Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12

1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x_{n}, x w przestrzeni metrycznej E δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy gdy x_{n} → x.

2. Wykaż, że \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{k/n} ⇒ λ, gdzie λ jest miara̧ Lebesgue’a na [0, 1].

3. Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ c gdzie c jest stała̧ to X_{n} → c według prawdopodobieństwa.

4. Zmienne losowe X_{n}, X przyjmuja̧ tylko wartości całkowite. Wykaż, że X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy P (X_{n} = k) → P (X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k.

5. Udowodnij, że N (a_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (a, σ^{2}) wtedy i tylko wtedy gdy a_{n} → a, σ_{n}^{2} → σ^{2}.

6. Niech g_{X_{n}}, g_{X} bȩda̧ gȩstościami rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż, że jeśli g_{X_{n}}(t) → g_{X}(t) dla p.w. t to X_{n} ⇒ X.

7. Udowodnij, że jeśli X_{n} ⇒ X, p > 0 oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞ to E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie E|X_{n}|^{p} → E|X|^{p}. Jest to jednak prawda̧ gdy dla pewnego ε > 0, sup_{n} E|X_{n}|^{p+ε} < ∞.

8. Niech x ∈ (0, 1) bȩdzie liczba̧ niewymierna̧. Wykaż,że

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{\{kxmod1\}} ⇒ λ,

gdzie λ jest miara̧ Lebesgue’a na [0, 1]. Co siȩ dzieje, gdy x jest wymierne?

9. a) Wykazać, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X_{n} ⇒ X wtedy i tylko wtedu gdy istnieja̧ zmienne losowe X̃_{n} ∼ X_{n} i X̃ ∼ X takie, że X_{n} jest zbieżny do X według prawdopodobieństwa.

b) Udowodnij powyższe stwierdzenie gdy X_{n}, X maja̧ wartości w dowolnej przestrzeni metrycznej (E, ρ).

10. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, X_{n} jest niezależne od Y_{n}, X niezależne od Y oraz X_{n} ⇒ X i Y_{n} ⇒ Y to (X_{n}, Y_{n}) ⇒ (X, Y).

11. Wykaż, że

d(μ, ν) = inf{ε : ∀_{t} F_{μ}(t − ε) − ε < F_{ν}(t) < F_{μ}(t + ε) + ε}

definiuje metrykȩ na wszystkich rozkładach probabilstycznych na R zgodna̧ ze słaba̧ zbieżnościa̧ (tzn. μ_{n} ⇒ μ ⇔ d(μ_{n}, μ) → 0).

12. Zmienne losowe X_{n} sa̧ niezależne. Wykaż, że ∑_{n=1}^{∞} X_{n} jest zbieżny według rozkładu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

1. Wykaż, że jeśli X_{n} ⇒ X oraz dystrybuanta F_{X} jest cia̧gła to F_{X_{n}} zbiega jednostajnie do F_{X}.

2. Niech X_{n} bȩdzie pierwsza̧ współrzȩdna̧ rozkładu jednostajnego na kuli jednostkowej w R^{n}. Udowodnij, że \sqrt{n}X_{n} ⇒ N (0, 1).

3. Wykaż, że rodzina zmiennych N (a_{α}, σ_{α}^{2}) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} |a_{α}| < ∞, sup_{α} σ_{α}^{2} < ∞.

4. Udowodnij, że twierdzenie Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej tzn. metrycznej, zupełnej, ośrodkowej.

5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów tzn. a) geometrycznego z parametrem p

b) Poissona z parametrem λ

c) dwumianowego z parametrami n, p

d) jednostajnego na przedziale [a, b]

e) normalnego N (a, σ^{2})

f) eksponencjalnego z parametrem λ

g) Cauchy’ego z parametrem h.

6. Które z nastȩpuja̧cych funkcji sa̧ funkcjami charakterystycznymi: cos t, cos^{2} t, \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, \frac{1+cos t}{2}, \frac{1}{2−e^{it}}?

7. Udowodnij, że jeśli φX^{′′}(0) istnieje to EX^{2} < ∞

8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmuja̧cych tylko wartości całkowite zachodzi

P (X = k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt}φ_{X}(t)dt.

9. Udowodnij, że jeśli X ma rozkład cia̧gły z gȩstościa̧ g to φ_{X}(t) → ∞ dla |t| → ∞.

1. Funkcja φ jest funkcja̧ charakterystyczna̧ pewnej zmiennej losowej. Czy funkcje a)φ^{2}, b) Reφ, c) |φ|^{2}, d) |φ| musza̧ być funkcjami charakterystycznymi?

2. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy φ_{X}(t) ∈ R dla wszystkich t.

3. Udowodnij, że splot rozkładów Cauchy’ego ma rozkład Cauchy’ego?

4. Udowodnij, że jeśli ε_{1}, ε_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P (ε_{i} = ±1) = 1/2 to zmienna ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n}ε_{n} ma rozkład jednostajny na [−1, 1].

5. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że φ_{X+Y} = φ_{X}φ_{Y} oraz zmienne X, Y sa̧ zależne.

6. a) Udowodnij, że φ(x) = (1 − |x|)I_{(−1,1)}(x) jest funkcja̧ charakterystyczna̧ b) Udowodnij, że jeśli φ : R → R jest parzysta, wypukła i maleja̧ca na [0, ∞), kawałkami liniowa oraz φ(0) = 1 to φ jest funkcja̧ charakterystyczna̧. c)Udowodnij, że jeśli φ : R → R jest parzysta, wypukła i maleja̧ca na [0, ∞) oraz φ(0) = 1 to φ jest funkcja̧ charakterystyczna̧.

7. Wykaż, że funkcja e^{−|t|^{α}} a) jest funkcja̧ charakterystyczna̧ dla 0 < α ≤ 1

b) nie jest funkcja̧ charakterystyczna̧ dla α > 2

c) jest funkcja̧ charakterystyczna̧ dla 1 < α ≤ 2.

8. Zmienna X ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ_{X}(t) = e^{−|t|^{α}} dla pewnego α ∈ (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej aX + bY, gdzie a, b ∈ R, a Y jest niezależna̧ kopia̧ X.

1. Udowodnij, że układ trójka̧tny X_{n,k} = \frac{X_{k}}{\sqrt{n}}, k = 1, …, n, gdzie X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależnym zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie spełnia warunek Lindeberga.

2. Rzucamy 1000 razy kostka̧. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek bȩdzie miȩdzy 3400 a 3600.

3. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że

P (X_{n} = ±1) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n^{2}} ), P (X_{n} = ±n) = \frac{1}{2n^{2}} .

Udowodnuj, że V (X_{n}) → 2 oraz

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} → N (0, 1) według rozkładu.

4. Wykaż, że warunek Lyapunowa

∃_{δ>0} lim_{n→∞} ∑_{k≤k_{n}} E|X_{n,k} − EX_{n,k}|^{2+δ} = 0

implikuje warunek Lindeberga (zakładamy, że s_{n}^{2} → σ^{2}).

5. Zmienne X_{λ} maja̧ rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że

\frac{X_{λ} − λ}{λ} → N (0, 1) według rozkładu gdy λ → ∞.

6. Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k≤n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

7. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne oraz P (X_{i} = a) = P (X_{i} = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{1/\sqrt{n}} sa̧ zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

8. Dana jest zmienna losowa X taka, że EX^{2} < ∞ oraz X ∼ \frac{1}{\sqrt{2}}(Y + Z), gdzie Y, Z sa̧ niezależnymi kopiami X. Wykaż, że X ∼ N (0, σ^{2}) dla pewnego σ ≥ 0.

1. Podaj przykład zależnych zmiennych losowych X, Y o rozkładzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y) = 0.

2. Udowodnij, że zmienna X ∼ N (a, B) ma gȩstośś wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona

g_{X}(x) = \frac{\sqrt{detC}}{(2π)^{d/2}} e^{\frac{(C(x−a),x−a)}{2}} , gdzie C = B^{−1}.

3. Załóżmy, że zmienne X_{n} = (X_{n,1}, X_{n,2}, …, X_{n,n}) maja̧ rozkład jednostajny na kuli B(0, \sqrt{n}) o środku w 0 i promieniu \sqrt{n}. Wykaż, że dla każdego k, zmienne (X_{n,1}, X_{n,2}, …, X_{n,k}) zbiegaja̧ według rozkładu do N (0, Id_{k}).

4. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩdzie cia̧giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = 1 oraz

S_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{ı≤[nt]} X_{i} dla t ≥ 0, n = 1, 2, ….

Udowodnij, że dla dowolnych 0 ≤ t_{1} < t_{2} < … < t_{k} cia̧g wektorów losowych (S_{n}(t_{1}), S_{n}(t_{2}), …, S_{n}(t_{k})) jest zbieżny według rozkładu. Jak wygla̧da rozkład graniczny?

1. Zmienne τ i σ sa̧ momentami zatrzymania. Wykaż, że τ ∨σ, τ ∧σ, τ +σ sa̧ momentami zatrzymania. Czy τ −1, τ +1 też sa̧ momentami zatrzymania (przyja̧ć T = N)?

2. Zmienne losowe (X_{n}) sa̧ adaptowalne wzglȩdem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞}. Udowodnij, że nastȩpuja̧ce zmienne losowe sa̧ momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B

a) τ_{1} = inf{n : X_{n} ∈ B} - pierwsza wizyta w zbiorze B

b) τ_{k} = inf{n > τ_{k−1} : X_{n} ∈ B}, k = 2, 3, … - k-ta wizyta w zbiorze B.

3. Wykaż, że jeśli τ, σ sa̧ momentami zatrzymania (T = N) to a) jeśli τ ≡ t to F_{τ} = F_{t}

b) jeśli τ < σ to F_{τ} ⊂ F_{σ}

c) A ∈ F_{τ} wtedy i tylko wtedy gdy A ∈ F oraz A ∩ {τ = t} ∈ F_{t} dla wszystkich t.

4. Zmienne τ i σ sa̧ momentami zatrzymania wzglȩdem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞}. Udowodnij, że {τ < σ}, {τ ≤ σ}, {τ = σ} ∈ F_{τ} ∩F_{σ} oraz F_{τ} ∩F_{σ} = F_{τ∧σ}.

5. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X_{i} = ±1) = 1/2, S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz τ = inf{n : S_{n} = 1}. Wykaż, że Eτ = ∞.

6. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne oraz E|X_{i}| < ∞ dla wszystkich i. Udowodnij, że M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} jest martyngałem wzglȩdem F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) wtedy i tylko wtedy gdy EX_{i} = 1 dla wszystkich i lub X_{1} = 0 p.n.p.

7. Niech S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}), gdzie X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Znajdź liczby a_{n}, b_{n} dla których S_{n}^{2} + a_{n}S_{n} + b_{n} jest martyngałem wzglȩdem F_{n}.

8. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o wspólnym rozkładzie N (0, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Dla λ > 0 znajdź liczby a_{n} takie, że (e^{λS_{n}−a_{n}}, F_{n}) jest martyngałem.

1. Niech (X_{n}, F_{n}) bȩdzie adaptowalnym cia̧giem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatryzmania τ, EX_{τ} = EX_{0}.

2. Niech (X_{n}, F_{n}) bȩdzie adaptowalnym cia̧giem całkowalnym. Udowodnij, że X_{n} = Y_{n} + Z_{n}, gdzie Y_{n} jest martyngałem, a Z_{n} cia̧giem prognozowalnym. Wykaż, że X_{n} jest nadmartyngałem wtedy i tylko wtedy gdy Z_{n} jest niemaleja̧cy.

3. Egzaminator przygotował na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15 zdaja̧cych studentów losuje 1 zestaw, który później nie jest już używany. Student S zna odpowiedź na dokładnie 10 z 20 zestawów. Od wychodza̧- cych z egzaminu dowiaduje siȩ jakie pytania sa̧ już wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksymalizuja̧ca szanse zdania egzaminu przez S?

4. X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EX_{i}^{2} < ∞. Udowodnij, że E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτV (X_{1}).

5. X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś t liczba̧ rzeczywista̧ taka̧, że φ_{X_{n}}(t) ≠ 0 dla n = 1, 2, . . .. Udowodnij, że

\frac{e^{itS_{n}}}{∏_{j≤n} φ_{X_{j}}(t)}, gdzie S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}

jest martyngałem wzglȩdem filtracji generowanej przez (X_{n}). Wywnioskuj sta̧d, że ∑_{n=1}^{∞} X_{n} zbiega według rozkładu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.n.p.

6. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkȩ moneta̧ niesymetryczna̧.

7. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinȩ któregoś z graczy w grze orła i reszkȩ

a) moneta̧ symetryczna̧

b) monetȩ niesymetryczna̧.

8. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 zł. przez A w grze orła i reszkȩ

a) moneta̧ symetryczna̧

b) monetȩ niesymetryczna̧.

9. Podaj przykład martyngału X_{n} takiego, że X_{n} → 0 p.n.p. oraz E|X_{n}| → ∞.

10. Niech (X_{n}, F_{n})_{n=−∞}^{0} bȩdzie martyngałem (z tzw. czasem odwróconym). Udowodnij, że granica X = lim_{n→−∞} X_{n} istnieje. Co można powiedzieć o X?

1. Podaj przykład martyngału takiego, że sup_{n} E|X_{n}| < ∞, który nie jest zbieżny w L^{1}.

2. Udowodnij, że dla podmartyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞}

∀_{t>0}P ( max_{1≤k≤n} |X_{k}| > t) ≤ 3\frac{max_{1≤k≤n} E|X_{k}|}{t}

oraz w przypadku X_{n} ≥ 0 lub X_{n} ≤ 0 dla wszystkich n, stała̧ 3 można zamienić na 1.

3. Wyprowadź z poprzedniego zadania nierówność Kołmogorowa

P ( max_{1≤k≤n} | ∑_{i=1}^{k} X_{i}| > t) ≤ \frac{1}{t^{2}} ∑_{i=1}^{n} EX_{i}^{2}

dla niezależnych zmiennych losowych X_{i} takich, że EX_{i} = 0.

4. Udowodnij, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnego martyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} zachodzi

E sup_{n} |X_{n}| ≤ C(1 + sup_{n} E|X_{n}| ln^{+} |X_{n}|).

5. Udowodnij, że jeśli zmienne losowe X_{n} sa̧ zbieżne w L^{p}, p ≥ 1 to |X_{n}|^{p} jest jednostajnie całkowalny (zatem X_{n} → X w L^{p} wtedy i tylko wtedy gdy X_{n} → X według prawdopodobieństwa oraz |X_{n}|^{p} jest jednostajnie całkowalny).

6. Wykaż, że jeśli X_{t} i Y_{t} sa̧ jednostajnie całkowalne to dla dowolnych a, b ∈ R, aX_{t} + bY_{t} jest jednostajnie całkowalny.

7. Znajdź jednostajnie całkowalny cia̧g X_{n} taki, że E sup_{n} |X_{n}| = ∞.

8. Niech φ : R_{+} → R_{+} spełnia warunek lim_{x→∞} \frac{φ(x)}{x} = ∞. Wykaż, że jeśli sup_{t} Eφ(|X_{t}|) < ∞ to (X_{t}) jest jednostajnie całkowalny.

9. Dany jest cia̧g zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o jednakowym rozkładzie taki, że E|X_{i}| < ∞, niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(S_{n}, S_{n+1}, …).

a) Udowodnij, że (\frac{S_{n}}{n} , F_{n}) jest martyngałem z czasem odwróconym.

b) Wywnioskuj sta̧ silne prawo wielkich liczb Kołmogorowa \frac{S_{n}}{n} → EX_{i} p.w. i w L^{1}.

1. Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie φ_{n} : E × R → R, n = 1, 2, … (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E sa̧ mierzalne). Zmienne losowe X_{0} o wartościach w E i U_{1}, U_{2}, … o wartościach rzeczywistych sa̧ niezależne. Udowodnij, że cia̧g (X_{n})_{n=0}^{∞} zdefiniowany rekurencyjnie wzorem X_{n+1} = φ_{n}(X_{n}, U_{n}) jest łańcuchem Markowa.

2. Dwa łańcuchy Markowa (X_{n}), (Y_{n}) z macierza̧ przejścia P sa̧ niezależne. Udowodnij, że Z_{n} = (X_{n}, Y_{n}) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia.

3. Zmienne ε_{0}, ε_{1}, … sa̧ niezależne oraz P (ε_{i} = ±1) = 1/2. Czy cia̧gi X_{n} = ε_{n}ε_{n+1}, Y_{n} = ε_{n} + ε_{n+1} sa̧ łańcuchami Markowa?

4. (X_{n}) jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej funkcji f : E → E, (f(X_{n})) musi być łańcuchem Markowa?

5. Zmienne X_{0}, X_{1}, … sa̧ niezależne oraz P (X_{i} = 1) = 1 − P (X_{i} = −1) = p ∈ (0, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, M_{n} = max(S_{1}, S_{2}, …, S_{n}). Które z cia̧gów |S_{n}|, M_{n}, M_{n} − S_{n} sa̧ łańcuchami Markowa? Znajdź odpowiednie macierze przejścia.

6. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniȩtych.

7. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracaja̧cy.

8. Rozpatrzmy bła̧dzenie w Z^{k} z macierza̧ przejścia p_{x,y} = \frac{1}{2k} gdy ∑_{i=1}^{k} |x_{i} − y_{i}| = 1 oraz p_{x,y} = 0 dla pozostałych x, y. Dla jakich k jest to bła̧dzenie powracalne?

9. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to ∑_{n=0}^{∞} p_{x,y}(n) < ∞ dla wszystkich x, w szczególności lim_{n→∞} p_{x,y}(n) = 0.

10. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest powracaja̧cy wtedy i tylko wtedy gdy F_{x,y} = 1 dla wszystkich x, y.

11. Dane sa̧ dwa niezależne bła̧zenia symetryczne X_{n}, Y_{n} na prostej (lub ogólniej w Z^{k}). Czy P (∃n ≥ 1 X_{n} = Y_{n}) = 1 tzn. czy z prawdopodobieństwem 1 bła̧dzenia siȩ kiedyś przetna̧?

12. Prawopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi p_{n} dla n = 0, 1, . . .. Zakładaja̧c, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażaja̧ siȩ równocześnie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licza̧ca w chwili 0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim wtedy i tylko wtedy gdy ∑_{k=0}^{∞} kp_{k} > 1.

1. Niech (X_{n}) bȩdzie nieprzywiedlnym okresowym łańcuchem Markowa na E z macierza̧ przejścia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozkład E = S_{1} ∪ S_{2} ∪ … ∪ S_{d} taki, że zbiory S_{i} spełniaja̧ warunki:

a) p_{xy} > 0 ⇔ x ∈ S_{i}, y ∈ S_{i+1} dla pewnego i = 1, 2, …, d (przyjmujemy S_{d+1} = S_{1}).

b) na każdym S_{i} macierz (p_{xy}(d))_{x,y∈S_{i}} definiuje nieprzywiedlny, nieokresowy łańcuch Markowa.

2. W dwu urnach znajduje siȩ ła̧cznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulȩ i przenosimy ja̧ do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.

3. Cia̧g niezależnych zmiennych losowych Y_{1}, Y_{2}, … ma wspólny rozkład taki, że P (Y_{i} = 1) = 1 − P (Y_{i} = −1) = p. Definiujemy rekurencyjnie cia̧g X_{n} wzorami X_{0} = 1, X_{n+1} = max(X_{n}, 1) + Y_{n}. Wykaż, że cia̧g ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny o ile istnieje.

4. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem 1.

5. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. jest piekarzem?

6. Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozkładu stacjonarnego dla łańcuchów z przeliczalna̧ przestrzenia̧ stanów bez używania twierdzenia Brouwera.

1. Udowodnij, że dla łańcuchów Markowa ze skończona̧ przestrzenia̧ stanów E i dowolnego niepustego podzbioru F ⊂ E układy równań

p_{F} (x) = 1  dla x ∈ F
p_{F} (x) = ∑_{y∈E} p_{xy}p_{F} (y) dla x ∉ F
p_{F} (x) = 0  jeśli ∀_{n}∀_{y∈F} p_{xy}(n) = 0

m_{F} (x) = 0  dla x ∈ F
m_{F} (x) = 1 + ∑_{y∈E} p_{xy}m_{F} (y) dla x ∉ F
m_{F} (x) = ∞  jeśli p_{F} (x) < 1

maja̧ dokładnie jedno rozwia̧zanie

2. Po wierzchołkach sześcianu porusza siȩ w sposób losowy mucha - w każdym kroku z prawdopodobieństwem 1/3 przenosi siȩ do jednego z sa̧siednich wierzchołków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu wyjścia nie odwiedzaja̧c wcześniej przeciwległego wierzchołka oraz średnia̧ liczbȩ kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjścia

W zadaniach 3–6 W = (W_{t})_{t∈[0,∞)} jest procesem Wienera

3. Udowodnij, że nastȩpuja̧ce procesy też sa̧ procesami Wienera a) X_{t} = −W_{t} (odbicie)

b) Y_{t} = c^{−1/2}X_{ct}, c > 0 (przeskalowanie czasu)

c) Z_{t} = tX_{1/t} dla t > 0 oraz Z_{0} = 0 (inwersja czasu)

d) U_{t} = X_{T +t} − X_{T} , T ≥ 0

e) V_{t} = X_{t} dla t ≤ T, V_{t} = 2X_{T} − X − t dla t > T, gdzie T ≥ 0.

4. Udowodnij, że W_{t} i W_{t}^{2}−t sa̧ martyngałami wzglȩdem filtracji F_{t} = σ(W_{s} : s ≤ t), t ≥ 0.

5. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{W_{t}}{t} = 0 p.n.p.

6. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)}, t_{1}^{(n)}, …, t_{k_{n}}^{(n)}}, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b bȩdzie cia̧giem podziałów odcinka [a, b] oraz ∥π_{n}∥ = max_{k} |t_{k}^{(n)} − t_{k−1}^{(n)}| oznacza średnicȩ π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} = ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}}|^{2} → b − a, n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli ∥π_{n}∥ → 0 oraz S_{n} → b − a p.n.p., jeśli ∑_{n} ∥π_{n}∥ < ∞.

7. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera maja̧ nieskończone wahanie na każdym przedziale.