Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 13

1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x_{n}, x w przestrzeni metrycznej E δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy gdy x_{n} → x.

2. Wykaż, że \frac{1}{n} ∑ _{k=1}^{n} δ_{k/n} ⇒ λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na [0, 1].

3. Wykaż, że:

a) jeśli X_{n} → X p.n., to X_{n} ⇒ X;

b) jeśli X_{n} → X według prawdopodobieństwa, to X_{n} ⇒ X;

c) jeśli X_{n} ⇒ c gdzie c jest stałą to X_{n} → c według prawdopodobieństwa.

4. Zmienne losowe X_{n}, X przyjmują tylko wartości całkowite.

a) Wykaż, że X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy P(X_{n} = k) → P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k.

b) Czy z istnienia granic lim_{n→∞} P(X_{n} = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X_{n} wg rozkładu?

5. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy gdy a_{n} → a, σ_{n}^{2} → σ^{2}.

6* Niech g_{X_{n}} , g_{X} będą gęstościami rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż, że jeśli g_{X_{n}} (t) → g_{X} (t) dla p.w. t to X_{n} ⇒ X.

7. Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ X, p > 0 oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞ to E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie E|X_{n}|^{p} → E|X|^{p}. Jest to jednak prawdą gdy dla pewnego ε > 0, sup_{n} E|X_{n}|^{p+ε} < ∞.

8* Niech x ∈ (0, 1) będzie liczbą niewymierną. Wykaż,że

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{\{kxmod 1\}} ⇒ λ,

gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na [0, 1]. Co się dzieje, gdy x jest wymierne?

9* Wykazać, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedu gdy istnieją zmienne losowe X̃_{n} ∼ X_{n} i X̃ ∼ X takie, że X_{n} jest zbieżny do X według prawdopodobieństwa.

10. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, X_{n} jest niezależne od Y_{n}, X niezależne od Y oraz X_{n} ⇒ X i Y_{n} ⇒ Y to (X_{n}, Y_{n}) ⇒ (X, Y).

11* Wykaż, że

d(μ, ν) = inf{ε : ∀_{t} F_{μ}(t − ε) − ε < F_{ν}(t) < F_{μ}(t + ε) + ε}

definiuje metrykę na wszystkich rozkładach probabilstycznych na R zgodną ze słabą zbieżnością (tzn. μ_{n} ⇒ μ ⇔ d(μ_{n}, μ) → 0).

12** Zmienne losowe X_{n} są niezależne. Wykaż, że ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} jest zbieżny według rozkładu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

13* Załóżmy, że dla dowolnej liczby naturalnej k, lim_{n→∞} EX_{n}^{k} = \frac{1}{k+1} . Czy z tego wynika, że X_{n} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

1* Wykaż, że jeśli X_{n} ⇒ X oraz dystrybuanta F_{X} jest ciągła, to F_{X_{n}} zbiega jednostajnie do F_{X}.

2* Niech X_{n} będzie pierwszą współrzędną rozkładu jednostajnego na kuli jednostkowej w R^{n}. Udowodnij, że \sqrt{n}X_{n} ⇒ N (0, 1).

3. Wykaż, że rodzina zmiennych N (a_{α} , σ_{α}^{2}) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} |a_{α} | < ∞, sup_{α} σ_{α}^{2} < ∞.

4** Udowodnij, że twierdzenie Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej tzn. metrycznej, zupełnej, ośrodkowej.

5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów tzn. a) geometrycznego z parametrem p,

b) Poissona z parametrem λ,

c) dwumianowego z parametrami n, p,

d) jednostajnego na przedziale [a, b],

e) normalnego N (a, σ^{2}),

f) wykładniczego z parametrem λ,

g) Cauchy’ego z parametrem h.

6. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cost, cos^{2} t, \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, \frac{1+cos t}{2} , \frac{1}{2−e^{it}} ?

7* Udowodnij, że jeśli φ′′_{X}(0) istnieje to EX^{2} < ∞

8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmujących tylko wartości całkowite za-

chodzi

P(X = k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt} φ_{X} (t)dt.

9* Udowodnij, że jeśli X ma rozkład ciągły z gęstością g to φ_{X} (t) → 0 dla |t| → ∞.

10. Funkcja φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej. Czy funkcje

a) φ^{2},

b) Re(φ),

c) |φ|^{2},

d) |φ| muszą być funkcjami charakterystycznymi?

11. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy φ_{X} (t) ∈ ℝ dla wszystkich t.

12. Udowodnij, że splot rozkładów Cauchy’ego ma rozkład Cauchy’ego.

1. Udowodnij, że jeśli ε_{1}, ε_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε_{i} = ±1) = 1/2 to zmienna ∑ _{n=1}^{∞} 2^{−n} ε_{n} ma rozkład jednostajny na [−1, 1].

2. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że φ_{X+Y} = φ_{X} φ_{Y} oraz zmienne X, Y są zależne.

3* Wykaż, że jeśli EX^{k} = EY^{k} dla k = 1, 2, … i Y ma rozkład normalny, to X i Y mają ten sam rozkład.

4** Znajdź przykład zmiennych X i Y o różnych rozkładach takich, że EX^{k} = EY^{k} dla k = 1, 2, . . ..

5. Podaj przykład zmiennych losowych X_{n} takich, że φ_{X_{n}} → φ punktowo, ale φ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.

6* a) Udowodnij, że φ(x) = (1 − |x|)I_{(−1,1)} (x) jest funkcją charakterystyczną b) Udowodnij, że jeśli φ: ℝ → ℝ_{+} jest parzysta, wypukła i malejąca na [0, ∞), kawałkami liniowa oraz φ(0) = 1 to φ jest funkcją charakterystyczną. c)Udowodnij, że jeśli φ: ℝ → ℝ_{+} jest parzysta, wypukła i malejąca na [0, ∞) oraz φ(0) = 1, to φ jest funkcją charakterystyczną.

7. Wykaż, że funkcja e^{−|t|^{α}} a*) jest funkcją charakterystyczną dla 0 < α 1, b*) nie jest funkcją charakterystyczną dla α > 2, c**) jest funkcją charakterystyczną dla 1 < α 2.

8. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną φ_{X} (t) = e^{−|t|^{α}} dla pewnego α ∈ (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej aX + bY, gdzie a, b ∈ R, a Y jest niezależną kopią X?

1. Wykaż, że warunek Lyapunowa

∃_{δ>0} lim_{n→∞} ∑_{k k_{n}} E|X_{n,k} − EX_{n,k} |^{2+δ} = 0

implikuje warunek Lindeberga (zakładamy, że s_{n}^{2} → σ^{2} > 0).

2. Zmienne X_{λ} mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że

\frac{X_{λ} − λ}{\sqrt{λ}} → N (0, 1) według rozkładu gdyλ → ∞.

3* Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

4. Rzucamy 1000 razy kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie między 3400 a 3600.

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = a) = P(X_{i} = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{1/\sqrt{n}} są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne przy czym P(X_{k} = k) = P(X_{k} = −k) = 1/2 Niech s_{n} = ∑ _{k=1}^{n} Var(X_{k}) Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{s_{n}} .

7. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że

P(X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}} ), P(X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}} .

Udowodnij, że Var(X_{n}) → 2 oraz

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} → N (0, 1) według rozkładu.

8* Dana jest zmienna losowa X taka, że EX^{2} < ∞ oraz X ∼ \frac{1}{\sqrt{2}}(Y +Z), gdzie Y, Z są niezależnymi kopiami X. Wykaż, że X ∼ N (0, σ^{2}) dla pewnego σ 0.

9** Wykaż, że teza poprzedniego zadania jest prawdziwa bez założenia EX^{2} < ∞.

10* Czy z równości dwu funkcji charakterystycznych na pewnym otoczeniu zera wynika równość rozkładów?

11** Wykaż, że jeśli zmienne X i Y są niezależne oraz X + Y ma rozkład normalny to obie zmienne X i Y są normalne.

12* Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że aX +bY ∼ (|a|^{α} +|b|^{α})^{1/α} X dla dowolnych a, b ∈ ℝ (Y oznacza niezależną kopię X).

1. Podaj przykład zależnych zmiennych losowych X, Y o rozkładzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y) = 0.

2. Udowodnij, że zmienna X ∼ N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona

g_{X} (x) = \frac{\sqrt{detC}}{(2π)^{d/2}} exp(\frac{⟨C(x − a), x − a⟩}{2} ), gdzie C = B^{−1} .

3* Załóżmy, że zmienne X_{n} = (X_{n,1} , X_{n,2} , …, X_{n,n} ) mają rozkład jednostajny na kuli B(0, \sqrt{n}) o środku w 0 i promieniu \sqrt{n}. Wykaż, że dla każdego k, zmienne (X_{n,1} , X_{n,2} , …, X_{n,k} ) zbiegają według rozkładu do N (0, Id_{k}).

4. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = 1 oraz

S_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{i [nt]} X_{i} dla t 0, n = 1, 2, . . ..

Udowodnij, że dla dowolnych 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{k} ciąg wektorów losowych (S_{n}(t_{1}), S_{n}(t_{2}), …, S_{n}(t_{k})) jest zbieżny według rozkładu. Jak wygląda rozkład graniczny?

5** Dla n = 1, 2, … i t ∈ [0, 1] określmy zmienną T_{n}(t) wzorem

T_{n}(t) := (nt − ⌊nt⌋)S_{n}(\frac{⌊nt⌋ + 1}{n} ) + (⌊nt⌋ + 1 − nt)S_{n}(\frac{⌊nt⌋}{n}),

gdzie S_{n} są takie jak w poprzednim zadaniu. Wówczas T_{n} można traktować jako zmienną o wartościach w C[0, 1]. Wykaż, że T_{n} są zbieżne według rozkładu. Co można powiedzieć o rozkładzie granicznym?

1. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania. Wykaż, że τ ∨σ, τ ∧σ, τ +σ są momentami zatrzymania. Czy τ − 1, τ + 1 też są momentami zatrzymania (przyjąć T = ℕ)?

2. Zmienne losowe (X_{n}) są adaptowalne względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B

a) τ_{1} = inf{n : X_{n} ∈ B} - pierwsza wizyta w zbiorze B

b) τ_{k} = inf{n > τ_{k−1} : X_{n} ∈ B}, k = 2, 3, … - k-ta wizyta w zbiorze B.

3. Wykaż, że jeśli τ, σ są momentami zatrzymania (T = ℕ) to a) jeśli τ ≡ t to F_{τ} = F_{t}

b) jeśli τ < σ to F_{τ} ⊂ F_{σ}

c) A ∈ F_{τ} wtedy i tylko wtedy gdy A ∈ F oraz A ∩ {τ = t} ∈ F_{t} dla wszystkich t.

4. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} ∈ F_{τ} ∩F_{σ} oraz F_{τ} ∩F_{σ} = F_{τ∧σ} .

5* Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X_{i} = ±1) = 1/2, S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz τ = inf{n : S_{n} = 1}. Wykaż, że Eτ = ∞.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz E|X_{i}| < ∞ dla wszystkich i. Udowodnij, że M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} jest martyngałem względem F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) wtedy i tylko wtedy gdy EX_{i} = 1 dla wszystkich i lub X_{1} = 0 p.n.

7. Niech S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}), gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Znajdź liczby a_{n}, b_{n} dla których S_{n}^{2} + a_{n}S_{n} + b_{n} jest martyngałem względem F_{n}.

8. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne o wspólnym rozkładzie N (0, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Dla λ > 0 znajdź liczby a_{n} takie, że (e^{λS_{n} −a_{n}} , F_{n}) jest martyngałem.

9* Niech (M_{k})_{k=1}^{n} będzie martyngałem względem pewnej filtracji takim, że EM_{k}^{2} < ∞ dla wszystkich k. Wykaż, że EM_{1}^{2} EM_{n}^{2} oraz równość zachodzi wtedy o tylko wtedy gdy M_{1} = M_{2} = … = M_{n} p.n.

1. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatryzmania τ, EX_{τ} = EX_{0}.

2. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że X_{n} = Y_{n} +Z_{n}, gdzie Y_{n} jest martyngałem, a Z_{n} ciągiem prognozowalnym. Wykaż, że X_{n} jest nadmartyngałem wtedy i tylko wtedy gdy Z_{n} jest niemalejący.

3. Egzaminator przygotował na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15 zdających studentów losuje 1 zestaw, który później nie jest już używany. Student S zna odpowiedź na dokładnie 10 z 20 zestawów. Od wychodzących z egzaminu dowiaduje się jakie pytania są już wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksymalizująca szanse zdania egzaminu przez S?

4. X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Udowodnij, że E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτVar(X_{1}).

5* X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś t liczbą rzeczywistą taką, że φ_{X_{n}} (t) ≠ 0 dla n = 1, 2, . . .. Udowodnij, że

\frac{e^{itS_{n}}}{∏ _{j n} φ_{X_{j}} (t)} , gdzie S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}

jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}). Wywnioskuj stąd, że ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} zbiega według rozkładu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.n.p.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = p = 1 − P(X_{i} = −1). Przyjmując S_{0} = 0 S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i} znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ^{S_{n}} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}).

7. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą niesymetryczną.

8* Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną

b) monetę niesymetryczną.

9* Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 zł. przez A w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną

b) monetę niesymetryczną.

10* Podaj przykład martyngału X_{n} takiego, że X_{n} → 0 p.n. oraz E|X_{n}| → ∞.

11* Niech (X_{n}, F_{n})_{n=−∞}^{0} będzie martyngałem (z tzw. czasem odwróconym). Udowodnij, że granica X = lim_{n→−∞} X_{n} istnieje. Co można powiedzieć o X?

12* Wykaż, że jeśli M_{n} jest martyngałem takim, że dla pewnej ściśle wypukłej funkcji ϕ, Eφ(M_{k}) = Eφ(M_{1}), to M_{k} = M_{1} p.n.

1. Podaj przykład martyngału takiego, że sup_{n} E|X_{n}| < ∞, który nie jest zbieżny w L^{1}.

2* Udowodnij, że dla podmartyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞}

∀_{t>0} P( max_{1 k n} |X_{k}| > t) 3\frac{max_{1 k n} E|X_{k}|}{t}

oraz w przypadku X_{n} 0 lub X_{n} 0 dla wszystkich n, stałą 3 można zamienić na 1.

3. Wyprowadź z poprzedniego zadania nierówność Kołmogorowa

P( max_{1 k n} | ∑_{i=1}^{k} X_{i}| > t) \frac{1}{t^{2}} ∑_{i=1}^{n} EX_{i}^{2}

dla niezależnych zmiennych losowych X_{i} takich, że EX_{i} = 0.

4* Udowodnij, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnego martyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} zachodzi

E sup_{n}|X_{n}| C(1 + sup_{n}E|X_{n}| ln^{+} |X_{n}|).

5. Udowodnij, że jeśli zmienne losowe X_{n} są zbieżne w L^{p}, p 1 to |X_{n}|^{p} jest jednostajnie całkowalny (zatem X_{n} → X w L^{p} wtedy i tylko wtedy gdy X_{n} → X według prawdopodobieństwa oraz |X_{n}|^{p} jest jednostajnie całkowalny).

6. Wykaż, że jeśli X_{t} i Y_{t} są jednostajnie całkowalne to dla dowolnych a, b ∈ R, aX_{t} + bY_{t} jest jednostajnie całkowalny.

7. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X_{n} taki, że E sup_{n} |X_{n}| = ∞.

8. Niech φ : ℝ_{+} → ℝ_{+} spełnia warunek lim_{x→∞} \frac{φ(x)}{x} = ∞. Wykaż, że jeśli sup_{t} Eφ(|X_{t}|) < ∞ to (X_{t}) jest jednostajnie całkowalny.

9* Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o jednakowym rozkładzie taki, że E|X_{i}| < ∞, niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(S_{n}, S_{n+1} , …).

a) Udowodnij, że (\frac{S_{n}}{n} , F_{n}) jest martyngałem z czasem odwróconym.

b) Wywnioskuj stąd silne prawo wielkich liczb Kołmogorowa \frac{S_{n}}{n} → EX_{i} p.n. i w L^{1}.

1* Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie φ_{n} : E × ℝ → E, n = 1, 2, … (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne). Zmienne losowe X_{0} o wartościach w E i U_{1}, U_{2}, … o wartościach rzeczywistych są niezależne. Udowodnij, że ciąg (X_{n})_{n=0}^{∞} zdefiniowany rekurencyjnie wzorem X_{n+1} = φ_{n}(X_{n}, U_{n}) jest łańcuchem Markowa.

2. Dwa łańcuchy Markowa (X_{n}), (Y_{n}) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z_{n} = (X_{n}, Y_{n}) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia.

3. Zmienne ε_{0}, ε_{1}, … są niezależne oraz P(ε_{i} = ±1) = 1/2. Czy ciągi X_{n} = ε_{n}ε_{n+1} , Y_{n} = ε_{n} + ε_{n+1} są łańcuchami Markowa?

4. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej funkcji f : E → E, (f(X_{n})) musi być łańcuchem Markowa?

5. Zmienne X_{0}, X_{1}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = 1 − P(X_{i} = −1) = p ∈ (0, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, M_{n} = max(S_{1}, S_{2}, …, S_{n}). Które z ciągów |S_{n}|, M_{n}, M_{n} − S_{n} są łańcuchami Markowa? Znajdź odpowiednie macierze przejścia.

6. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniętych.

7* Prawopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi p_{n} dla n = 0, 1, . . .. Zakładając, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażają się równocześnie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licząca w chwili 0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{k=0}^{∞} kp_{k} > 1.

1. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający.

2* Rozpatrzmy błądzenie w ℤ^{k} z macierzą przejścia p_{x,y} = \frac{1}{2k} gdy ∑ _{i=1}^{k} |x_{i} − y_{i}| = 1 oraz p_{x,y} = 0 dla pozostałych x, y. Dla jakich k jest to błądzenie powracalne?

3. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to ∑ _{n=0}^{∞} p_{x,y} (n) < ∞ dla wszystkich x, w szczególności lim_{n→∞} p_{x,y} (n) = 0.

4* Udowodnij, że łańcuch Markowa jest powracający wtedy i tylko wtedy gdy F_{x,y} = 1 dla wszystkich x, y.

5* Dane są dwa niezależne błądzenia symetryczne X_{n}, Y_{n} na prostej (lub ogólniej w ℤ^{k}). Czy P(∃n 1 X_{n} = Y_{n}) = 1 tzn. czy z prawdopodobieństwem 1 błądzenia się kiedyś przetną?

6* Niech (X_{n}) będzie nieprzywiedlnym okresowym łańcuchem Markowa na E z macierzą przejścia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozkład E = S_{1} ∪ S_{2} ∪ … ∪ S_{d} taki, że zbiory S_{i} spełniają warunki:

a) p_{xy} > 0 ⇒ x ∈ S_{i}, y ∈ S_{i+1} dla pewnego i = 1, 2, …, d (przyjmujemy S_{d+1} = S_{1}).

b) na każdym S_{i} macierz (p_{xy}(d))_{x,y∈S_{i}} definiuje nieprzywiedlny, nieokresowy łańcuch Markowa.

1* Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa z prawdopodobieństwem 1 każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy.

2. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.

3. Ciąg niezależnych zmiennych losowych Y_{1}, Y_{2}, … ma wspólny rozkład taki, że P (Y_{i} = 1) = 1 − P (Y_{i} = −1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciąg X_{n} wzorami X_{0} = 1, X_{n+1} = max(X_{n}, 1) + Y_{n}. Wykaż, że ciąg ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny o ile istnieje.

4. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. jest piekarzem?

5* Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozkładu stacjonarnego dla łańcuchów z przeliczalną przestrzenią stanów bez używania twierdzenia Brouwera.

6* Stan x łańcucha Markowa x nazywamy niezerowym, jeśli średni czas powrotu do x jest skończony, zaś zerowym w przeciwnym przypadku. Wykaż, że w nieprzywiedlnym powracalnym łańcuchu Markowa wszystkie stany są niezerowe lub wszystkie są zerowe.

7* Wykaż, że w nieprzywiedlnym powracającym łańcuchu Markowa stan y jest zerowy wtedy i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} p_{xy}(n) = 0 dla wszystkich stanów x.

1* Niech X_{0}, X_{1}, … będzie nieprzywiedlnym nieokresowym łańcuchem Markowa mającym rozkład stacjonarnym π. Załóżmy, że f: E → ℝ jest ograniczona. Wykaż, że

lim_{n→∞} \frac{∑ _{i=0}^{n} f(X_{i})}{n + 1} = E_{π}f(X_{0}) = ∑_{x∈E} π_{x}f(x) p.n.

2* Udowodnij, że dla łańcuchów Markowa ze skończoną przestrzenią stanów E i dowolnego niepustego podzbioru F ⊂ E układy równań

p_{F} (x) = 1  dla x ∈ F
p_{F} (x) = ∑ _{y∈E} p_{xy}p_{F} (y) dla x ∉ F
p_{F} (x) = 0  jeśli ∀_{n}∀_{y∈F} p_{xy}(n) = 0
m_{F} (x) = 0  dla x ∈ F
m_{F} (x) = 1 + ∑ _{y∈E} p_{xy}m_{F} (y) dla x ∉ F
m_{F} (x) = ∞  jeśli p_{F} (x) < 1

mają dokładnie jedno rozwiązanie

3. Po wierzchołkach sześcianu porusza się w sposób losowy mucha - w każdym kroku z prawdopodobieństwem 1/3 przenosi się do jednego z sąsiednich wierzchołków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu wyjścia nie odwiedzając wcześniej przeciwległego wierzchołka oraz średnią liczbę kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjścia.

W zadaniach 4–8 W = (W_{t})_{t∈[0,∞)} jest procesem Wienera

4. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X_{t} = −W_{t} (odbicie)

b) Y_{t} = c^{−1/2} X_{ct}, c > 0 (przeskalowanie czasu)

c) Z_{t} = tX_{1/t} dla t > 0 oraz Z_{0} = 0 (inwersja czasu)

d) U_{t} = X_{T +t} − X_{T}, T 0

e) V_{t} = X_{t} dla t T, V_{t} = 2X_{T} − X − t dla t > T, gdzie T 0.

5. Udowodnij, że W_{t} i W_{t}^{2}−t są martyngałami względem filtracji F_{t} = σ(W_{s} : s t), t 0.

6. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{W_{t}}{t} = 0 p.n.p.

7* Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz ∥π_{n}∥ = max_{k} |t_{k}^{(n)} − t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} = ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a, n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli ∥π_{n}∥ → 0 oraz S_{n} → b − a p.n.p., jeśli ∑ _{n} ∥π_{n}∥ < ∞.

8* Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.