\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\def\ve{\varepsilon}
\def\calf{{\mathcal F}}
\def\calg{{\mathcal G}}
\def\cale{{\mathcal E}}
\def\calb{{\mathcal B}}
\def\cala{{\mathcal A}}
\def\cals{{\mathcal S}}
\def\caln{{\mathcal N}}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\esssup{{\rm esssup}}
\def\pconv{\supset{P}{\rightarrow}}
\def\sgn{{\rm sgn}}
\def\mod{{\rm mod}}
\def\Pr{{\mathbf P}}
\def\Ex{{\mathbf E}}
\def\Var{\mathrm{Var}}
\def\Cov{\mathrm{Cov}}
\def\ce{{\mathbb C}}
\def\er{{\mathbb R}}
\def\zet{{\mathbb Z}}
\def\qu{{\mathbb Q}}
\def\bbx{{\mathbb X}}
\def\bbn{{\mathbb N}}


\begin{center}
\textbf{Zadania z RP 2. seria 1.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Dla $x \in \er^n$, niech $\delta_x$ oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie $x$.
Wykazać, że dla dowolnego ciągu $x_n \in \er^n$ zachodzi
\begin{displaymath}
\delta_{x_n} \Rightarrow \delta_x \; \textrm{wtedy i tylko wtedy, gdy} \; x_n \to x.
\end{displaymath}

\item
Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa $\mu_n,\mu$, takich, że $\mu_n \Rightarrow \mu$,
ale $\mu_n(A) \nrightarrow \mu(A)$ dla pewnego zbioru $A$.

\item
Niech $S$ będzie przeliczalnym podzbiorem $\er^n$, zaś $\mu_n,\mu$ - miarami probabilistycznymi skupionymi na $S$. Wykazać, że
\begin{itemize}
\item[a)] jeśli dla każdego $x\in S$, $\mu_n(\{x\}) \to \mu(\{x\})$, to $\mu_n \Rightarrow \mu$,
\item[b)] jeśli $S$ ma tylko punkty izolowane, to implikację z punktu a) można odwrócić,
\item[c)] punkt b) jest nieprawdziwy, jeśli opuścimy założenie, że każdy punkt zbioru $S$ jest izolowany.
\end{itemize}

\item
Niech $\textrm{B}(p,n)$ oznacza rozkład Bernoulliego o $n$ próbach z prawdopodobieństwem sukcesu $p$,
a $\textrm{Poiss}(\lambda)$ - rozkład Poissona z parametrem $\lambda$. Wykazać, że jeśli $p_nn \to \lambda$, to
$\textrm{B}(p_n,n) \Rightarrow \textrm{Poiss}(\lambda)$.

\item
Niech $f_n,f$ oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa $\mu_n,\mu$ na $\er^n$. Wykazać, że jeśli
$f_n \to f$ p.w., to $\mu_n \Rightarrow \mu$, ale niekoniecznie na odwrót.

\item
Wykazać, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.

\item
Udowodnij, że $\mathcal{N}(a_n,\sigma_n^2) \Rightarrow \mathcal{N}(a,\sigma^2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy
$a_n \to a$, $\sigma_n^2 \to \sigma^2$.
\item Niech zmienne losowe $X_n,X$ będą określone na jednej przestrzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeśli
$X_n \stackrel{\Pr}{\to} X$ (zbieżność wg prawdopodobieństwa), to $X_n \Rightarrow X$, ale implikacja odwrotna nie musi
być prawdziwa.

\item
Wykazać, że jeśli $X_n \Rightarrow c$, dla pewnej stałej $c$, to $X_n \stackrel{\Pr}{\to} c$.

\item
Podać przykład ciągu dystrybuant $F_n$, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

\item
Podać przykład ciągu zmiennych losowych $X_n$, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant
nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.

\item
Udowodnić twierdzenie Diniego: jeśli ciąg dystrybuant $F_n$ zbiega punktowo do dystrybuanty ciągłej $F$, to
zbieżność jest jednostajna. Czy założenie ciągłości $F$ jest istotne?

\item
Wykazać, że jeśli dla wszystkich $n$, $X_n$ jest niezależne od $Y_n$ oraz $X$ jest niezależne od $Y$, to
$(X_n,Y_n) \Rightarrow (X,Y)$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Zadania z RP 2. Seria 3.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dana jest rodzina rozkładów
\begin{itemize}
\item[a)] wykładniczych $\{\text{Exp}(\lambda):\lambda \in A\}$,
$A \subseteq \mathbb{R}_+$,
\item[b)] jednostajnych $\{U(a,b):a,b \in A,\ a<b\}$,
$A \subseteq \mathbb{R}$.
\end{itemize}
Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna?

\item Zmienne $X,\ Y$ są niezależne, przy czym $X$ i $X+Y$ mają
rozkłady normalne. Udowodnić, że zmienna $Y$ ma także rozkład normalny
lub jest stała p.n.

\item Zmienne $X,\ Y,\ \varepsilon$ są niezależne, przy czym $X,\
Y$ mają rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, a rozkład
$\varepsilon$ zadany jest następująco: $P(\varepsilon=\pm
1)=\frac{1}{2}$. Wykazać, że zmienna $X-Y$ ma ten sam rozkład, co
zmienna $\varepsilon X$.

\item Zmienne losowe $X$, $Y$ są niezależne, przy czym $X$ ma
rozkład jednostajny $U(0,1)$, natomiast $Y$ ma rozkład zadany
następująco:
 $$ \Pr(Y=k)=\frac{1}{n},\ k=0,\ 1,\ \ldots,\ n-1.$$
Wyznaczyć rozkład zmiennej $X+Y$.

\item Dany jest ciąg $(X_n)_n$ zmiennych losowych zbieżny według
rozkładu do $X$ oraz dwa ciągi liczbowe $(a_n),\ (b_n)$. Wykazać, że
jeśli $a_n \to a$ oraz $b_n \to b$, to zmienne $a_nX_n+b_n$ zbiegają
słabo do $aX+b$.

\item Zmienne losowe $X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n$ są niezależne i
mają ten sam rozkład, przy czym zmienna $X_1+X_2+\ldots+X_n$ ma rozkład
${\mathcal N}(0,1)$. Wyznaczyć rozkład zmiennych $X_i$.

\item Dla $n \geq 1$ zmienna $X_n$ ma rozkład geometryczny z
parametrem $p_n \in (0,1)$. Wykazać, że jeśli $(a_n)_n$ jest
takim ciągiem liczb dodatnich, że $a_n \to 0$, $p_n /
a_n \to \lambda>0$, to zmienne $a_nX_n$ zbiegają słabo do
rozkładu wykładniczego z parametrem $\lambda$.

\item Niech $X$ będzie zmienną o rozkładzie jednostajnym
$U(-1,1)$. Rozstrzygnąć, czy istnieje zmienna $Y$, niezależna od $X$,
taka, że rozkłady zmiennych $X+Y$ i $2Y$ są takie same.

\item Zmienne $X_1,\ X_2,\ \ldots$ są niezależne i mają rozkład
Cauchy'ego. Wykazać, że zmienne $Y_n=\frac{1}{n}\max_{1 \leq i \leq n}X_i$
zbiega według rozkładu do $\frac{1}{Y}$, gdzie $Y$ jest zmienną o
rozkładzie Exp$(\frac{1}{\pi})$.

\end{enumerate}

\end{document}

