Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 1 (zadania gwiazdkowe do oddania 15 października)

1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x_{n}, x w przestrzeni metrycznej E, δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy, gdy x_{n} → x.

2. Wykaż, że \frac{1}{n} ∑ _{k=1}^{n} δ_{k/n} ⇒ λ, gdzie λ oznacza miarę Lebesgue’a na [0, 1].

3. Wykaż, że:

a) jeśli X_{n} → X p.n., to X_{n} ⇒ X;

b) jeśli X_{n} → X według prawdopodobieństwa, to X_{n} ⇒ X;

c) jeśli X_{n} ⇒ c, gdzie c jest stałą, to X_{n} → c według prawdopodobieństwa.

4* Wykaż, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zmienne losowe X̃_{n} o tym samym rozkładzie co X_{n} i X̃ o tym samym rozkładzie co X takie, że X̃_{n} jest zbieżny do X̃ według prawdopodobieństwa.

5. Zmienne losowe X_{n}, X przyjmują tylko wartości całkowite.

a) Wykaż, że X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy, gdy P(X_{n} = k) → P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k.

b) Czy z istnienia granic lim_{n→∞} P(X_{n} = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X_{n} wg rozkładu?

6. Wykaż, że jeśli np_{n} → λ, to Bin(n, p_{n}) ⇒ Poiss(λ).

7. Niech X będzie rzeczywistą zmienną losową. Wykaż, że istnieje ciąg zmiennych X_{n} zbieżny według rozkładu do X taki, że

a) każde X_{n} przyjmuje tylko skończenie wiele wartości,

b) zmienne X_{n} mają gęstość.

8. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy, gdy a_{n} → a oraz σ_{n}^{2} → σ^{2}.

9. Niech g_{X_{n}} , g_{X} będą gęstościami odpowiednich rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż, że jeśli g_{X_{n}} (t) → g_{X} (t) dla p.w. t, to X_{n} ⇒ X.

10. Co trzeba założyć o funkcji f, by z tego, że X_{n} jest zbieżne według rozkładu do X wynikała zbieżność według rozkładu f(X_{n}) do f(X)?

11. Wykaż, że jeśli X_{n} ⇒ X oraz dystrybuanta F_{X} jest ciągła, to F_{X_{n}} zbiega jednostajnie do F_{X}.

12* Załóżmy, że X jest niezdegenerowaną zmienną losową. Wykaż, że zmienne a_{n}X + b_{n}, a_{n} 0 zbiegają według rozkładu do zmiennej aX + b, a 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a_{n} → a i b_{n} → b.

13* Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ X, p > 0 oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞, to E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie E|X_{n}|^{p} → E|X|^{p}. Pokaż, że jest to jednak prawdą, gdy dla pewnego ε > 0, sup_{n} E|X_{n}|^{p+ε} < ∞.

14* Niech x ∈ (0, 1) będzie liczbą niewymierną. Wykaż,że

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{\{kxmod 1\}} ⇒ λ,

gdzie λ oznacza miarę Lebesgue’a na [0, 1]. Co się dzieje, gdy x jest wymierne?

15*. Niech X_{n} będzie pierwszą współrzędną rozkładu jednostajnego na kuli

jednostkowej w ℝ^{n}. Udowodnij, że \sqrt{n}X_{n} ⇒ N (0, 1).

16. Załóżmy, że X_{n} ⇒ X oraz Y_{n} ⇒ Y. Wykaż, że jeśli Y jest stałe p.n., to X_{n} + Y_{n} ⇒ X + Y. Czy implikacja jest prawdziwa, jeśli Y nie jest zdegenerowaną zmienną losową?

17. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, X_{n} jest niezależne od Y_{n}, X niezależne od Y oraz X_{n} ⇒ X i Y_{n} ⇒ Y, to (X_{n}, Y_{n}) ⇒ (X, Y).

18. Wykaż, że rodzina rozkładów normalnych N (a_{α} , σ_{α}^{2}) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} |a_{α} |, sup_{α} σ_{α}^{2} < ∞.

19. Dana jest rodzina rozkładów a) wykładniczych {Exp(λ) : λ ∈ A}, A ⊆ ℝ_{+} ,

b) jednostajnych {U(a, b) : a, b ∈ A, a < b}, A ⊆ ℝ. Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna?

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 2 (zadania gwiazdkowe do oddania 22 października)

1. Załóżmy, że dla dowolnej liczby naturalnej k, lim_{n→∞} EX_{n}^{k} = \frac{1}{k+1} . Wykaż, że

i) jeśli P(X_{n} ∈ [0, 1] = 1), to X_{n} zbiegają według rozkładu, ii) założenie z i) nie jest konieczne.

2* Wykaż, że wzór

d(μ, ν) = inf {ε > 0 : ∀_{t} F_{μ}(t − ε) − ε < F_{ν}(t) < F_{μ}(t + ε) + ε}

definiuje metrykę na wszystkich rozkładach probabilistycznych na ℝ zgodną ze słabą zbieżnością (tzn. μ_{n} ⇒ μ wtedy i tylko wtedy, gdy d(μ_{n}, μ) → 0).

3* Zmienne losowe X_{n} są niezależne. Wykaż, że ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} jest zbieżny według rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

4. Załóżmy, że E jest przestrzenią polską (tzn. metryczną, ośrodkową i zupełną), zaś (μ_{i})_{I∈I} prezwartą względem słabej zbieżnośći rodziną miar probabilistycznych na E (tzn. taką, że z każdego ciągu miar z tej rodziny można wybrać podciąg słabo zbieżny). Udowodnij, że

∀_{ε,δ>0} ∃_{x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} ∈E} ∀_{i∈I} μ( ⋃_{k=1}^{n} B(x_{k}, δ)) 1 − ε

i wywnioskuj stąd, że rodzina (μ_{i})_{I∈I} jest ciasna. (Uwaga. Prawdziwa jest też implikacja odwrotna - każda ciasna rodzina miar probabilistycznych na przestrzeni polskiej jest prezwarta względem słabej zbieżności).

5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów tzn. a) geometrycznego z parametrem p,

b) Poissona z parametrem λ,

c) dwumianowego z parametrami n, p,

d) jednostajnego na przedziale [a, b],

e) normalnego N (a, σ^{2}),

f) wykładniczego z parametrem λ,

g) Cauchy’ego z parametrem h.

6. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cost, cos^{2} t, \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, \frac{1+cos t}{2} , \frac{1}{2−e^{it}} ?

7. Funkcja φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej. Czy funkcje

a) φ^{2}, b) Re(φ), c) |φ|^{2}, d) |φ| muszą być funkcjami charakterystycznymi?

8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmujących tylko wartości całkowite za-

chodzi

P(X = k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt} φ_{X} (t)dt.

9* Udowodnij, że jeśli X ma rozkład ciągły z gęstością g, to φ_{X} (t) → 0 dla |t| → ∞.

10* Znajdź niecałkowalną zmienną losową X, której funkcja charakterystyczna jest różniczkowalna w 0.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 3 (zadania gwiazdkowe do oddania 29 października)

1. Korzystając z funkcji charakterystycznej oblicz EX^{k} dla X ∼ N (0, 1).

2* Wykaż, że jeśli EX^{k} = EY^{k} dla k = 1, 2, … i Y ma rozkład normalny, to X i Y mają ten sam rozkład.

3* Znajdź przykład zmiennych X i Y o różnych rozkładach, skończonych wszystkich momentach, takich, że EX^{k} = EY^{k} dla k = 1, 2, . . ..

4. Pokaż, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi.

5. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy φ_{X} (t) ∈ ℝ dla wszystkich t.

6. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X +Y mają rozkłady normalne. Udowodnij, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n..

7. Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ oraz P(ε = ±1) = \frac{1}{2}. Wykaż, że zmienna X − Y ma ten sam rozkład, co zmienna εX.

8. Udowodnij, że splot rozkładów Cauchy’ego ma rozkład Cauchy’ego.

9. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że φ_{X+Y} = φ_{X} φ_{Y} oraz zmienne X, Y są zależne.

10. Podaj przykład zmiennych losowych X_{n} takich, że φ_{X_{n}} → φ punktowo, ale φ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.

11. Udowodnij, że jeśli ε_{1}, ε_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε_{i} = ±1) = 1/2 to zmienna ∑ _{n=1}^{∞} 2^{−n} ε_{n} ma rozkład jednostajny na [−1, 1].

12* a) Udowodnij, że φ(x) = (1 − |x|)I_{(−1,1)} (x) jest funkcją charakterystyczną b) Udowodnij, że jeśli φ: ℝ → ℝ_{+} jest parzysta, wypukła i malejąca na [0, ∞), kawałkami liniowa oraz φ(0) = 1 to φ jest funkcją charakterystyczną. c)Udowodnij, że jeśli φ: ℝ → ℝ_{+} jest parzysta, wypukła i malejąca na [0, ∞) oraz φ(0) = 1, to φ jest funkcją charakterystyczną.

13* Wykaż, że funkcja e^{−|t|^{α}} a*) jest funkcją charakterystyczną dla 0 < α 1, b*) nie jest funkcją charakterystyczną dla α > 2, c*) jest funkcją charakterystyczną dla 1 < α 2.

14. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną φ_{X} (t) = e^{−|t|^{α}} dla pewnego α ∈ (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej aX + bY, gdzie a, b ∈ R, a Y jest niezależną kopią X?

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 4 (zadania gwiazdkowe do oddania 5 listopada)

0. Wykaż, że jeśli funkcja f: ℝ ↦ ℂ jest nieujemnie określona, to f(t) = \overline{f(−t)} oraz |f(t)| f(0) dla t ∈ ℝ.

1* Załóżmy, że zmienne X i Y są niezależne, mają jednakowy rozkład oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zmienna aX + bY ma ten sam rozkład, co zmienna (|a|^{α} + |b|^{α})^{1/α} X. Znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej X.

2* Czy z równości dwu funkcji charakterystycznych na pewnym otoczeniu zera wynika równość rozkładów?

3. Dla n 1 zmienna X_{n} ma rozkład geometryczny z parametrem p_{n} ∈ (0, 1). Wykaż, że jeśli (a_{n})_{n} jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a_{n} → 0, p_{n}/a_{n} → λ > 0, to rozkład zmiennych a_{n}X_{n} zbiega słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.

4. Dana jest zmienna losowa X taka, że EX^{2} < ∞ oraz X ∼ \frac{1}{\sqrt{2}}(Y +Z), gdzie Y, Z są niezależnymi kopiami X. Wykaż, że X ∼ N (0, σ^{2}) dla pewnego σ 0.

5* Wykaż, że teza poprzedniego zadania jest prawdziwa bez założenia EX^{2} < ∞.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = a) = P(X_{i} = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{1/\sqrt{n}} są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

7. Zmienne X_{λ} mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że

\frac{X_{λ} − λ}{\sqrt{λ}} ⇒ N (0, 1),gdy λ → ∞.

8. Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

9. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że

P(X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}} ), P(X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}} .

Udowodnij, że Var(X_{n}) → 2 oraz

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} ⇒ N (0, 1) przy n → ∞.

10. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX_{1} = 0, Var(X) = 1. Zbadaj zbieżność względem rozkładu ciągów

U_{n} = \frac{\sqrt{n}(X_{1} + …, X_{n})}{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}} , V_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{\sqrt{X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}}} .

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 5 (zadania gwiazdkowe do oddania 19 listopada)

1* Załóżmy, że X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie oraz ciąg \frac{1}{\sqrt{n}} (X_{1} + X_{2} + …+ X_{n}) jest ciasny. Wykaż, że zmienne X_{i} mają średnią zero i skończoną wariancję.

2. Wykaż warunek Lindeberga w przypadku gdy X_{n,k} = \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{k}, 1 k n, gdzie Y_{1}, Y_{2}, … jest ciągiem niezależnych scentrowanych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i skończonej wariancji.

3. Zmienne X_{i} są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−1/2} (X_{1} + X_{2}^{3} + … + X_{n}^{2n−1} ).

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają jednakowy rozkład o średniej zero i wariancji 1. Ciąg (a_{n}) jest ograniczony oraz s_{n} = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} …+ a_{n}^{2})^{1/2} → ∞. Wykaż, że s_{n}^{−1} (a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + …+ a_{n}X_{n}) zbiega według rozkładu do N (0, 1).

5. Załóżmy, że (X_{n,k} )_{k k_{n}} jest układem trójkątnym σ_{n}^{2} = ∑ _{k=1}^{k_{n}} Var(X_{n}) < ∞ oraz zachodzi warunek Prochorowa

\frac{1}{σ_{n}^{p}} ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k} − EX_{n,k} |^{p} → 0 przy n → ∞ dla pewnego p > 2.

Wykaż, że układ (X_{n,k} ) spełnia warunek Lindeberga.

6. Podaj przykład zależnych zmiennych losowych X, Y o rozkładzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y) = 0.

7. Udowodnij, że zmienna X ∼ N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy, gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona

g_{X} (x) = \frac{\sqrt{detC}}{(2π)^{d/2}} exp(\frac{⟨C(x − a), x − a⟩}{2} ), gdzie C = B^{−1} .

8* Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = 1 oraz

S_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{i [nt]} X_{i} dla t 0, n = 1, 2, . . ..

Udowodnij, że dla dowolnych 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{k} ciąg wektorów losowych (S_{n}(t_{1}), S_{n}(t_{2}), …, S_{n}(t_{k})) jest zbieżny według rozkładu. Jak wygląda rozkład graniczny?

9* Dla n = 1, 2, … i t ∈ [0, 1] określmy zmienną T_{n}(t) wzorem

T_{n}(t) := (nt − ⌊nt⌋)S_{n}(\frac{⌊nt⌋ + 1}{n} ) + (⌊nt⌋ + 1 − nt)S_{n}(\frac{⌊nt⌋}{n}),

gdzie S_{n} są takie jak w poprzednim zadaniu. Wówczas T_{n} można traktować jako zmienną o wartościach w C[0, 1]. Wykaż, że T_{n} są zbieżne według rozkładu. Co można powiedzieć o rozkładzie granicznym?

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 6 (zadanie gwiazdkowe do oddania 3 grudnia)

1. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania. Wykaż, że τ ∨σ, τ ∧σ, τ +σ są momentami zatrzymania. Czy τ − 1, τ + 1 też są momentami zatrzymania (przyjąć T = ℕ)?

2. Zmienne losowe (X_{n}) są adaptowalne względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B:

a) τ_{1} = inf{n : X_{n} ∈ B} – pierwsza wizyta w zbiorze B,

b) τ_{k} = inf{n > τ_{k−1} : X_{n} ∈ B}, k = 2, 3, … – k-ta wizyta w zbiorze B.

3. Wykaż, że jeśli τ, σ są momentami zatrzymania (T = ℕ), to a) jeśli τ ≡ t, to F_{τ} = F_{t},

b) jeśli τ < σ, to F_{τ} ⊂ F_{σ},

c) A ∈ F_{τ} wtedy i tylko wtedy gdy A ∈ F oraz A ∩ {τ = t} ∈ F_{t} dla wszystkich t.

4. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Udowodnij, że zdarzenia {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} ∈ F_{τ} ∩ F_{σ} oraz F_{τ} ∩ F_{σ} = F_{τ∧σ} .

5. Podaj przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) ≠ F_{τ}.

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji i średniej zero oraz S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n}. Wykaż, że S_{n} i S_{n}^{2} − Var(S_{n}) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X_{n}.

7. Załóżmy, że ε_{1}, ε_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε_{i} = ±1) = 1/2 oraz F_{n} = σ(ε_{1}, …, ε_{n}). Niech S_{n} = ε_{1} + … + ε_{n}.

a) Znajdź wszystkie liczby a takie, że (a^{n} cos(S_{n}), F_{n}) jest martyngałem.

b) Wykaż, że dla dowolnego λ > 0, ciąg (exp(λS_{n} − nλ^{2}/2), F_{n}) jest nadmartyngałem.

8. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz E|X_{i}| < ∞ dla wszystkich i. Udowodnij, że M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X_{n} wtedy i tylko wtedy gdy EX_{i} = 1 dla wszystkich i 2 lub X_{1} = 0 p.n..

9. Niech X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej 0. Wykaż, że ciąg Z_{n} dany wzorem Z_{0} = 0 Z_{n} = X_{0}X_{1}+X_{1}X_{2}+ …+X_{n−1} X_{n}, n 1 jest martyngałem względem F_{n} = σ(X_{0}, X_{1}, …, X_{n}).

10. Niech t ∈ ℝ oraz X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Przyjmijmy S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź wszystkie ciągi (a_{n}) takie, że (e^{itS_{n} +a_{n}} , F_{n}) jest martyngałem.

11. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X_{i} = ±1) = 1/2, S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz τ = inf{n : S_{n} = 1}. Wykaż, że Eτ = ∞.

12* Niech (M_{k})_{k=1}^{n} będzie martyngałem względem pewnej filtracji,a p > 1 spełnia E|M_{1}|^{p} < ∞. Wykaż, że E|M_{1}|^{p} E|M_{n}|^{p} oraz równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy M_{1} = M_{2} = … = M_{n} p.n..

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 7 (zadania gwiazdkowe do oddania 10 grudnia)

1. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EX_{τ} = EX_{0}.

2. Niech (X_{n}, F_{n}) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że X_{n} = Y_{n} +Z_{n}, gdzie Y_{n} jest martyngałem, a Z_{n} ciągiem prognozowalnym. Wykaż, że X_{n} jest nadmartyngałem wtedy i tylko wtedy gdy Z_{n} jest nierosnący.

3. Egzaminator przygotował na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15 zdających studentów losuje 1 zestaw, który później nie jest już używany. Student Abacki zna odpowiedź na dokładnie 10 z 20 zestawów. Od wychodzących z egzaminu dowiaduje się jakie pytania są już wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksymalizująca szanse zdania egzaminu przez Abackiego?

4. Niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … mają jednakowy rozkład o skończonej wariancji. Udowodnij, że E(S_{τ} −τEX_{1})^{2} = EτVar(X_{1}), o ile Eτ < ∞. Czy wzór musi być prawdziwy gdy Eτ = ∞?

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne oraz P(X_{i} = 1) = p = 1 − P(X_{i} = −1). Przyjmując S_{0} = 0, S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i} znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ^{S_{n}} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}).

6. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą niesymetryczną.

7. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną

b) monetę niesymetryczną.

8* Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 zł przez A w grze orła i reszkę

a) monetą symetryczną

b) monetę niesymetryczną?

9* Czy ze zbieżności martyngału według prawdopodobieństwa wynika zbieżność prawie na pewno?

10* Udowodnij, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnego martyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} zachodzi

E sup_{n}|X_{n}| C(1 + sup_{n}E|X_{n}| ln^{+} |X_{n}|).

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 8 (zadania gwiazdkowe do oddania 17 grudnia)

1. Niech (ε_{n})_{n} będzie ciągiem niezależnych symetrycznych zmiennych losowych o wartościach ±1. Wykaż, że nadmartyngał

Z_{n} := e^{a(ε_{1} +...+ε_{n} )−(na^{2} /2)}

jest zbieżny prawie na pewno. Czy jest zbieżny w L_{1}?

2. Niech X_{1}, X_{2}, ... będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0, 2]. Wykaż, że

M_{n} = ∏_{k=1}^{n} X_{k}

tworzą martyngał (względem filtracji generowanej przez X_{n}) zbieżny do 0 prawie na pewno, ale nie w L_{1} .

3. Podaj przykład martyngału X_{n} takiego, że X_{n} → 0 p.n. oraz E|X_{n}| → ∞.

4. Wykaż, że jeśli (X_{i}) i (Y_{i}) są jednostajnie całkowalne, to dla dowolnych a, b ∈ ℝ, (aX_{i} + bY_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

5. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X_{n} taki, że E sup_{n} |X_{n}| = ∞.

6. Niech φ : ℝ_{+} → ℝ_{+} spełnia warunek lim_{x→∞} \frac{φ(x)}{x} = ∞. Wykaż, że jeśli sup_{i} Eφ(|X_{i}|) < ∞, to (X_{i}) jest jednostajnie całkowalny.

7. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że X_{n} ma rozkład Poissona z parametrem n^{2}. Wykaż, że ciąg M_{n} = (n!)^{−2} X_{1} ⋯ X_{n} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X_{n}). Czy M_{n} jest zbieżny prawie na pewno? Czy jest zbieżny w L^{2}? Czy jest zbieżny w L^{1}?

8* Niech Y_{n} będzie niezależnym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takich, że EY_{1} = 1 i P(Y_{1} = 1) < 1. Wykaż, że (Y_{1}Y_{2} ⋯ Y_{n}, σ(Y_{1}, …, Y_{n}))_{n 1} jest martyngałem zbieżnym p.n., ale nie w L^{1}.

9* Niech (X_{n}, F_{n})_{n=−∞}^{0} będzie martyngałem (z tzw. czasem odwróconym). Udowodnij, że granica X = lim_{n→−∞} X_{n} istnieje. Co można powiedzieć o X?

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 9 (zadania gwiazdkowe do oddania 14 stycznia)

1* Czy istnieje jednostajnie całkowalny martyngał (M_{n})_{n 0} taki, że E sup|M_{n}| = ∞?

2* Wykaż, że jeśli martyngał (M_{n}, F_{n}) jest jednostajnie całkowalny, to dla dowolnych momentów zatrzymania σ τ takich, że τ < ∞ p.n, E(M_{τ}|F_{σ}) = M_{σ} p.n.

3. Zmienne ε_{1}, ε_{2}, … są niezależne oraz P(ε_{i} = ±1) = 1/2. Rozstrzygnij, które z podanych poniżej procesów są łancuchami Markowa.

a) X_{0} = 0, X_{n} = ε_{1} + … + ε_{n}, n = 1, 2, …

b) Y_{0} = 1, Y_{n} = ε_{1}ε_{2} ⋯ ε_{n}, , n = 1, 2, …

c) Z_{n} = (−1)^{ε_{n}} , , n = 1, 2, …

d) W_{n} = ε_{n}ε_{n+1} , n = 1, 2, …

e) V_{n} = ε_{n} + ε_{n+1} , n = 1, 2 . . ..

4. Załóżmy, że E jest zbiorem przeliczalnym, f: E ×ℝ → E jest funkcją mierzalną (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne), Y_{0} pewną zmienną o wartościach w E, zaś X_{0}, X_{1}, … ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Definiujemy

Y_{n+1} = f(X_{n}, Y_{n}) dla n = 0, 1, . . ..

Wykaż, że (Y_{n}) jest łańcuchem Markowa.

5. Dwa jednorodne łańcuchy Markowa (X_{n}), (Y_{n}) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z_{n} = (X_{n}, Y_{n}) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia.

6. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Wykaż, że dla dowolnej funkcji różnowartościowej f : E → E, (f(X_{n})) jest łańcuchem Markowa. Czy tak być musi, jeśli nie założymy różnowartościowości f?

7* Prawdopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi p_{n} dla n = 0, 1, . . .. Zakładając, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażają się równocześnie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licząca w chwili 0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{k=0}^{∞} kp_{k} > 1 lub p_{1} = 1.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 10 (zadania gwiazdkowe do oddania 21 stycznia)

1. Dla łańcuchów Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3, 4} i poniższych macierzach przejścia znajdź wszystkie stany nieistotne i wszystkie zamknięte zbiory stanów.

a) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} ) b) ( \begin{matrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

2. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniętych.

3. Zmienne Y_{0}, Y_{1}, Y_{2}, … są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem \frac{1}{2}. Ciąg zmiennych X_{1}, X_{2}, … jest określony następująco: X_{0} ≡ 1 p.n., a dla n 0,

X_{n+1} = \{ \begin{matrix}1 & jeśli Y_{n} = 1, \\ X_{n}Y_{n} & jeśli Y_{n} ≠ 1. \end{matrix}

a) Wykaż, że (X_{n})_{n} jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa.

b) Czy ten łańcuch jest okresowy?

c) Udowodnij, że wszystkie stany są powracające.

4. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający.

5. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to ∑ _{n=0}^{∞} p_{x,y} (n) < ∞ dla wszystkich x, w szczególności lim_{n→∞} p_{x,y} (n) = 0.

6. Udowodnij, że nieprzywiedlny łańcuch Markowa jest powracający wtedy i tylko wtedy gdy F_{x,y} = 1 dla wszystkich x, y.

7. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa z prawdopodobieństwem 1 każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy (niezależnie od rozkładu początkowego).

8* Rozpatrzmy błądzenie w ℤ^{k} z macierzą przejścia p_{x,y} = \frac{1}{2k} gdy ∑ _{i=1}^{k} |x_{i} − y_{i}| = 1 oraz p_{x,y} = 0 dla pozostałych x, y. Dla jakich k jest to błądzenie powracalne?

9* Stan x łańcucha Markowa x nazywamy niezerowym, jeśli średni czas powrotu do x jest skończony, zaś zerowym w przeciwnym przypadu. Wykaż, że w nieprzywiedlnym powracalnym łańcuchu Markowa wszystkie stany są niezerowe lub wszystkie są zerowe.

10* Wykaż, że w nieprzywiedlnym powracającym łańcuchu Markowa stan y jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy lim_{n→∞} p_{xy}(n) = 0 dla wszystkich stanów x.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II* - 11

1. Zbadaj okresowość łańcuchów o poniższych macierzach przejścia:

a) ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) b) ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

2. Niech (X_{n}) będzie nieprzywiedlnym okresowym łańcuchem Markowa na E z macierzą przejścia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozkład E = S_{1} ∪ S_{2} ∪ … ∪ S_{d} taki, że zbiory S_{i} spełniają warunki:

a) p_{xy} > 0 ⇒ x ∈ S_{i}, y ∈ S_{i+1} dla pewnego i = 1, 2, …, d (przyjmujemy S_{d+1} = S_{1}).

b) na każdym S_{i} macierz (p_{xy}(d))_{x,y∈S_{i}} definiuje nieprzywiedlny, nieokresowy łańcuch Markowa.

3. Jednorodny łańcuch Markowa o przestrzeni stanów {0, 1, 2 …} ma macierz przejścia (p_{n,m} )_{n,m 0} taką, że p_{0,1} = 1, p_{n,n+1} = 1 − p_{n,n−1} = p dla n = 1, 2 …, gdzie p ∈ (0, 1). W zależności do parametru p wyznacz wszystkie rozkłady stacjonarne.

4. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.

5. Ciąg niezależnych zmiennych losowych Y_{1}, Y_{2}, … ma wspólny rozkład taki, że P(Y_{i} = 1) = 1 − P(Y_{i} = −1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciąg X_{n} wzorami X_{0} = 1, X_{n+1} = max(X_{n}, 1) + Y_{n}. Wykaż, że ciąg ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny, o ile istnieje.

6. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. stanowią piekarze?

7. Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozkładu stacjonarnego dla łańcuchów z przeliczalną przestrzenią stanów bez używania twierdzenia Brouwera.

8. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa, czy wynika stąd, że a) P(X_{n} = a_{k+1} |X_{i_{k}} = a_{k}, X_{i_{k−1}} = a_{k−1} , …, X_{i_{1}} = a_{1}) = P(X_{n} = a_{k+1} |X_{i_{k}} = a_{k}) dla dowolnych liczb całkowitych 0 i_{1} < i_{2} < … < i_{k} < n oraz stanów a_{1}, a_{2}, …, a_{k+1} ?

b) P(X_{n} ∈ A_{k+1} |X_{i_{k}} ∈ A_{k}, X_{i_{k−1}} ∈ A_{k−1} , …, X_{i_{1}} ∈ A_{1}) = P(X_{n} ∈ A_{k+1} |X_{i_{k}} ∈ A_{k}) dla dowolnych liczb całkowitych 0 i_{1} < i_{2} < … < i_{k} < n oraz zbiorów stanów A_{1}, A_{2}, …, A_{k+1} ?