Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 1

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x_{n}, x,

δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy, gdy x_{n} → x.

2. Wykaż, że \frac{1}{n} ∑ _{k=1}^{n} δ_{k/n} ⇒ λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na [0, 1].

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ, takich, że μ_{n} ⇒ μ, ale μ_{n}(A) ↛ μ(A) dla pewnego zbioru A.

4. Wykaż, że:

a) jeśli X_{n} → X p.n., to X_{n} ⇒ X;

b) jeśli X_{n} → X według prawdopodobieństwa, to X_{n} ⇒ X;

c) jeśli X_{n} ⇒ c, gdzie c jest stałą, to X_{n} → c według prawdopodobieństwa.

5. Zmienne losowe X_{n}, X przyjmują tylko wartości całkowite.

a) Wykaż, że X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy P(X_{n} = k) → P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k.

b) Czy z istnienia granic lim_{n→∞} P(X_{n} = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X_{n} wg rozkładu?

6. Czy teza punktu a) poprzedniego zadania się zmieni, jeśli zmienne X_{n} przyjmują wartości wymierne?

7. Niech Bin(p, n) oznacza rozkład Bernoulliego o n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, a Poiss(λ) - rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że jeśli p_{n}n → λ, to Bin(p_{n}, n) ⇒ Poiss(λ).

8. Podaj przykład ciągu dystrybuant F_{n}, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

9. Podaj przykład ciągu zmiennych losowych X_{n}, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.

10. Wykaż, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.

11. Niech X będzie niezdegenerowaną zmienną losową. Wykaż, że zmienne a_{n}X + b_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej aX + b wtedy i tylko wtedy gdy a_{n} → a i b_{n} → b.

12. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy gdy a_{n} → a, σ_{n}^{2} → σ^{2}.

1. Niech g_{n}, g oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa μ_{n}, μ na ℝ^{n}. Wykazać, że jeśli g_{n} → g p.w., to μ_{n} ⇒ μ, ale niekoniecznie na odwrót.

2. Wykaż, że rodzina rozkładów normalnych N (a_{α} , σ_{α}^{2}) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} |a_{α} |, sup_{α} σ_{α}^{2} < ∞.

3. Dana jest rodzina rozkładów

a) wykładniczych {Exp(λ) : λ ∈ A}, A ⊆ ℝ_{+} ,

b) jednostajnych {U(a, b) : a, b ∈ A, a < b}, A ⊆ ℝ.

Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna?

4. Wykazać, że jeśli dla wszystkich n, X_{n} jest niezależne od Y_{n} oraz X jest niezależne od Y, to (X_{n}, Y_{n}) ⇒ (X, Y).

5. Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ X, p > 0 oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞ to E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie E|X_{n}|^{p} → E|X|^{p}. Jest to jednak prawdą gdy dla pewnego ε > 0, sup_{n} E|X_{n}|^{p+ε} < ∞.

1. Oblicz funkcje charakterystyczne rozkładów i) dyskretnych - dwupunktowego, geometrycznego, Bernoulliego, Poissona; ii) ciągłych - normalnego, jednostajnego, wykładniczego, dwustronnego wykładniczego.

2. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cost, cos^{2} t, \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, \frac{1+cos t}{2} , \frac{1}{2−e^{it}} ?

3. Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdź, że jeśli ε_{n} są niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi przyjumjącymi wartości ±1, to zmienna losowa ∑ _{n 1} 2^{−n} ε_{n} ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].

4. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X ∈ ℤ) = 1. Pokaż, że dla każdego n ∈ ℤ,

P(X = n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−itn} φ_{X} (t)dt.

5. Pokaż, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi.

6. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ^{2}, Reφ, |φ|^{2}, |φ|?

7. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy φ_{X} (t) ∈ ℝ dla wszystkich t.

1. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X +Y mają rozkłady normalne. Udowodnij, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n.

2. Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ oraz P(ε = ±1) = \frac{1}{2}. Wykaż, że zmienna X − Y ma ten sam rozkład, co zmienna εX.

3. Udowodnij, że splot rozkładów Cauchy’ego ma rozkład Cauchy’ego.

4. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że φ_{X+Y} = φ_{X} φ_{Y} oraz zmienne X, Y są zależne.

5. Korzystając z funkcji charakterystycznej oblicz EX^{k} dla X ∼ N (0, 1).

6. Dla n 1 zmienna X_{n} ma rozkład geometryczny z parametrem p_{n} ∈ (0, 1). Wykaż, że jeśli (a_{n})_{n} jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a_{n} → 0, p_{n}/a_{n} → λ > 0, to zmienne a_{n}X_{n} zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.

7. Niech X będzie zmienną o rozkładzie jednostajnym U(−1, 1). Rozstrzygnij, czy istnieje zmienna Y, niezależna od X, taka, że rozkłady zmiennych X + Y i 2Y są takie same.

8. Udowodnij, że jeśli φ′′_{X}(0) istnieje to EX^{2} < ∞

9. Podaj przykład zmiennych losowych X_{n} takich, że φ_{X_{n}} → φ punktowo, ale φ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.

10. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną φ_{X} (t) = e^{−|t|^{α}} dla pewnego α ∈ (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej aX + bY, gdzie a, b ∈ ℝ, a Y jest niezależną kopią X?

1. Na campusie uniwersyteckim są dwie restauracja po 120 miejsc każda. Wiadomo, że codziennie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokonują losowo i niezależnie. Jaka jest szansa, że w którejś restauracji zabraknie miejsc? Ile miejsc należy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,001?

2. W pewnym stanie w wyborach prezydenckich głosuje 500.000 osób. Zakładając, że wyborcy głosują na każdego z dwu kandydatów z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szansa, że różnica między kandydatami będzie mniejsza niż 100 głosów?

3. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób popierających pewną partię polityczną. Chcemy by błąd był mniejszy niż 1% z prawdopodobieństwem 0.95? Ile w tym celu musimy przepytać osób? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiemy, że partię popiera nie więcej niż 10% wyborców?

4. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?

5. Rzucono 1000 razy kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między 3410 a 3590.

6. Dane są niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, …, o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą 0 i dodatnią wariancją. Wyznacz w zależności od a, α ∈ ℝ

lim_{n→∞} P ( | \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n^{α}} | > a) .

7. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = a) = P(X_{i} = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{1/\sqrt{n}} są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

8. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX_{1} = 0, Var(X) = 1. Zbadaj zbieżność względem rozkładu ciągów

U_{n} = \frac{\sqrt{n}(X_{1} + …, X_{n})}{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}} , V_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}}} .

1. Zmienne X_{λ} mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że

\frac{X_{λ} − λ}{\sqrt{λ}} → N (0, 1) według rozkładu gdyλ → ∞.

2. Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

3. Udowodnij, że układ trójkątny X_{n,k} = \frac{X_{k}}{\sqrt{n}}, 1 k n, gdzie X_{n}, n = 1, 2, …, są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, spełnia warunek Lindeberga.

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne przy czym P(X_{k} = k) = P(X_{k} = −k) = 1/2. Niech σ_{n}^{2} = ∑ _{k=1}^{n} Var(X_{k}). Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{σ_{n}} .

5. Powiemy, że układ trójkątny (X_{n,k} ) spełnia warunek Lyapunowa,

lim_{n→∞} \frac{1}{σ_{n}^{2+δ}} ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k} − EX_{n,k} |^{2+δ} = 0.

Wykazać, że warunek Lyapunowa implikuje warunek Lindeberga.

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że

P(X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}} ), P(X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}} .

Wykazać, że

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} ⇒ N (0, 1),

ale Var(X_{n}) → 2.

7. Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X ∼ \frac{Y +Z}{\sqrt{2}} , gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ^{2}).

8. Wyznacz funkcję charakterystyczną wektora losowego AX + b zakładając, że znamy funkcję charakterystyczną wektora X.

9. Podaj przykład dwu zmiennych X, Y o rozkładzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y) = 0, ale X i Y nie są niezależne.

1. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Wykaż, że τ ∨ σ, τ ∧ σ, τ + σ są momentami zatrzymania. Czy τ − 1, τ + 1 też są momentami zatrzymania?

2. Zmienne losowe (X_{n}) są adaptowalne względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B:

a) τ_{1} = inf{n : X_{n} ∈ B} – pierwsza wizyta w zbiorze B,

b) τ_{k} = inf{n > τ_{k−1} : X_{n} ∈ B}, k = 2, 3, … – k-ta wizyta w zbiorze B.

3. Niech τ i σ będą momentami zatrzymania względem (F_{n})_{n=0}^{∞} . Wykaż, że a) jeśli τ ≡ t, to F_{τ} = F_{t},

b) jeśli τ < σ, to F_{τ} ⊂ F_{σ},

c) A ∈ F_{τ} wtedy i tylko wtedy gdy A ∈ F oraz A ∩ {τ = t} ∈ F_{t} dla wszystkich t.

4. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} ∈ F_{τ} ∩F_{σ} oraz F_{τ} ∩F_{σ} = F_{τ∧σ} .

5. Podaj przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) ≠ F_{τ}.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz E|X_{i}| < ∞ dla wszystkich i. Udowodnij, że M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} jest martyngałem względem F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) wtedy i tylko wtedy gdy EX_{i} = 1 dla wszystkich i lub X_{1} = 0 p.n..

7. Niech X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej 0, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Zdefiniujmy

Z_{0} = 0, Z_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k−1} X_{k}

Udowodnij, że (Z_{n}, F_{n}) jest martyngałem.

8. Niech S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}), gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Znajdź liczby a_{n}, b_{n} dla których S_{n}^{2} + a_{n}S_{n} + b_{n} jest martyngałem względem F_{n}.

9. Niech t ∈ ℝ oraz X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Przyjmijmy S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź wszystkie ciągi (a_{n}) takie, że (e^{itS_{n} +a_{n}} , F_{n}) jest martyngałem.

1. Ciąg (X_{n}) jest martyngałem. Zbadaj, czy są pod- bądź nadmartyngałami ciągi:

a) (|X_{n}|^{p})_{n} p 1;

b) (X_{n} ∧ a)_{n};

c) (X_{n} ∨ a)_{n};

d) (X_{n}^{3})_{n}.

2. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EX_{τ} = EX_{0}.

3. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = p = 1 − P(X_{i} = −1). Przyjmując S_{0} = 0 S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i} znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ^{S_{n}} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}).

4. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą symetryczną i niesymetryczną.

5. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X_{i} = ±1) = 1/2, S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz τ = inf{n : S_{n} = 1}. Wykaż, że Eτ = ∞.

6. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę monetą symetryczną i niesymetryczną.

7. X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Udowodnij, że dla dowolnego momentu zatrzymania względem filtracji generowanej przez (X_{n}) takiego, że Eτ < ∞ zachodzi E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτVar(X_{1}). Czy wzór ten musi być prawdziwy bez założenia o skończoności Eτ?

8. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 zł. przez A w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną

b) monetę niesymetryczną.

9. Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka. Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek.

1. Niech (ε_{n})_{n} będzie ciągiem niezależnych symetrycznych zmiennych losowych o wartościach ±1. Wykaż, że

Z_{n} := e^{a(ε_{1} +...+ε_{n} )−(na^{2} /2)} .

jest nadmartyngałem względem σ(ε_{1}, …, ε_{n}). Zbadaj zbieżność ciągu (Z_{n}) prawie na pewno i w L_{1}.

2. Niech X_{1}, X_{2}, ... będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0, 2]. Wykaż, że

M_{n} = ∏_{k=1}^{n} X_{k}

tworzą martyngał (względem filtracji generowanej przez X_{n}) zbieżny do 0 prawie na pewno, ale nie w L_{1} .

3. Podaj przykład martyngału X_{n} takiego, że X_{n} → 0 p.n. oraz E|X_{n}| → ∞.

4. Wykaż, że jeśli (X_{i}) i (Y_{i}) są jednostajnie całkowalne, to dla dowolnych a, b ∈ ℝ, (aX_{i} + bY_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

5. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X_{n} taki, że E sup_{n} |X_{n}| = ∞.

6. Niech φ : ℝ_{+} → ℝ_{+} spełnia warunek lim_{x→∞} \frac{φ(x)}{x} = ∞. Wykaż, że jeśli sup_{i} Eφ(|X_{i}|) < ∞ to (X_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

1. Dwa jednorodne łańcuchy Markowa (X_{n}), (Y_{n}) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z_{n} = (X_{n}, Y_{n}) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia.

2. Zmienne ε_{0}, ε_{1}, … są niezależne oraz P(ε_{i} = ±1) = 1/2. Czy ciągi X_{n} = ε_{n}ε_{n+1} , Y_{n} = ε_{n} + ε_{n+1} są łańcuchami Markowa?

3. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej funkcji f : E → E, (f(X_{n})) musi być łańcuchem Markowa?

4. Zmienne X_{0}, X_{1}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = 1 − P(X_{i} = −1) = p ∈ (0, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, M_{n} = max(S_{1}, S_{2}, …, S_{n}). Które z ciągów |S_{n}|, M_{n}, M_{n} − S_{n} są łańcuchami Markowa? Znajdź odpowiednie macierze przejścia.

5. Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie φ_{n} : E × ℝ → E, n = 1, 2, … (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne). Zmienne losowe X_{0} o wartościach w E i U_{1}, U_{2}, … o wartościach rzeczywistych są niezależne. Udowodnij, że ciąg (X_{n})_{n=0}^{∞} zdefiniowany rekurencyjnie wzorem X_{n+1} = φ_{n}(X_{n}, U_{n}) jest łańcuchem Markowa.

1. Dla łańcuchów Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3, 4} i poniższych macierzach przejścia znajdź wszystkie stany nieistotne i wszystkie zamknięte zbiory stanów.

a) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} ) b) ( \begin{matrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

2. Wykaż, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwego zamkniętego podzbioru stanów.

3. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to ∑ _{n=0}^{∞} p_{x,y} (n) < ∞ dla wszystkich x, w szczególności lim_{n→∞} p_{x,y} (n) = 0.

4. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający.

5. Zbadaj powracalność symetrycznego błądzenia losowego w ℤ^{k}.

6. Zbadaj okresowość łańcuchów o poniższych macierzach przejścia:

a) ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) b) ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

7. Jednorodny łańcuch Markowa o przestrzeni stanów {0, 1, 2 …} ma macierz przejścia (p_{n,m} )_{n,m 0} taką, że p_{0,1} = 1, p_{n,n+1} = 1 − p_{n,n−1} = p dla n = 1, 2 …, gdzie p ∈ (0, 1). W zależności do parametru p wyznacz wszystkie rozkłady stacjonarne.

8. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.

9. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent mężczyzn w N. jest piekarzem (zakładamy dla uproszczenia, że każdy mieszkaniec N. ma dokładnie jednego syna)?

1. Po wierzchołkach sześcianu porusza się w sposób losowy mucha - w każdym kroku z prawdopodobieństwem 1/3 przenosi się do jednego z sąsiednich wierzchołków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu wyjścia nie odwiedzając wcześniej przeciwległego wierzchołka oraz średnią liczbę kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjścia.

2. Macierz przejścia łańcucha Markowa (X_{n})_{n} na przestrzeni S = {1, 2, 3, 4} dana jest następująco:

( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ) .

a) Zakładając, że X_{0} = 1 p.n. oblicz prawdopodobieństwo tego, że X_{n} będzie w stanie 2 przed stanem 4.

b) Zakładając, że X_{0} = 3 p.n. oblicz wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu 2.

c) Wyznacz rozkład stacjonarny.

d) Czy łańcuch jest okresowy? Czy jest nieprzywiedlny?

3. Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

4. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 16 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 16 pojawi się wcześniej?

5. Zmienne Y_{0}, Y_{1}, Y_{2}, … są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \frac{1}{2}. Ciąg zmiennych X_{1}, X_{2}, … jest określony następująco: X_{0} ≡ 1 p.n., a dla n 0,

X_{n+1} = \{ \begin{matrix}1 & jeśli Y_{n} = 1, \\ X_{n}Y_{n} & jeśli Y_{n} ≠ 1. \end{matrix}

a) Wykaż, że (X_{n})_{n} jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa.

b) Czy ten łańcuch jest okresowy?

c) Udowodnij, że wszystkie stany są powracające.