Zadania z RP 2. seria 1.

1. Dla x ∈ ℝ^{n}, niech δ_{x} oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x_{n} ∈ ℝ^{n} zachodzi

δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy, gdyx_{n} → x.

2. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ, takich, że μ_{n} ⇒ μ, ale μ_{n}(A) ↛ μ(A) dla pewnego zbioru A.

3. Niech S będzie przeliczalnym podzbiorem ℝ^{n}, zaś μ_{n}, μ - miarami probabilistycznymi skupionymi na S. Wykazać, że

a) jeśli dla każdego x ∈ S, μ_{n}({x}) → μ({x}), to μ_{n} ⇒ μ,

b) jeśli S ma tylko punkty izolowane, to implikację z punktu a) można odwrócić,

c) punkt b) jest nieprawdziwy, jeśli opuścimy założenie, że każdy punkt zbioru S jest izolowany.

4. Niech B(p, n) oznacza rozkład Bernoulliego o n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, a Poiss(λ) - rozkład Poissona z parametrem λ. Wykazać, że jeśli p_{n}n → λ, to B(p_{n}, n) ⇒ Poiss(λ).

5. Niech f_{n}, f oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ na ℝ^{n}. Wykazać, że jeśli f_{n} → f p.w., to μ_{n} ⇒ μ, ale niekoniecznie na odwrót.

6. Wykazać, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.

7. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy, gdy a_{n} → a, σ_{n}^{2} → σ^{2}.

8. Niech zmienne losowe X_{n}, X będą określone na jednej przestrzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeśli X_{n} →^{P} X (zbieżność wg prawdopodobieństwa), to X_{n} ⇒ X, ale implikacja odwrotna nie musi być prawdziwa.

9. Wykazać, że jeśli X_{n} ⇒ c, dla pewnej stałej c, to X_{n} →^{P} c.

10. Podać przykład ciągu dystrybuant F_{n}, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

11. Podać przykład ciągu zmiennych losowych X_{n}, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.

12. Udowodnić twierdzenie Diniego: jeśli ciąg dystrybuant F_{n} zbiega punktowo do dystrybuanty ciągłej F, to zbieżność jest jednostajna. Czy założenie ciągłości F jest istotne?

13. Wykazać, że jeśli dla wszystkich n, X_{n} jest niezależne od Y_{n} oraz X jest niezależne od Y, to (X_{n}, Y_{n}) ⇒ (X, Y).

1. Obliczyć funkcje charakterystyczne rozkładów

(a) dyskretnych - dwupunktowego, geometrycznego, Bernoulliego, Poissona;

(b) ciągłych - normalnego, jednostajnego, wykładniczego, dwustronnego wykładniczego, Cauchy’ego.

2. Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdzić, że zmienna losowa ∑ _{n 1} 2^{−n} ε_{n} ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].

3. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X ∈ ℤ) = 1. Pokaż, że dla każdego n ∈ ℤ,

P(X = n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−itn} φ_{X}(t)dt.

4. Pokazać, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi.

5. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ^{2}, Reφ, |φ|^{2}, |φ|?

6. Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej ma drugą pochodną w zerze, to EX^{2} < ∞.

7. Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a Wykazać, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to φ_{X}(t) → 0, gdy |t| → ∞.

8. Udowodnić, że φ(t) = e^{−|t|^{α}} nie jest funkcją charakterystyczną dla α > 2.

1. Dana jest rodzina rozkładów

a) wykładniczych {Exp(λ) : λ ∈ A}, A ⊆ ℝ_{+} ,

b) jednostajnych {U(a, b) : a, b ∈ A, a < b}, A ⊆ ℝ.

Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna?

2. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X + Y mają rozkłady normalne. Udowodnić, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n.

3. Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, a rozkład ε zadany jest następująco: P (ε = ±1) = \frac{1}{2}. Wykazać, że zmienna X −Y ma ten sam rozkład, co zmienna εX.

4. Zmienne losowe X, Y są niezależne, przy czym X ma rozkład jednostajny U(0, 1), natomiast Y ma rozkład zadany następująco:

P(Y = k) = \frac{1}{n}, k = 0, 1, …, n − 1.

Wyznaczyć rozkład zmiennej X + Y.

5. Dany jest ciąg (X_{n})_{n} zmiennych losowych zbieżny według rozkładu do X oraz dwa ciągi liczbowe (a_{n}), (b_{n}). Wykazać, że jeśli a_{n} → a oraz b_{n} → b, to zmienne a_{n}X_{n} + b_{n} zbiegają słabo do aX + b.

6. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, …, X_{n} są niezależne i mają ten sam rozkład, przy czym zmienna X_{1}+X_{2}+…+X_{n} ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć rozkład zmiennych X_{i}.

7. Dla n 1 zmienna X_{n} ma rozkład geometryczny z parametrem p_{n} ∈ (0, 1). Wykazać, że jeśli (a_{n})_{n} jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a_{n} → 0, p_{n}/a_{n} → λ > 0, to zmienne a_{n}X_{n} zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.

8. Niech X będzie zmienną o rozkładzie jednostajnym U(−1, 1). Rozstrzygnąć, czy istnieje zmienna Y, niezależna od X, taka, że rozkłady zmiennych X + Y i 2Y są takie same.

9. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład Cauchy’ego. Wykazać, że zmienne Y_{n} = \frac{1}{n} max_{1 i n} X_{i} zbiega według rozkładu do \frac{1}{Y}, gdzie Y jest zmienną o rozkładzie Exp(\frac{1}{π}).

1. Udowodnij, że układ trójkątny X_{n,k} = \frac{X_{k}}{\sqrt{n}}, 1 k n, gdzie X_{n}, n = 1, 2, …, są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, spełnia warunek Lindeberga.

2. Dane są niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, …, o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą 0 i dodatnią wariancją. Wyznaczyć w zależności od a, α ∈ ℝ

lim_{n→∞} P ( | \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n^{α}} | > a) .

3. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX_{1} = 0, Var(X) = 1. Zbadać zbieżność względem rozkładu ciągów

U_{n} = \frac{\sqrt{n}(X_{1} + …, X_{n})}{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}} , V_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}}} .

4. Powiemy, że układ trójkątny (X_{n,k}) spełnia warunek Lyapunowa,

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k} − EX_{n,k}|^{2+δ} = 0.

Wykazać, że warunek Lyapunowa implikuje warunek Lindeberga.

5. Rzucono 1000 razy kostką. Oszacować prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między 3410 a 3590.

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że

P(X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}}), P(X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}}.

Wykazać, że

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} ⇒ N (0, 1),

ale Var(X_{n}) → 2.

7. Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X ∼ \frac{Y +Z}{\sqrt{2}} , gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ^{2}).

8. (∗) Niech X ∼ N (0, 1). Wykazać, że dla dowolnej funkcji gładkiej o zwartym nośniku f: ℝ → ℝ, zachodzi

Varf(X) E|f′(X)|^{2}.

Zadania z RP 2 - seria 5

1. Niech X, X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} bedą niezależnymi wektorami losowymi o tym samym rozkładzie, przy czym EX = 0 i współrzędne wektora X mają skończone wariancje. Znaleźć rozkład graniczny dla ciągu wektorów losowych

Z_{n} = \frac{X_{1} + ... + X_{n}}{\sqrt{n}} .

2. Wykazać, że jeśli X i Y są niezależnymi zmienymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1), to

U = \sqrt{−2 logX} cos(2πY), i V = \sqrt{−2 logX} sin(2πY)

są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N (0, 1).

3. Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Znajdź rozkład zmiennej

Z = \frac{∑ _{k=1}^{N} X_{k}}{\sqrt{N}} ,

gdzie X_{k} i.i.d. z rozkładu N (0, 1).

4. Udowodnij, że macierz a_{i,j} = \frac{cos(i−j)}{1+(i−j)^{2}} 1 i, j n jest dodatnio określona.

Uwaga. Jeśli macierze (a_{i,j}), (b_{i,j}) są dodatnio określone, to (a_{i,j} b_{i,j}) również.

5. Wykazać, że dla rzeczywistej funkcji charakterystycznej zachodzi nie-

równość

1 + ϕ(2t) 2(ϕ(t))^{2}.

6. Niech X_{k} będą zmiennymi losowymi niezleżnymi z rozkładu:

(a) geometrycznego;

(b) wkładniczego z parametrem λ;

(c) (∗) normalnego N (0, 1).

Znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej losowej

Z_{a} := inf{k 1 : ∑_{k=1}^{n} X_{k} a},

gdzie a > 0 jest pewną liczbą rzeczywistą.

7. Zmienne losowe X_{i} są niezależne i mają ten sam rozkład: P (X_{i} = a) = P (X_{i} = 1/a), przy czym a > 1. Zbadać zbieżność według rozkładu zmiennych losowych Z_{n} = (X_{1}...X_{n})^{1/\sqrt{n}}.

8. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną wektora losowego AX + b zakładając, że znamy funkcję charakterystyczną wektora X.

9. Udowodnić, że jeśli zmienne X_{k} k = 1, 2, ..., są niezależne z tego samego rozkładu, EX_{k} = 0, EX_{k}^{2} = σ^{2}, f jest różniczkowalna w zerze, to

\sqrt{n}(f(Y_{n}) − f(0)) −→^{D} N (0, σf′(0)),

gdzie Y_{n} = \frac{1}{n}(X_{1} + ... + X_{n}).

10. Niech X_{k} będą niezależnymi zmiennymi losowymi gaussowskim o tym samym rozkładzie. Udowodnij, że zmienne S_{n} = \frac{1}{n}(X_{1} + ... + X_{n}) i D_{n} = \frac{1}{n}((X_{1} − S_{n})^{2} + ... + (X_{n} − S_{n})^{2}) są niezależne.

Uwaga. Jest to statystyczna charakteryzacja rozkładu normalnego.

Zadania z RP 2 - seria 6

1. Niech ([0, 1], B([0, 1]), |·|) będzie przestrzenią probabilistyczną, a F będzie σ-ciałem generowanym przez zbiory [0, \frac{1}{2}), [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}). Zmienna losowa X dana jest wzorem X(ω) = ω. Wyznaczyć E(X|F).

2. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkłady a) Poissona z parametrami λ, μ, odpowiednio,

b) Bernoulliego B(n, p), B(m, p), odpowiednio. Wyznaczyć E(X|X + Y).

3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny U([0, n]). Wyznaczyć E(X|[X]), gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x.

4. Podać przykład niezależnych zmiennych losowych X, Y i σ-ciała F

takich, że

E(XY |F) ≠ E(X|F)E(Y |F).

5. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi, a F będzie σ-ciałem. Udowod-

nić, że

E(E(X|F)Y) = E(XE(Y |F)).

6. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkład jednostajny U(0, 1). Wyznaczyć

a) E(X − Y |X + Y),

b) E(X + Y |X − Y).

7. Zmienne losowe X, Y są niezależne i E(X|X + Y) = X. Czy wynika stąd, że Y jest stała p.n.?

8. Udowodnić, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy E(X|X^{2}) = 0.

9. Zmienne X_{1}, X_{2}, …, X_{n} są niezależne i mają ten sam rozkład. Wyznaczyć E(X_{1}|X_{1} + X_{2} + … + X_{n}).

10. Zmienne X, Y są niezależne i mają rozkład N(0, 1). Wyznaczyć a) E(X|aX + bY), gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi

takimi, że (a, b) ≠ (0, 0),

b) E(XY |X + Y).

Zadania z RP 2 - seria 7.

1. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś f mierzalną funkcją dwu zmiennych, taką że E|f(X, Y)| < ∞. Udowodnić, że E(f(X, Y)|X) = E_{Y}f(X, Y) p.n.

2. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie, E|X_{1}| < ∞, S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(S_{n}, S_{n+1} , …). Wyznaczyć E(X_{i}|F_{n}) dla i, n 1.

3. Podać przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale E(X|Y) = EX.

4. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej 0. Zdefiniujmy S_{n} = X_{1} + … + X_{n} oraz Z_{n} = S_{n}^{2} − VarS_{n}. Wykazać, że (Z_{n}, σ(X_{1}, …, X_{n})) jest martyngałem.

5. Niech X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej 0, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Zdefiniujmy

Z_{0} = 0, Z_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k−1} X_{k}

Udowodnić, że (Z_{n}, F_{n}) jest martyngałem.

6. Niech ξ_{i} (i = 1, 2, …) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie P(ξ_{i} = 1) = p, P(ξ_{i} = −1) = q = 1 − p. Niech F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) oraz

Z_{n} = ( \frac{q}{p}) ^{ξ_{1}+...+ξ_{n}}

Wykazać, że ciąg (Z_{n}, F_{n}) jest martyngałem.

7. Niech τ_{1}, τ_{2} będą momentami stopu. Udowodnić, że momentami stopu są także τ_{1} ∧ τ_{2} oraz τ_{1} ∨ τ_{2}.

8. Niech (F_{t})_{t∈ℕ} będzie filtracją, zaś (X_{t})_{t∈ℕ} ciągiem zmiennych losowych, adaptowalnym do tej filtracji. Niech τ oznacza moment pierwszej wizyty ciągu X_{t} w zbiorze borelowskim B. Wykazać, że τ jest momentem zatrzymania.

9. Niech (X_{i}) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U[0, 1]. Zdefiniujmy τ = inf{n: X_{1} + … + X_{n} 1}. Wyznaczyć Eτ.

10. Podać przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) ≠ F_{τ}.

11. Niech S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} ε_{i}, gdzie ε_{i}, ε_{2} … - niezależne zmienne Rademachera. Niech τ = inf{n: S_{n} = 1}. Wykazać, że Eτ = ∞.

12. Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka. Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek.

1. Schemat Poyla: W urnie znajduje się b kul białych i c kul czarnych. Losujemy kulę i zwracamy ją z powrotem, dokłądjąc jeszcze a kul tego samego koloru co kula wylosowana. Następnie powtarzamy to doświadczenie z tą nową konfiguracją kul, itd. Niech X_{0} = b, X_{n} = liczba wyloswanych kul białych w urnie po n losowaniach, n = 1, 2, ... Pokazać, że frakcje kul białych, tzn. (\frac{X_{n}}{b+c+na} )_{n=0}^{∞} tworzą martyngał względem naturalnej filtracji.

2. Student X, jeden z 15-tu zdających egzamin, zna odpowiedź na 10 pytań z 30, które są wylosowywane przez kolejno zdających studentów i które nie są powtórnie używane. Od studentów, którzy już zdali student X dwowiaduje się które pytania zostały już wyloswoane. Jaka jest optymalna strategia (w którym momoencie wejsć na egzamin) by szanse na zdanie były największe?

3. Dwaj gracze rzucają monetą (być może niesymetryczną). Kapitał początkowy gracza A wynosi a złotych, gracza B b złotych. Gra się kończy, gdy jeden z graczy jest zrujnowany. Policz prawdopodobieństwo ruiny dla każdego z graczy.

4. Udowodnić wersję tożsamości Walda: jeśli X_{1}, ..., X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, EX_{1}^{2} < ∞, Eτ < ∞,

E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτVarX_{1}.

5. Policz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w symetrycznym zgadnieniu ruiny.

6. Rozważmy ruinę gracza z barierą odbijającą w zerze i pochłaniającą w N. Gracz startuje z kapitału k. Policz średni czas trwania tej gry.

7. Niech τ i σ będą momentami stopu względem filtracji (F_{t})_{t∈T}. Udowodnij, że jeśli τ σ to F_{τ} ⊂ F_{σ}.

8. Zauważ, że jeśli (X_{t}, F_{t})_{t∈T} jest nadmartyngałem (martyngałem) prawostronnie ciągłym to (X_{t∧τ} , F_{t})_{t∈T} również.

9. Pokaż, że jeśli X_{k} jest martyngałem, to |X_{k}| jest podmartyngałem. Zauważ, że jeśli X_{k} jest podmartyngałem, to |X_{k}| nie musi nim być.

10. Ciąg (X_{n}) jest martyngałem. Zbadać, czy są pod- nadmartyngałami ciągi: a) (|X_{n}|^{p})_{n} p 1; b) (X_{n} ∧ a)_{n}; c)(X_{n} ∨ a)_{n}; (X_{n}^{3})_{n}.

11. Niech X_{k} będą niezależnymi zmiennymi o rozkładzie wykładniczym. Definiujemy zmienne N_{m} := inf{k 0 : X_{1} + ...X_{k} m}. Pokaż, że N_{m} − m jest martyngałem o średniej 0.

12. Niech (U_{n})_{n} będzie ciągiem Bernouliego. Niech F(U_{1}, ..., U_{n}) i niech

Z_{n} = e^{a(U_{1}+...+U_{n})−(na^{2}/2)} .

Udowodnić, że (Z_{n}, F_{n}) jest nadmartyngałem. Zbadać zbieżność ciągu (Z_{n}) prawie na pewno i w L_{1}.

13. Pokazać na przykładzie, że ze zbieżności martyngału według prawdopodobieństwa nie wynika zbieżność prawie na pewno.

14. Niech ∫_{0}^{1} |f(x)|dx < ∞. Definujemy

f_{n}(x) = 2^{n} ∫_{k2^{−n}}^{(k+1)2^{−n}} f(y)dy, ∀\frac{k}{2^{n}} x \frac{k + 1}{2^{n}} , k = 0, 1, ..., 2^{n} − 1,

dla n = 1, 2, ... Udowodnić, że f_{n}(x) → f(x) prawie wszędzie i w L_{1}.

15. Niech ξ_{1}, ξ_{2}, ... będą i.i.d 0 o rozkładzie niejednopunktowym takie, że Eξ_{1} = 1 oraz

∏_{n=1}^{∞} \sqrt{ξ_{n}} = 0.

Wówczas zmienne X_{n} = ξ_{1}...ξ_{n} tworzą martyngał zbieżny do 0 prawie na pewno, ale nie w L_{1} .

1. Macierz przejścia łańcucha Markowa (X_{n})_{n} na przestrzeni E = {1, 2, 3, 4} dana jest następująco:

ℙ = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ) .

a) Zakładając, że X_{0} = 1 p.n. obliczyć prawdopodobieństwo tego, że X_{n} będzie w stanie 2 przed stanem 4.

b) Zakładając, że X_{0} = 3 p.n. obliczyć wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu 2.

c) Wyznaczyć rozkład stacjonarny.

d) Czy łańcuch jest okresowy? Czy jest nieprzywiedlny?

2. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 16 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 16 pojawi się wcześniej?

3. Naukowiec mający r parasoli wędruje między domem a biurem, zabierając ze sobą parasol (jeśli jest on pod ręką) wtedy, gdy pada ( prawdopodobieństwo p), lecz nie przy bezdeszczowej pogodzie ( prawdopodobieństwo q = 1 − p). Niech stanem łańcucha Markowa będzie liczba parasoli znajdujących się pod ręką, bez względu na to, czy naukowiec jest w domu, czy w miejscu pracy. Skonstruować macierz przejścia i znaleźć rozkład stacjonarny. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo zmoknięcia naukowca w danym (odległym) dniu, a następnie wykazać, że 5 parasoli jest w stanie ochronić go w 5% przed zmoknięciem (dla dowolnego p).

4. Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

5. Zmienne Y_{0}, Y_{1}, Y_{2}, … są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \frac{1}{2}. Ciąg zmiennych X_{1}, X_{2}, … jest określony następująco: X_{0} ≡ 1 p.n., a dla n 0,

X_{n+1} = \{ \begin{matrix}1 & jeśli Y_{n} = 1, \\ X_{n}Y_{n} & jeśli Y_{n} ≠ 1. \end{matrix}

a) Wykazać, że (X_{n})_{n} jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa.

b) Czy łańcuch ten jest okresowy?

c) Udowodnić, że wszystkie stany są powracające.

d) Niech N będzie dużą liczbą naturalną. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że X_{N} nie przekracza 3.