Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 1

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x_{n}, x,

δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy, gdy x_{n} → x.

2. Wykaż, że \frac{1}{n} ∑ _{k=1}^{n} δ_{k/n} ⇒ λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na [0, 1].

3. Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ, takich, że μ_{n} ⇒ μ, ale μ_{n}(A) ↛ μ(A) dla pewnego zbioru A.

4. Wykaż, że:

a) jeśli X_{n} → X p.n., to X_{n} ⇒ X;

b) jeśli X_{n} → X według prawdopodobieństwa, to X_{n} ⇒ X;

c) jeśli X_{n} ⇒ c, gdzie c jest stałą, to X_{n} → c według prawdopodobieństwa.

5. Zmienne losowe X_{n}, X przyjmują tylko wartości całkowite.

a) Wykaż, że X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy P(X_{n} = k) → P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k.

b) Czy z istnienia granic lim_{n→∞} P(X_{n} = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X_{n} wg rozkładu?

6. Czy teza punktu a) poprzedniego zadania się zmieni, jeśli zmienne X_{n} przyjmują wartości wymierne?

7. Niech Bin(p, n) oznacza rozkład Bernoulliego o n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, a Poiss(λ) - rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że jeśli np_{n} → λ, to Bin(p_{n}, n) ⇒ Poiss(λ).

8. Podaj przykład ciągu dystrybuant F_{n}, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

9. Podaj przykład ciągu zmiennych losowych X_{n}, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.

10. Wykaż, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.

11. Niech X będzie rzeczywistą zmienną losową. Wykaż, że istnieje ciąg zmiennych X_{n} zbieżny według rozkładu do X taki, że

a) każde X_{n} przyjmuje tylko skończenie wiele wartości,

b) zmienne X_{n} mają gęstość.

12. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy, gdy a_{n} → a oraz σ_{n}^{2} → σ^{2}.

1. Niech X będzie zmienną losową mającą gęstość oraz liczby a_{n} i a będą nieujemne. Wykaż, że zmienne a_{n}X + b_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej aX + b wtedy i tylko wtedy gdy a_{n} → a i b_{n} → b. Uwaga. Wystarczy zakładać, że X jest niezdegenerowane, tzn. P(X = c) < 1 dla wszystkich c.

2. Co trzeba założyć o funkcji f, by z tego, że X_{n} jest zbieżne według rozkładu do X wynikała zbieżność według rozkładu f(X_{n}) do f(X)?

3. Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ X, p > 0 oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞, to E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie E|X_{n}|^{p} → E|X|^{p}. Jest to jednak prawdą, gdy dla pewnego ε > 0, sup_{n} E|X_{n}|^{p+ε} < ∞.

4. Niech g_{n}, g oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ na ℝ^{n}. Wykazać, że jeśli g_{n} → g p.w., to μ_{n} ⇒ μ, ale niekoniecznie na odwrót.

5. Wykaż, że rodzina rozkładów normalnych N (a_{α} , σ_{α}^{2}) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} |a_{α} |, sup_{α} σ_{α}^{2} < ∞.

6. Dana jest rodzina rozkładów

a) wykładniczych {Exp(λ) : λ ∈ A}, A ⊆ ℝ_{+} ,

b) jednostajnych {U(a, b) : a, b ∈ A, a < b}, A ⊆ ℝ.

Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna?

7. Załóżmy, że ciąg zmiennych losowych X_{n} zbiega według rozkładu do zmiennej X o rozkładzie ciągłym. Wykaż, że dystrybuanty X_{n} zbiegają jednostajnie do dystrybuanty X.

8. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [0, a], zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n min{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}}.

1. Oblicz funkcje charakterystyczne rozkładów i) dyskretnych - dwupunktowego, geometrycznego, Bernoulliego, Poissona; ii) ciągłych - normalnego, jednostajnego, wykładniczego, dwustronnego wykładniczego, Cauchy’ego.

2. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cost, cos^{2} t, \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, \frac{1+cos t}{2} , \frac{1}{2−e^{it}} ?

3. Korzystając z funkcji charakterystycznej oblicz EX^{k} dla X ∼ N (0, 1).

4. Pokaż, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi.

5. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ^{2}, Reφ, |φ|^{2}, |φ|?

6. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X ∈ ℤ) = 1. Pokaż, że dla każdego n ∈ ℤ,

P(X = n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−itn} φ_{X} (t)dt.

7. Wykaż, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej X ma drugą pochodną w zerze, to EX^{2} < ∞.

1. Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdź, że jeśli ε_{n} są niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi przyjumjącymi wartości ±1, to zmienna losowa ∑ _{n 1} 2^{−n} ε_{n} ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].

2. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy φ_{X} (t) ∈ ℝ dla wszystkich t.

3. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X +Y mają rozkłady normalne. Udowodnij, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n..

4. Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ oraz P(ε = ±1) = \frac{1}{2}. Wykaż, że zmienna X − Y ma ten sam rozkład, co zmienna εX.

5. Wykaż, że istnieje t ≠ 0 takie, że |φ_{X} (t)| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X ∈ a + bℤ) = 1 dla pewnych a, b ∈ ℝ.

6. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że φ_{X+Y} = φ_{X} φ_{Y} oraz zmienne X, Y są zależne.

7. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną φ_{X} (t) = e^{−|t|^{α}} dla pewnego α ∈ (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej aX + bY, gdzie a, b ∈ ℝ, a Y jest niezależną kopią X?

8. Wykaż, że dla α > 2 nie istnieje zmienna losowa taka, że φ_{X} (t) = e^{−|t|^{α}} .

9. Załóżmy, że zmienne X i Y są niezależne, mają jednakowy rozkład oraz dla dowolnych liczb a, b zmienna aX +bY ma ten sam rozkład co zmienna (|a|^{α} + |b|^{α})^{1/α} X. Wykaż, że φ_{X} (t) = e^{−c|t|^{α}} dla pewnego c 0.

10. Dla n 1 zmienna X_{n} ma rozkład geometryczny z parametrem p_{n} ∈ (0, 1). Wykaż, że jeśli (a_{n})_{n} jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a_{n} → 0, p_{n}/a_{n} → λ > 0, to zmienne a_{n}X_{n} zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.

11. Podaj przykład zmiennych losowych X_{n} takich, że φ_{X_{n}} → φ punktowo, ale φ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.

1. W pewnym okręgu w wyborach do senatu głosuje 500.000 osób. Zakładając, że wyborcy głosują na każdego z dwu kandydatów z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szansa, że różnica między kandydatami będzie mniejsza niż 100 głosów?

2. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób popierających pewną partię polityczną. Chcemy by błąd był mniejszy niż 1% z prawdopodobieństwem 0.95? Ile w tym celu musimy przepytać osób? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiemy, że partię popiera nie więcej niż 10% wyborców?

3. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10000 losowo wybranych noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?

4. Rzucono 1000 razy kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między 3410 a 3590.

5. Dane są niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, …, o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą 0 i dodatnią wariancją. Wyznacz w zależności od a, α ∈ ℝ

lim_{n→∞} P ( | \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n^{α}} | > a) .

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = a) = P(X_{i} = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{1/\sqrt{n}} są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

7. Zmienne X_{λ} mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że

\frac{X_{n} − n}{\sqrt{n}} → N (0, 1) według rozkładu, gdyn → ∞.

8. Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

9. Wykaż, że jeśli X_{n} ⇒ X oraz Y_{n} ⇒ c dla pewnego c ∈ ℝ, to a) X_{n} + Y_{n} ⇒ c + X,

b) X_{n}Y_{n} → cX.

10. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX_{1} = 0, Var(X) = σ^{2} < ∞. Zbadaj zbieżność według rozkładu następujących ciągów

U_{n} = \frac{\sqrt{n}(X_{1} + …, X_{n})}{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}} , V_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}}} .

1. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że

P(X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}} ), P(X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}} .

Wykaż, że

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} ⇒ N (0, 1)

oraz Var(X_{n}) → 2. Wywnioskuj stąd, że

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{Var(X_{1} + … + X_{n})}} ⇒ N (0, 1/2).

2. Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X ∼ 2^{−1/2} (Y + Z), gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykaż, że X ma rozkład N (0, σ^{2}).

3. Załóżmy, że zmienne X_{k} są niezależne oraz P(X_{k} = ±1) = 1/2 zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−3/2} (X_{1} + 2X_{2} + … + nX_{n}).

4. Zmienne X_{i} są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−1/2} (X_{1} + X_{2}^{3} + … + X_{n}^{2n−1} ).

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają jednakowy rozkład o średniej zero i wariancji 1. Ciąg (a_{n}) jest ograniczony oraz s_{n} = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} …+ a_{n}^{2})^{1/2} → ∞. Wykaż, że s_{n}^{−1} (a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + …+ a_{n}X_{n}) zbiega według rozkładu do N (0, 1).

6. Zmienne X_{n} są niezależne, scentrowane, Var(X_{n}) = 1 oraz EX_{n}^{4} 10. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−1/2} (X_{1} + … + X_{n}).

7. Udowodnij, że zmienna X ∼ N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona

g_{X} (x) = \frac{\sqrt{detC}}{(2π)^{d/2}} exp( \frac{⟨C(x − a), x − a⟩}{2} ) , gdzie C = B^{−1} .

1. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Znajdź E(X|Y) oraz E(Y |X).

2. Załóżmy, że zmienne X, Y przyjmują wartości naturalne oraz

P(X = k, Y = l) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{l2^{l}} & dla 1 k l \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix} .

Oblicz E(X|Y).

3. Wektor losowy (X, Y) ma gęstość

g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}}{2} e^{−x(y+1)} & jeśli x > 0, y > 0 \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

Znajdź E(X|Y).

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, niech S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}.

a) 0blicz E(S_{n}|X_{1}), E(S_{n}^{2}|X_{1}).

b) Dla n k wyznacz E(S_{n}|S_{k}), E(S_{n}^{2}|S_{k}) oraz E(e^{−S_{n}} |S_{k}).

5. Znajdź przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale E(X|Y) = EX.

6. Zmienne X i Y są niezależne, a f jest borelowską funkcją dwu zmiennych taką, że E|f(X, Y)| < ∞. Wykaż, że E(f(X, Y)|Y) = g(Y) p.n., gdzie g(y) = Ef(X, y).

7. Zmienne X i Y są całkowalne, niezależne i mają jednakowy rozkład. Wykaż, że E(X|X + Y) = E(Y |X + Y) = \frac{1}{2}(X + Y).

8. Załóżmy, że ε_{i} są niezależnymi zmiennymi takimi, że P(ε_{i} = ±1) = 1/2. Oblicz E(ε_{1} + ε_{2}ε_{3}|ε_{1}ε_{2}) oraz E(ε_{1}ε_{2}|ε_{1} + ε_{2}ε_{3}).

9. Zmienne X i Y są niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Oblicz E(max(X, Y)| min(X, Y)) oraz E(X^{3}|X + Y).

10. Wektor (X, Y) ma łączny rozkład gaussowski o średniej zero taki, że Var(X) = σ_{1}^{2}, Var(Y) = σ_{2}^{2} oraz Cov(X, Y) = c. Oblicz E(X|Y) oraz P(X 0|Y).

1. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Wykaż, że τ+σ jest momentem zatrzymania. Czy τ−1, τ+1 są momentami zatrzymania?

2. Zmienne losowe (X_{n}) są adaptowalne względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B:

a) τ_{1} = inf{n : X_{n} ∈ B} – pierwsza wizyta w zbiorze B,

b) τ_{k} = inf{n > τ_{k−1} : X_{n} ∈ B}, k = 2, 3, … – k-ta wizyta w zbiorze B.

3. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} ∈ F_{τ} ∩F_{σ} oraz F_{τ} ∩F_{σ} = F_{τ∧σ} .

4. Podaj przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) ≠ F_{τ}.

5. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji i średniej zero oraz S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n}. Wykaż, że S_{n} i S_{n}^{2} − Var(S_{n}) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X_{n}.

6. Załóżmy, że ε_{1}, ε_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε_{i} = ±1) = 1/2 oraz F_{n} = σ(ε_{1}, …, ε_{n}). Niech S_{n} = ε_{1} + … + ε_{n}.

a) Znajdź wszystkie liczby a takie, że (a^{n} cos(S_{n}), F_{n}) jest martyngałem.

b) Wykaż, że dla dowolnego λ > 0, ciąg (exp(λS_{n} − nλ^{2}/2), F_{n}) jest nadmartyngałem.

7. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz E|X_{i}| < ∞ dla wszystkich i. Udowodnij, że M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X_{n} wtedy i tylko wtedy gdy EX_{i} = 1 dla wszystkich i lub X_{1} = 0 p.n..

8. Niech X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej 0. Wykaż, że ciąg Z_{n} dany wzorem Z_{0} = 0 Z_{n} = X_{0}X_{1}+X_{1}X_{2}+ …+X_{n−1} X_{n}, n 1 jest martyngałem względem F_{n} = σ(X_{0}, X_{1}, …, X_{n}).

9. Niech t ∈ ℝ oraz X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Przyjmijmy S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź wszystkie ciągi (a_{n}) takie, że (e^{itS_{n} +a_{n}} , F_{n}) jest martyngałem.

1. Ciąg (X_{n}) jest martyngałem. Zbadaj, czy są pod- bądź nadmartyngałami ciągi:

a) (|X_{n}|^{p})_{n} p 1;

b) (X_{n} ∧ a)_{n};

c) (X_{n} ∨ a)_{n};

d) (X_{n}^{3})_{n}.

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = p = 1 − P(X_{i} = −1). Przyjmując S_{0} = 0 oraz S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i} znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ^{S_{n}} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}).

3. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą niesymetryczną.

4. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną,

b) monetą niesymetryczną.

5. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X_{i} = ±1) = 1/2, S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz τ = inf{n : S_{n} = 1}. Wykaż, że Eτ = ∞.

6. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 zł. przez A w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną,

b) monetę niesymetryczną.

7. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EX_{τ} = EX_{0}.

8. X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Udowodnij, że dla dowolnego momentu zatrzymania względem filtracji generowanej przez (X_{n}) takiego, że Eτ < ∞ zachodzi E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτVar(X_{1}). Czy wzór ten musi być prawdziwy bez założenia o skończoności Eτ?

9. Niech (ε_{n})_{n} będzie ciągiem niezależnych symetrycznych zmiennych losowych o wartościach ±1. Wykaż, że nadmartyngał

Z_{n} := e^{a(ε_{1} +...+ε_{n} )−(na^{2} /2)}

jest zbieżny prawie na pewno. Czy jest zbieżny w L_{1}?

10. Niech X_{1}, X_{2}, ... będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0, 2]. Wykaż, że

M_{n} = ∏_{k=1}^{n} X_{k}

tworzą martyngał (względem filtracji generowanej przez X_{n}) zbieżny do 0 prawie na pewno, ale nie w L_{1} .

11. Podaj przykład martyngału X_{n} takiego, że X_{n} → 0 p.n. oraz E|X_{n}| → ∞.

1. Wykaż, że jeśli (X_{i}) i (Y_{i}) są jednostajnie całkowalne, to dla dowolnych a, b ∈ ℝ, (aX_{i} + bY_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

2. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X_{n} taki, że E sup_{n} |X_{n}| = ∞.

3. Niech φ : ℝ_{+} → ℝ_{+} spełnia warunek lim_{x→∞} \frac{φ(x)}{x} = ∞. Wykaż, że jeśli sup_{i} Eφ(|X_{i}|) < ∞, to (X_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

4. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że X_{n} ma rozkład Poissona z parametrem n^{2}. Wykaż, że ciąg

M_{n} = (n!)^{−2} X_{1} ⋯ X_{n}, n = 1, 2 …

jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}). Czy M_{n} jest zbieżny prawie na pewno? Czy jest zbieżny w L^{2}? Czy jest zbieżny w L^{1}?

5. Zmienne ε_{1}, ε_{2}, … są niezależne oraz P(ε_{i} = ±1) = 1/2. Rozstrzygnij, które z podanych poniżej procesów są łancuchami Markowa.

a) X_{0} = 0, X_{n} = ε_{1} + … + ε_{n}, n = 1, 2, …

b) Y_{0} = 1, Y_{n} = ε_{1}ε_{2} ⋯ ε_{n}, , n = 1, 2, …

c) Z_{n} = (−1)^{ε_{n}} , , n = 1, 2, …

d) W_{n} = ε_{n}ε_{n+1} , n = 1, 2, …

e) V_{n} = ε_{n} + ε_{n+1} , n = 1, 2 . . ..

6. Załóżmy, że E jest zbiorem przeliczalnym, f: E ×ℝ → E jest funkcją mierzalną (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne), Y_{0} pewną zmienną o wartościach w E, zaś X_{0}, X_{1}, … ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Definiujemy

Y_{n+1} = f(X_{n}, Y_{n}) dla n = 0, 1, . . ..

Wykaż, że (Y_{n}) jest łańcuchem Markowa.

7. Dwa jednorodne łańcuchy Markowa (X_{n}), (Y_{n}) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z_{n} = (X_{n}, Y_{n}) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia.

8. Ciąg (X_{n})_{n 0} jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Wykaż, że dla dowolnej funkcji różnowartościowej f : E → E, (f(X_{n})) jest łańcuchem Markowa. Czy tak być musi, jeśli nie założymy różnowartościowości f?

1. Dla łańcuchów Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3, 4} i poniższych macierzach przejścia znajdź wszystkie stany nieistotne i wszystkie zamknięte zbiory stanów.

a) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} )  b) ( \begin{matrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

2. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa, czy wynika stąd, że a) P(X_{n} = a_{k+1} |X_{i_{k}} = a_{k}, X_{i_{k−1}} = a_{k−1} , …, X_{i_{1}} = a_{1}) = P(X_{n} = a_{k+1} |X_{i_{k}} = a_{k}) dla dowolnych liczb całkowitych 0 i_{1} < i_{2} < … < i_{k} < n oraz stanów a_{1}, a_{2}, …, a_{k+1} ?

b) P(X_{n} ∈ A_{k+1} |X_{i_{k}} ∈ A_{k}, X_{i_{k−1}} ∈ A_{k−1} , …, X_{i_{1}} ∈ A_{1}) = P(X_{n} ∈ A_{k+1} |X_{i_{k}} ∈ A_{k}) dla dowolnych liczb całkowitych 0 i_{1} < i_{2} < … < i_{k} < n oraz zbiorów stanów A_{1}, A_{2}, …, A_{k+1} ?

3. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniętych.

4. Zmienne Y_{0}, Y_{1}, Y_{2}, … są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \frac{1}{2}. Ciąg zmiennych X_{1}, X_{2}, … jest określony następująco: X_{0} ≡ 1 p.n., a dla n 0,

X_{n+1} = \{ \begin{matrix}1 & jeśli Y_{n} = 1, \\ X_{n}Y_{n} & jeśli Y_{n} ≠ 1. \end{matrix}

a) Wykaż, że (X_{n})_{n} jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa.

b) Czy ten łańcuch jest okresowy?

c) Udowodnij, że wszystkie stany są powracające.

5. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to ∑ _{n=0}^{∞} p_{x,y} (n) < ∞ dla wszystkich x, w szczególności lim_{n→∞} p_{x,y} (n) = 0.

6. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający.

7. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa z prawdopodobieństwem 1 każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy (niezależnie od rozkładu początkowego).

1. Zbadaj okresowość łańcuchów o poniższych macierzach przejścia:

a) ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  b) ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

2. Jednorodny łańcuch Markowa o przestrzeni stanów {0, 1, 2 …} ma macierz przejścia (p_{n,m} )_{n,m 0} taką, że p_{0,1} = 1, p_{n,n+1} = 1 − p_{n,n−1} = p dla n = 1, 2 …, gdzie p ∈ (0, 1). W zależności do parametru p wyznacz wszystkie rozkłady stacjonarne.

3. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.

4. Rozważamy symetryczne błądzenie losowe (X_{n}) po kracie ℤ^{2}, tzn. ze stanu (i, j) przechodzimy z równymi prawdopodobieństwami do jednego ze stanów (i + 1, j), (i − 1, j) (i, j + 1) i (i, j − 1). Czy łańcuch Markowa (X_{n}) jest

a) okresowy,

b) powracalny?

c) Czy istnieje rozkład stacjonarny?

5. Ciąg niezależnych zmiennych losowych Y_{1}, Y_{2}, … ma wspólny rozkład taki, że P(Y_{i} = 1) = 1 − P(Y_{i} = −1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciąg X_{n} wzorami X_{0} = 1, X_{n+1} = max(X_{n}, 1) + Y_{n}. Wykaż, że ciąg ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny, o ile istnieje.

6. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. stanowią piekarze?

1. Macierz przejścia łańcucha Markowa (X_{n})_{n} na przestrzeni S = {1, 2, 3, 4} dana jest następująco:

( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ) .

a) Czy jest to łańcuch nieprzywiedlny?

b) Oblicz prawdopodobieństwo przejścia w dwu krokach ze stanu 1 do stanu 2.

c) Zakładając, że X_{0} = 1 p.n. oblicz prawdopodobieństwo tego, że X_{n} będzie w stanie 2 przed stanem 4.

d) Zakładając, że X_{0} = 3 p.n. oblicz wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu 2.

2. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 16 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 16 pojawi się wcześniej?

3. Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.