracania n kul (n N) i definiujemy zmienną losową X jako liczbę wylosowanych kul białych. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję X.

4. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu gamma Γ(α, β).

5. Niech X będzie miał rozkład N (0, 1). Oblicz 𝔼|X|^{p} dla p ∈ ℝ, jak wygląda ta liczba dla p naturalnych?

6* X jest rzeczywistą zmienną losową, udowodnij, że

𝔼|X|^{p} = p ∫_{0}^{∞} t^{p−1} ℙ(|X| t)dt.

7* Rzeczywista zmienna losowa X spełnia 𝔼|X|^{p} < ∞, udowodnij, że

lim_{t→∞} t^{p}ℙ(|X| t) = 0.

8* (Nierówność Chinczyna) Zmienne ε_{1}, ε_{2}, … są niezależne oraz ℙ(ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2}. Udowodnij, że dla dowolnego p > 0 istnieje stała C_{p} < ∞ zależna tylko od p taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2}, …, a_{n}

( 𝔼| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i} |^{p})^{1/p} C_{p}\sqrt{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}

9* X jest nieujemną zmienną losowa, udowodnij, że dla λ ∈ (0, 1)

ℙ(X > λEX) (1 − λ)^{2} \frac{(𝔼X)^{2}}{𝔼X^{2}} .

10. a) X ∼ N (a, σ^{2}), jaki rozkład ma bX + c dla b, c ∈ ℝ? b) X ∼ N (0, 1), znajdź rozkład e^{X} (tzw. rozkład lognormalny).

c) X, Y niezależne zmienne losowe o rozkładzie N (0, 1), jaki rozkład mają zmienne X + Y, X − Y, czy są niezależne?

1. Mówimy, że zmienna X jest symetryczna, jeśli zmienne X i −X mają ten sam rozkład. Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) X jest symetryczna, ii) X ma ten sam rozkład, co εX, gdzie ε jest niezależne od X i ℙ(ε = ±1) = 1/2, iii) 𝔼f(X) = 0 dla dowolnej nieparzystej, ograniczonej funkcji f.

2. Wykaż, że jeśli X_{i} są niezależne oraz X_{i} ma rozkład Γ(α_{i}, β), to ∑ _{i=1}^{n} X_{i} ma rozkład Γ(∑ _{i=1}^{n} α_{i}, β)

3. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1]. Jaki rozkład mają zmienne X + Y oraz X^{2} + Y^{2}?

4. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrami λ i μ, znajdź rozkład zmiennej X/Y.

5. Jaki rozkład ma zmienna X − Y, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym?

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie Exp(λ). Zdefiniujmy S_{0} = 0, S_{1} = X_{1}, S_{2} = X_{1} + X_{2}, . . .. Dla t > 0 niech N_{t} = sup{n : S_{n} t}. Wykaż, że N_{t} ma rozkład Poissona z parametrem λt.

7. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Cauchy’ego z parametrami h_{1} i h_{2}, udowodnij, że X + Y ma rozkład Cauchy’ego z parametrem h_{1} + h_{2} (inaczej jeśli X, Y niezależne o standardowym rozkładzie Cauchy’ego to h_{1}X + h_{2}Y ∼ (h_{1} + h_{2})X).

8* Niezależne zmienne losowe X, Y przyjmują wartości w T = {z ∈ C : |z| = 1}. Co można powiedzieć o rozkładzie XY jeśli X ma rozkład jednostajny na T?

9* X_{0}, X_{1}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuantą. Niech N = inf{n : X_{n} > X_{0}}. Znajdź rozkład N i oblicz 𝔼N.

10* Udowodnij, że dla 0 < λ < \frac{1}{2} rozkład ∑ _{n=1}^{∞} λ^{n}ε_{n} nie jest ciągły (ε_{1}, ε_{2}, … są niezależnymi zmiennymi takimi, że P (ε_{i} = ±1) = 1/2).

11* Niech (ε_{i}) będą jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że istnieje stała uniwersalna c > 0 taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2}, …, a_{n} a*) ℙ(| ∑ _{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| \frac{1}{2} \sqrt{∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{2}}) c b**) ℙ(| ∑ _{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| \sqrt{∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{2}}) c.

1* Niech Z będzie zmienną losową Cauchy’ego z parametrem 1. Udowodnij, że zmienne

Z_{2} = \frac{2Z}{1 − Z^{2}} , Z_{3} = \frac{3Z − Z^{3}}{1 − 3Z^{2}} , …, Z_{n} = \frac{\binom{n}{1}Z − \binom{n}{3}Z^{3} + \binom{n}{5}Z^{5} − …}{1 − \binom{n}{2}Z^{2} + \binom{n}{4}Z^{4} − …} , …

mają rozkład Cauchy’ego.

2. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Znajdź 𝔼(X|Y) oraz 𝔼(Y |X).

3* Zmienne losowe X, Y są niezależne o tym samym rozkładzie. Udowodnij,

że

𝔼(X|X + Y) = 𝔼(Y |X + Y) = \frac{X + Y}{2} p.n.

4* Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie oraz S_{k} = X_{1} + X_{2} + … + X_{k}. Znajdź dla i, n 1

𝔼(X_{i}|S_{n}, S_{n+1} , …) := 𝔼(X_{i}|σ(S_{n}, S_{n+1} , …)).

5. Znajdź przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale 𝔼(X|Y) = 𝔼X.

6. Wektor losowy (X, Y) ma gęstość

g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}}{2} e^{−x(y+1)} & jeśli x > 0, y > 0 \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

Znajdź 𝔼(X|Y).

7. X jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1, zaś Y - zmienną losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładniczy z parametrem X.

a) Znajdź rozkład Y,

b) Oblicz ℙ(X > r|Y).

8. X_{1}, X_{2}, …, X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, a], oblicz 𝔼(X_{1}| max(X_{1}, …, X_{n})).

1. Niech ℙ będzie miarą probabilistyczną na (ℝ^{2}, B(ℝ^{2})) z gęstością f(x, y) względem miary Lebesgue’a (czyli ℙ(A) = ∫_{A} f(x, y)dxdy). Niech G = {A × ℝ : A ∈ B(ℝ)}. Znajdź Π(·|G) rozkład warunkowy ℙ względem G.

2* Załóżmy, że X jest nieujemną zmienną losową na (Ω, F, ℙ) oraz G ⊂ F σ-podciało. Udowodnij, że

a) 𝔼(X|G) = ∫_{0}^{∞} ℙ(X > t|G)dt p.n.

b) ℙ(X > t|G) t^{−k} 𝔼(X^{k}|G) p.n.

3. Zmienne X i Y są niezależne, a f jest borelowską funkcją dwu zmiennych.

Wykaż, że

𝔼(f(X, Y)|Y = y) = 𝔼f(X, y) p.n.

4* Oblicz 𝔼(X|X^{2}+Y^{2}) i 𝔼(X^{2}|X+Y), gdy X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−1, 1].

5* X jest zmienną losową taką, że 𝔼|X|^{p} < ∞ dla pewnego p > 0. Wykaż, że lim_{p→0+} (𝔼|X|^{p})^{1/p} = ∥X∥_{0} := exp(𝔼 ln|X|) (przyjmujemy, że e^{−∞} = 0).

6. Dla p < 0 określmy podobnie jak dla p > 0, ∥X∥_{p} = (𝔼|X|^{p})^{1/p} używając dodatkowej konwencji ∞^{α} = 0 dla α < 0. Wykaż, że ∥X∥_{q} ∥X∥_{p} dla −∞ < q p ∞.

7. Udowodnij, że lim_{p→∞} ∥X∥_{p} = ∥X∥_{∞} := esssup|X|.

8* Udowodnij, że funkcja f(r) := r ln𝔼|X|^{1/r} jest wypukła dla r ∈ (0, ∞).

9* (Ogólna postać nierówności Chinczyna) Wykaż, że dla p, q > 0 istnieje stała C_{p,q} < ∞ taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n}

(𝔼| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}|^{p})^{1/p} C_{p,q}(𝔼| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}|^{q})^{1/q}

(ε_{1}, …, ε_{n} - niezależne zmienne losowe takie, że ℙ(ε_{i} = ±1) = 1/2)

1. Dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, ℙ) określmy

L^{0}(Ω, F, ℙ) := {X: Ω → ℝ: mierzalne}.

Dla X, Y ∈ L^{0}(Ω, F, ℙ) niech

d_{1}(X, Y) := 𝔼 min(1, |X − Y |), d_{2}(X, Y) := 𝔼\frac{|X − Y |}{1 + |X − Y |} .

Wykaż, że metryki d_{1} i d_{2} są równoważne oraz zbieżność w każdej z tych metryk jest równoważna zbieżności według prawdopodobieństwa.

2* Wykaż, że zbieżność prawie wszędzie jest niemetryzowalna tzn. nie istnieje metryka na L^{0}(Ω, F, ℙ), która metryzowałaby zbieżność prawie na pewno.

3. Udowodnij, że dla dowolnych zmiennych losowych X_{n}, Y_{n}, X, Y a) jeśli X_{n} →^{ℙ} X i X_{n} →^{ℙ} Y to ℙ(X = Y) = 1

b) jeśli X_{n} →^{ℙ} X i Y_{n} →^{ℙ} X to lim_{n→∞} ℙ(|X_{n} − Y_{n}| > ε) = 0 dla każdego ε > 0

4. Wykaż, że jeśli X_{n} →^{ℙ} X i Y_{n} →^{ℙ} Y to aX_{n} +bY_{n} →^{ℙ} aX +bY dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.

5. Wykaż, że jeśli X_{n} →^{ℙ} X i Y_{n} →^{ℙ} Y oraz F jest funkcją ciągłą, to f(X_{n}, Y_{n}) →^{ℙ} f(X, Y).

6* Udowodnij nierówność Levy’ego: jeśli X_{1}, …, X_{n} są niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi, to dla t > 0

ℙ( max_{1 k n} ∥S_{k}∥ t) 2ℙ(∥S_{n}∥ t),

gdzie S_{k} = X_{1} + … + X_{k}.

7* Udowodnij, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha (F, ∥.∥) dla dowolnego t > 0 zachodzi nierówność

ℙ( max_{1 k n} ∥S_{k}∥ Ct) Cℙ(∥S_{n}∥ t),

gdzie S_{k} = X_{1} + … + X_{k}.

1. Udowodnij, że dla ciągu nieujemnych zmiennych losowych X_{i}, ∑ _{i=1}^{∞} X_{i} < ∞ p.n. wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{i=1}^{∞} 𝔼\frac{X_{i}}{1+X_{i}} < ∞.

2* Zmienne X_{i} oraz ε_{i} są niezależne przy czym ℙ(ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2}. Wykaż, bez odwoływania się do twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, że ∑ ε_{i}X_{i} jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{i=1}^{∞} X_{i}^{2} < ∞ p.n..

3. Zmienne ε_{i} są zdefiniowane jak w poprzednim zadaniu, wykaż, że dla liczb rzeczywistych a_{i} szereg ∑ a_{i}ε_{i} jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy ∑ a_{i}^{2} < ∞.

4* Z poprzedniego zadania wynika, że S = ∑ _{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ε_{n} jest zbieżny p.w. Czy S ma rozkład ciągły?

5. Dla 0 < λ < 1/2 zdefiniujmy zmienną losową S_{λ} = ∑ _{n=1}^{∞} λ^{n}ε_{n}. Wykaż, że S_{λ} ma ciągłą dystrybuantę oraz czysto singularny rozkład tzn. istnieje zbiór borelowski A miary Lebesgue’a zero taki, że ℙ(S_{λ} ∈ A) = 1.

6* Wykaż, że dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych X_{i} o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha szereg ∑ _{i=1}^{∞} X_{i} jest zbieżny wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.n..

7. Zdarzenia A_{1}, A_{2}, … są niezależne oraz p_{n} = P (A_{n}), N_{n} = ∑ _{i=1}^{n} I_{A_{i}} , n = 1, 2, . . .. Udowodnij, że

\frac{N_{n}}{n} − \frac{p_{1} + p_{2} + … + p_{n}}{n} → 0

wg prawdopodobieństwa.

8* Funkcja rzeczywista f jest ciągła na [0, 1]^{2}. Dla x, y ∈ [0, 1] określmy

B_{f,n} (x, y) = ∑_{k,l=0}^{n} f( \frac{k}{n}, \frac{l}{n}) \binom{n}{k} \binom{n}{l} x^{k}(1 − x)^{n−k} y^{l}(1 − y)^{n−l} .

Udowodnij, że B_{f,n} (x, y) zbiega jednostajnie do f(x, y) na [0, 1]^{2}.

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne o jednakowym rozkładzie, 0 X_{i} < 1 p.n., udowodnij, że X_{1} · X_{2} · . . . · X_{n} → 0 p.n.

2. Niech X będzie miało rozkład Cauchy’ego. Które z rozkładów zmiennych X, X/ lnX, X^{2}, \sqrt{|X|} spełniają założenia mocnego prawa wielkich liczb, a które słabego?

3. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne o wspólnym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Pokazać, że ciągi zmiennych losowych

a) \frac{X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + … + X_{n}X_{n+1}}{n} , b) \frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + … + X_{n}^{2}}

są zbieżne prawie na pewno i znaleźć ich granice.

4. Dla ciągu X_{1}, X_{2}, … niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie o skończonej wariancji definiujemy średnią empiryczną m̄_{n} i dystrybuantę empiryczną σ̄_{n}^{2} wzorami

m̄_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{n} , σ̄_{n}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{k=1}^{n} (X_{k} − m̄_{n})^{2}.

Udowodnij, że 𝔼m̄_{n} = 𝔼X_{1}, 𝔼σ̄_{n}^{2} = Var(X_{1}) (tzn. m̄_{n} i σ̄_{n}^{2} są nieobciążonymi estymatorami średniej i wariancji) oraz m̄_{n} → 𝔼X_{1}, σ̄_{n}^{2} → Var(X_{1}) prawie na pewno gdy n → ∞.

5* Dany jest ciąg X_{1}, X_{2}, … niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie taki, że 𝔼X_{i} = ∞ (tzn 𝔼X_{1}^{−} < ∞ oraz 𝔼X_{i}^{+} = ∞). Udowodnij, że \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → ∞ prawie na pewno gdy n → ∞.

6. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P (X_{i} = 1) = p, P (X_{i} = −1) = 1 − p dla pewnego p ∈ (1/2, 1]. Wykaż, że X_{1} + … + X_{n} → ∞ prawie na pewno gdy n → ∞. Co się dzieje, gdy p = 1/2?

7** (Silne prawo wielkich liczb Marcinkiewicza) Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi jednakowo rozłożonymi zmiennymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodnij, że

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{n^{1/p}} → 0 p.n.

wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼|X|^{p} < ∞ oraz dodatkowo 𝔼X = 0 dla 1 p < 2.

8* Przy założeniach poprzedniego zadania udowodnij, że

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} → 0 p.n.

wtedy i tylko wtedy gdy X_{i} = 0 p.n..

9** Udowodnić, że jeśli X_{1}, X_{2}, … są rzeczywistymi zmiennymi losowymi parami niezależnymi o jednakowym rozkładzie takimi, że 𝔼|X_{1}| < ∞ to zachodzi Mocne Prawo Wielkich Liczb tzn.

lim_{n→∞} \frac{∑ _{i=1}^{n} X_{i}}{n} = 𝔼X_{1} p.n.

1. Udowodnij, że jeśli ustalimy p ∈ (0, 1) oraz liczbę rzeczywistą a to

lim_{n→∞} P (S_{n}^{∗} a) = 1 − Φ(a), lim_{n→∞} P (S_{n}^{∗} a) = Φ(a),

gdzie S_{n}^{∗} = \frac{S_{n} −np}{\sqrt{npq}} i S_{n} ∼ Bin(n, p).

2. Na campusie uniwersyteckim są dwie restauracja po 120 miejsc każda. Wiadomo, że codziennie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokonują losowo i niezależnie. Jaka jest szansa, że w którejś restauracji zabraknie miejsc? Ile miejsc należy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,001?

3. W pewnym stanie w wyborach prezydenckich głosuje 500.000 osób. Zakładając, że wyborcy głosują na każdego z dwu kandydatów z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szansa, że różnica między kandydatami będzie mniejsza niż 100 głosów?

4. Agata rzuciła monetą 100 razy i uzyskała 77 orłów. Jan chce powtórzyć ten wyczyn (tzn. otrzymać 77 lub więcej orłów) i zamierza w tym celu rzucać monetą aż do skutku. Ile średnio serii po 100 rzutów potrzeba, aby się doczekać 77 lub więcej orłów?

5. Wyznacz przybliżenia prawdopodobieństw otrzymania w n rzutach symetryczną monetą co najmniej 60% orłów dla n = 10, 100 i 1000.

6. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób popierających pewną partię polityczną. Chcemy by błąd był mniejszy niż 1% z prawdopodobieństwem 0.95? Ile w tym celu musimy przepytać osób? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiemy, że partię popiera nie więcej niż 10% wyborców?

7. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?