Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 1

1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2^{Ω}. Udowodnij, że istnieja̧ liczby p_{ω} ≥ 0, ∑_{ω∈Ω} p_{ω} = 1 takie, że P (A) = ∑_{ω∈A} p_{ω} dla wszystkich A ∈ F.

2. Opisać wszystkie przestrzenie probabilistyczne z przeliczalnym zbiorem zdarzeń elementarnych Ω

3. Udowodnij, że każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne

4. Udowodnij nastȩpuja̧ce tożsamości

(lim sup A_{n})′ = lim inf(An^{′}), (lim inf A_{n})′ = lim sup(An^{′}),

lim inf A_{n} ⊂ lim sup A_{n}, lim sup(A_{n} ∪ B_{n}) = lim sup A_{n} ∪ lim sup B_{n},

lim sup A_{n} ∩ lim inf B_{n} ⊂ lim sup(A_{n} ∩ B_{n}) ⊂ lim sup A_{n} ∩ lim sup B_{n},

A_{n} ↗ A lub A_{n} ↘ A to A = lim sup A_{n} = lim inf A_{n}

5. Wykaż, że jeśli A_{n} = (−∞, x_{n}) oraz x = lim sup x_{n} to lim sup A_{n} = (−∞, x) lub (−∞, x] oraz oba te przypadki moga̧ zajść.

6. Udowodnij, że nastȩpuja̧ce dwie pseudometryki na F

ρ_{1}(A, B) = P (AΔB)

ρ_{2}(A, B) = \{ \begin{matrix}\frac{P (AΔB)}{P (A∪B)} & jeśli P (A ∪ B) > 0 \\ 0 & jeśli P (A ∪ B) = 0 \end{matrix}

spełniaja̧ warunek trójka̧ta.

7. Rzucamy moneta̧ dopóki nie wypadna̧ dwa orły pod rza̧d. Znaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładnie k razy.

8. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi jest losowany jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w cia̧gu 16 lekcji każy uczeń bȩdzie przepytany.

9. W szafie znajduje siȩ n par butów, na chybił trafił wybieramy z nich 2k butów przy czym 2k < n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) wśród wylosowanych butów jest conajmniej jedna para

b) wśród wylosowanych butów jest dokładnie jedna para

10. Roztrzepana sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty.

11. W n rozróżnialnych urnach umieszczono w sposób losowy k rozróżnialnych kul. Oblicz prawdopodobieństwo p_{m}(k, n), że dokładnie m urn pozostanie pustych 0 ≤ m ≤ n − 1. (Wskazówka: policz najpierw p_{0}(k, n)).

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 2

1. Na loterii jest 10 losów wygrywaja̧cych, 100 przegrywaja̧cych i 1000 uprawniaja̧cych do kolejnego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania?

2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładnie 3 asy jeśli wiadomo, że

a) mamy conajmniej jednego asa

b) mamy asa czarnego koloru

c) mamy asa pik

d) pierwsza̧ wylosowana̧ karta̧ jest as

e) pierwsza̧ wylosowana̧ karta̧ jest czarny as

f) pierwsza̧ wylosowana̧ karta̧ jest as pik.

3. K. wybrał siȩ w odwiedziny do znajomych o których wiedział, że maja̧ dwójkȩ dzieci, ale nie znał ich płci ani wieku. Drzwi domu otworzyła mu dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko znajomych K. też jest dziewczynka̧?

4. (schemat urnowy Polya) Urna zawiera b kul białych i c kul czarnych. Wykonujemy kolejno nastȩpuja̧ce doświadczenie: losujemy z urny kulȩ, a nastȩpnie wkładamy ja̧ z powrotem do urny, a wraz z nia̧ dokładamy do urny a kul tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo wylosowania w n-tym losowaniu kuli białej jest \frac{b}{b+c}.

5. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma n dzieci jest równe

p_{n} = \{ \begin{matrix}αp^{n} & n = 1, 2, … \\ 1 − ∑_{n=1}^{∞} αp^{n} = 1 − \frac{αp}{1−p} & n = 0 \end{matrix}

Zakładaja̧c, że wszystkie 2^{n} rozkładów płci dzieci w rodzinie o n dzieciach jest równoprawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma

a) conajmniej jedna̧ córkȩ

b) dokładnie jedna̧ córkȩ?

c) Losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedna̧ córkȩ, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona jedynaczka̧?

6. Dwaj gracze rzucaja̧ symetryczna̧ moneta̧ aż pojawi siȩ cia̧g OOO lub ORO. Jeśli najpierw pojawi siȩ OOO wygrywa gracz A, jeśli ORO gracz B.

a) Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 gra siȩ zakończy

b) Jakie sa̧ szanse, że grȩ wygra gracz A?

7. Dwaj gracze graja̧ w orła i reszkȩ moneta̧ symetryczna̧. Jeśli wypadnie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka to B płaci A 1 zł. Gra siȩ kończy, gdy któryś z graczy zostanie bez pieniȩdzy. Na pocza̧tku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że grȩ wygra gracz A.

b) Jak zmieni siȩ to prawdopodobieństwo, jeśli moneta jest sfałszowana tzn. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p ≠ 1/2?

1. Na kiju długości l wybrano na chybił trafił 2 punkty i w tych punktach przełamano kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymanych 3 kawałków można zbudować trójka̧t.

2. (Igła Buffona) Igłȩ o długości l rzucono w sposób losowy na płaszczyznȩ z zaznaczonymi liniami równoległymi. Odległość miȩdzy sa̧siednimi liniami wynosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetnie która̧ś z linii.

3. Wieloka̧t wypukły o średnicy mniejszej niż d rzucono na płaszczyznȩ poliniowana̧ jak w poprzednim zadaniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wieloka̧t przetnie która̧ś z linii.

4. Udowodnij, że w definicji niezależności n zdarzeń każde z 2^{n}−n−1 równań jest niezbȩdne (tzn. jeśli odrzucimy jedno z równań to istnieja̧ zdarzenia zależne spełniaja̧ce wszystkie pozostałe równania).

5. Dla A ∈ F zdefiniujmy A^{1} = A i A^{−1} = A′. Udowodnij, że dla dowolnych A_{1}, …, A_{n} ∈ F i ε_{1}, …, ε_{n} ∈ {−1, 1} zdarzenia A_{1}, …, A_{n} sa̧ niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia A_{1}^{ε_{1}}, …, A_{n}^{ε_{n}} sa̧ niezależne.

6. Niech F : R → [0, 1] bȩdzie lewostronnie cia̧gła̧ niemaleja̧ca̧ funkcja̧ taka̧, że F (∞) = 1 oraz F (−∞) = 0. Pokaż, że F jest dystrybuanta̧ pewnej rzeczywistej zmiennej losowej tzn. istnieje przetrzeń probabilistyczna i zmienna X na niej okreĺona takie, że F (t) = P (X < t) dla t ∈ R.

7. Załóżmy, że (E, B) jest przestrzenia̧ mierzalna̧ oraz A pewna̧ klasa̧ podzbiorów E taka̧, że σ(A) = B. Niech X, Y bȩda̧ zmiennymi losowymi o wartościach w (E, B) takimi, że P (X ∈ A) = P (Y ∈ A) dla wszytkich A ∈ A. Wykaż, że powyższe założenia nie implikuja̧ równości rozkładów X i Y.

8. a) Pokazać, że funkcje Rademachera r_{n}(x) = sgn(cos(2^{n}πx)) sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|)

b) dla t ∈ [0, 1] i n = 1, 2, … niech X_{n}(t) oznacza n-ta̧ cyfrȩ rozwiniȩcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rowiniȩć wybieramy np. to ze skończona̧ liczba̧ 1). Udowodnij, że X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|).

9. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 w cia̧gu niezależnych rzutów moneta̧ wysta̧pi każdy skończony cia̧g złożony z orłów i reszek.

1. Niech ε_{1}, ε_{2}, … bȩdzie cia̧giem niezależnych zmiennych losowych takich, że P (ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2} (por. zad 3.8). Dla skończonych podzbiorów A liczb całkowitych dodatnich zdefiniujmy funkcje Walsha

w_{A} = \{ \begin{matrix}∏_{i∈A} ε_{i} & jeśli A ≠ ∅ \\ 1 & jeśli A = ∅ \end{matrix}

a) znajdź rozkład w_{A}

b) wykaż, że w_{A}, w_{B} sa̧ niezależne gdy A ≠ B. Czy w_{A}, w_{B}, w_{C} musza̧ być niezależne dla różnych indeksów A, B, C?

2. Niech X_{1}, …, X_{n} bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z cia̧gła̧ dystrybuanta̧ F. Dla ω ∈ Ω niech X_{1}^{∗}(ω), …, X_{n}^{∗}(ω) bȩdzie ustawieniem X_{1}(ω), …, X_{n}(ω) w porza̧dku rosna̧cym X_{1}^{∗}(ω) ≤ X_{2}^{∗}(ω) ≤ … ≤ X_{n}^{∗}(ω) (czyli w szczegolności X_{1}^{∗} = min(X_{1}, …, X_{n}), X_{n}^{∗} = max(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź dystrybuantȩ X_{k}^{∗} dla k = 1, …, n (X_{k}^{∗} nazywamy k-ta̧ statystyka̧ porza̧dkowa̧ cia̧gu X_{1}, …, X_{n})

3. Załóżmy, że X, Y zmienne losowe takie, że X jest σ(Y)-mierzalne tzn. σ(X) ⊂ σ(Y). Udowodnij, że istnieje φ : R → R mierzalna taka, że X = φ(Y).

4. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩdzie cia̧giem niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych. Określmy

Y = lim sup_{n→∞} X_{n}, Z = lim inf_{n→∞} X_{n}.

Udowodnij, że Y i Z sa̧ zdegenerowanymi zmiennymi losowymi tzn. istnieja̧ c, d ∈ R ∪ {±∞} takie, że P (X = c) = P (Y = d) = 1.

1. Niech X, Y bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrami odpowiednio p i r. Oblicz P (X < Y).

2. Rozwia̧ż zadanie j.w., ale w przypadku gdy X i Y maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrami λ i μ.

3. Zmienne losowe X i Y sa̧ niezależne, przy czym dystrybuanta X jest cia̧gła. Wykaż, że P (X = Y) = 0.

4. Na skrzyżowaniu ulic na pewnym kierunku światło czerwone świeci siȩ 2 minuty, zaś światło zielone 1 minutȩ (zakładamy, że nie ma światła żółtego). W losowym momencie samochód przyjeżdża na skrzyżowanie, oznaczmy przez X długość oczekiwania na światło zielone.

a) Znajdź rozkład X

b) Znajdź wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ X.

5. Niech X bȩdzie ”niestarzeja̧ca̧ siȩ zmienna̧ losowa̧ tzn

∀_{t,s>0}P (X > s + t|X > s) = P (X > t)

(zakładamy, że P (X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodnij, że X ma rozkład eksponencjalny.

6. Niech ε_{1}, ε_{2}, … bȩda̧ niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi Bernoulliego tzn. P (ε_{i} = ±1) = 1/2. Jaki rozkład ma zmienna X = ∑_{i=1}^{∞} 2^{−i}ε_{i}?

7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a_{1}, …, a_{n}

E(∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i})^{4} ≤ 3(E(∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i})^{2})^{2},

gdzie ε_{1}, …, ε_{n} sa̧ dobrane jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że stałej 3 nie można poprawić

8. Roztrzepana sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczbȩ listów, które trafiły do właściwej koperty. Znajdź wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ X.

9. Niech F bȩdzie dystrybuanta̧ pewnej zmiennej losowej X. Udowodnij, że jeśli F jest funkcja̧ różniczkowalna̧ w każdym punkcie to X ma rozkład cia̧gły.

10. Przy oznaczeniach jak w zadaniu 7 wykaż, że dla wszystkich t ≥ 0

P (| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| ≥ t) ≤ 2 exp(−\frac{t^{2}}{2 ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}} ).

1. a) X ∼ N (a, σ^{2}), jaki rozkład ma bX = c dla b, c ∈ R?

b) X ∼ N (0, 1), znajdź rozkład e^{X} (tzw. rozkład lognormalny).

c) X_{1}, …, X_{n} niezależne zmienne losowe o rozkładach N (a_{i}, σ_{i}^{2}), udowodnij, że dla dowolnych liczn rzeczywistych b_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{i}X_{i} ma rozkład normalny, znajdź parametry tego rozkładu.

d) X, Y niezależne zmienne losowe o rozkładzie N (0, 1), jaki rozkład maja̧ zmienne X + Y, X − Y, czy sa̧ niezależne?

2. X, Y niezależne zmienne losowe o rozkładzie Γ(α_{1}, β) i Γ(α_{2}, β). Udowodnij, że X + Y ma rozkład Γ(α_{1} + α_{2}, β).

3. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩdzie cia̧giem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie Exp(λ). Zdefiniujmy S_{0} = 0, S_{1} = X_{1}, S_{2} = X_{1} + X_{2}, . . .. Dla t > 0 niech N_{t} = sup{n : S_{n} ≤ t}. Wykaż, że N_{t} ma rozkład Poissona z parametrem λt.

4. X, Y niezależne zmienne losowe o rozkładzie Cauchy’ego z parametrami h_{1} i h_{2}, udowodnij, że X +Y ma rozkład Cauchy’ego z parametrem h_{1}+h_{2} (inaczej jeśli X, Y niezależne o standardowym rozkładzie Cauchy’ego to h_{1}X + h_{2}Y ∼ (h_{1} + h_{2})X).

5. X, Y sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie eksponencjalnym z parametrami λ i μ, znajdź rozkład zmiennej X/Y.

6. X, Y niezależne zmienne losowe o wartościach w T = {z ∈ C : |z| = 1}. Co można powiedzieć o rozkładzie XY jeśli X ma rozkład jednostajny na T.

7. X_{0}, X_{1}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkł]adzie z cia̧gła̧ dystrybuanta̧. Niech N = inf{n : X_{n} > X_{0}}. Znajdź rozkład N i oblicz EN.

8. Udowodnij, że dla 0 < λ < \frac{1}{2} rozkład ∑_{n=1}^{∞} λ^{n}ε_{n} nie jest cia̧gły (ε_{1}, ε_{2}, … sa̧ niezależnymi zmiennymi takimi, że P (ε_{i} = ±1) = 1/2).

9. Niech Z bȩdzie zmienna̧ losowa̧ Cauchy’ego z parametrem 1. Udowodnij, że zmienne

Z_{2} = \frac{2Z}{1 − Z^{2}} , Z_{3} = \frac{3Z − Z^{3}}{1 − 3Z^{2}} , …, Z_{n} = \frac{\binom{n}{1}Z − \binom{n}{3}Z^{3} + \binom{n}{5}Z^{5} − …}{1 − \binom{n}{2}Z^{2} + \binom{n}{4}Z^{4} − …}, …

maja̧ rozkład Cauchy’ego.

1. Urna zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy z urny bez zwracania n kul (n ≤ N) i definiujemy zmienna̧ losowa̧ X jako liczbȩ wylosowanych kul białych. Oblicz wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ X.

2. W urnie jest N kul w tym N − 1 białych i 1 czerwona. Gracz cia̧gnie kule bez zwracania i wygrywa 1 zł za każda̧ wycia̧gniȩta̧ kulȩ biała̧, ale traci wszystko i kończy grȩ, jeśli wycia̧gnie kulȩ czerwona̧. Przed każdym losowaniem kuli gracz może zdecydować (oczywiście jeśli nie pojawiła siȩ kula czerwona) czy grać dalej czy zadowolić siȩ dotychczasowa̧ wygrana̧. Znaleźć strategiȩ optymalna̧ tzn maksymalizuja̧ca̧ średnia̧ wygrana̧. Rozwia̧zać to samo zadanie przy założeniu, że losujemy kule ze zwracaniem.

3. Oblicz wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ rozkładu gamma Γ(α, β).

4. Niech X bȩdzie miał rozkład N (0, 1). Oblicz E|X|^{p} dla p ∈ R, jak wygla̧da ta liczba dla p naturalnych?

5. X jest rzeczywista̧ zmienna̧ losowa̧, udowodnij, że

E|X|^{p} = p ∫_{0}^{∞} t^{p−1}P (|X| ≥ t)dt.

6. Rzeczywista zmienna losowa X spełnia E|X|^{p} < ∞, udowodnij, że

lim_{t→∞} t^{p}P (|X| ≥ t) = 0.

7. (Nierwność Chinczyna) Zmienne ε_{1}, ε_{2}, … sa̧ niezależnymi Rademacherami tzn P (ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2}. Udowodnij, że dla dowolnego p > 0 istnieje stała C_{p} < ∞ zależna tylko od p taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2}, …, a_{n}

(E| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}|)^{1/p} ≤ C_{p}\sqrt{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}

8. X jest nieujemna̧ zmienna̧ losowa, udowodnij, że dla λ ∈ (0, 1)

P (X > λEX) ≥ (1 − λ)^{2} \frac{(EX)^{2}}{EX^{2}} .

9. Niech (ε_{i}) bȩda̧ jak w zadaniu 7. Wykaż, że istnieje stała uniwersalna c > 0 taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2}, …, a_{n} a*) pdfP (| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| ≥ \frac{1}{2} \sqrt{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}) ≥ c b**) P (| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| ≥ \sqrt{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}) ≥ c.

1. Zmienne losowe X, Y sa̧ niezależne o tym samym rozkładzie. Udowodnij, że

E(X|X + Y) = E(Y |X + Y) = \frac{X + Y}{2} p.w.

2. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie oraz S_{k} = X_{1} + X_{2} + … + X_{k}. Znajdź dla i, n ≥ 1

E(X_{i}|S_{n}, S_{n+1}, …) := E(X_{i}|σ(S_{n}, S_{n+1}, …)).

3. Znajdź przykład zmiennych losowych X, Y, które nie sa̧ niezależne, ale E(X|Y) = EX.

4. Wektor losowy (X, Y) ma gȩstość

g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}}{2} e^{−x(y+1)} & jeśli x > 0, y > 0 \\ 0 & w przeciwnym przypadku \end{matrix}

Znajdź E(X|Y).

5. X jest zmienna̧ losowa̧ o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1, zaś Y - zmienna̧ losowa̧ taka̧, że jeśli X = x to Y ma rozkład wykładniczy z parametrem X.

a) Znajdź rozkład Y

b) Oblicz P (X > r|Y).

6. X_{1}, X_{2}, …, X_{n} sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, a], oblicz E(X_{1}| max(X_{1}, …, X_{n})).

7. Niech P bȩdzie miara̧ probabilistyczna̧ na (R^{2}, (R^{2})) z gȩstościa̧ f(x, y) wzglȩdem miary Lebesgue’a (czyli P (A) = ∫_{A} f(x, y)dxdy). Niech G = {A × R : A ∈ B(R)}. Znajdź Π(·|G) rozkład warunkowy P wzglȩdem G.

8. (Wersja twierdzenia Bayesa dla rozkładów warunkowych) Załóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzenia̧ probabilistyczna̧, G ⊂ F σ-podciałem, zaś Π(·|G) regularnym rozkładem warunkowym P wzglȩdem G. Wykaż, że dla wszystkich G ∈ G, A ∈ F takich, że P (A) > 0 zachodzi

P (G|A) = \frac{∫_{G} Π(A|G)(ω)dP (ω)}{∫_{Ω} Π(A|G)(ω)dP (ω)}.

9. Załóżmy, że X jest nieujemna̧ zmienna̧ losowa̧ na (Ω, F, P) oraz G ⊂ F σ-podciało. Udowodnij, że

a) E(X|G) = ∫_{0}^{∞} P (X > t|G)dt p.w.

b) P (X > t|G) ≤ t^{−k}E(X^{k}|G) p.w.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 9

1. X jest zmienna̧ losowa̧ taka̧, że E|X|^{p} < ∞ dla pewnego p > 0. Wykaż, że lim_{p→0+}(E|X|^{p})^{1/p} = ∥X∥_{0} := exp(E ln |X|) (przyjmujemy, że e^{−∞} = 0).

2. Dla p < 0 określmy podobnie jak dla p > 0, ∥X∥_{p} = (E|X|^{p})^{1/p} używaja̧c dodatkowej konwencji ∞^{α} = 0 dla α < 0. Wykaż, że ∥X∥_{q} ≤ ∥X∥_{p} dla −∞ < q ≤ p ≤ ∞.

3. Udowodnij, że lim_{p→∞} ∥X∥_{p} = ∥X∥_{∞} := esssup|X|.

4. Udowodnij, że funkcja f(r) = r ln E|X|^{1/r} jest wypukła dla r ∈ (0, ∞).

5. (Ogólna postać nierówności Chinczyna) Wykaż, że dla p, q > 0 istnieje stała C_{p,q} < ∞ taka, że dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n}

(E| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}|^{p})^{1/p} ≤ C_{p,q}(E| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}|^{q})^{1/q}

(ε_{1}, …, ε_{n} - niezależne zmienne losowe takie, że P (ε_{i} = ±1) = 1/2)

6. Dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) określmy L^{0}(Ω, F, P) = {X; Ω → R : mierzalne}. Dla X, Y ∈ L^{0}(Ω, F, P) niech d_{1}(X, Y) = E min(1, |X − Y |), d_{2}(X, Y) = E \frac{|X−Y |}{1+|X−Y |}. Wykaż, że metryki d_{1} i d_{2} sa̧ równoważne oraz zbieżność w każdej z tych metryk jest równoważna zbieżności według prawdopodobieństwa.

7. Wykaż, że zbieżność prawie wszȩdzie jest niemetryzowalna tzn. nie istnieje metryka na L^{0}(Ω, F, P), która metryzowałaby zbieżność prawie na pewno.

8. Udowodnij, że dla dowolnych zmiennych losowych X_{n}, Y_{n}, X, Y a) jeśli X_{n} →^{P} X i X_{n} →^{P} Y to P (X = Y) = 1

b) jeśli X_{n} →^{P} X i Y_{n} →^{P} X to lim_{n→∞}P (|X_{n} − Y_{n}| > ε) = 0 dla każdego

ε > 0

9. Wykaż, że jeśli X_{n} →^{P} X i Y_{n} →^{P} Y to aX_{n}+bY_{n} →^{P} aX +bY dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.

10. Udowodnij nierówność Levy’ego: jeśli X_{1}, …, X_{n} sa̧ niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi to dla t > 0

P ( max_{1≤k≤n} ∥S_{k}∥ ≥ t) ≤ 2P (∥S_{n}∥ ≥ t),

gdzie S_{k} = X_{1} + … + X_{k}.

11. Udowodnij, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha (E, ∥.∥) dla dowolnego t > 0 zachodzi nierówność

P ( max_{1≤k≤n} ∥S_{k}∥ ≥ Ct) ≤ CP (∥S_{n}∥ ≥ t),

gdzie S_{k} = X_{1} + … + X_{k}.

1. Udowodnij, że dla cia̧gu nieujemnych zmiennych losowych X_{i}, ∑_{i=1}^{∞} X_{i} < ∞ p.w. wtedy i tylko wtedy gdy ∑_{i=1}^{∞} E \frac{X_{i}}{1+X_{i}} < ∞.

2. Zmienne X_{i} oraz ε_{i} sa̧ niezależne przy czym P (ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2}. Wykaż, że ∑ ε_{i}X_{i} jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy ∑_{i=1}^{∞} X_{i}^{2} < ∞ p.w. (proszȩ w miarȩ możliwości udowodnić ten fakt bez odwoływania siȩ do twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach)

3. Zmienne ε_{i} sa̧ zdefiniowane jak w poprzednim zadaniu, wykaż, że dla liczb rzeczywistych a_{i} szereg ∑ a_{i}ε_{i} jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy ∑ a_{i}^{2} < ∞.

4. Z poprzedniego zadania wynika, że S = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}ε_{n} jest zbieżny p.w. Czy S ma rozkład cia̧gły?

5. Dla 0 < λ < 1 zdefiniujmy zmienna̧ losowa̧ S_{λ} = ∑_{n=1}^{∞} λ^{n}ε_{n}. Wykaż, że S_{λ} ma cia̧gła̧ dystrybuantȩ oraz czysto singularny rozkład tzn. istnieje zbiór borelowski A miary Lebesgue’a zero taki, że P (S_{λ} ∈ A) = 1.

6. Wykaż, że dla dowolnych zmiennych losowych X_{i} o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha E szereg ∑_{i=1}^{∞} X_{i} jest zbieżny wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.w.

7. Zdarzenia A_{1}, A_{2}, … sa̧ niezależne oraz p_{n} = P (A_{n}), N_{n} = ∑_{i=1}^{n} I_{A_{i}}, n = 1, 2, . . .. Udowodnij, że

\frac{N_{n}}{n} − \frac{p_{1} + p_{2} + … + p_{n}}{n} → 0

wg prawdopodobieństwa.

8. Funkcja rzeczywista f jest cia̧gła na [0, 1]^{2}. Dla x, y ∈ [0, 1] określmy

B_{f,n}(x, y) = ∑_{k,l=0}^{n} f(\frac{k}{n}, \frac{l}{n})\binom{n}{k}\binom{n}{l}x^{k}(1 − x)^{n−k}y^{l}(1 − y)^{n−l}.

Udowodnij, że B_{f,n}(x, y) zbiega jednostajnie do f(x, y) na [0, 1]^{2}.

9. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o jednakowym rozkładzie, 0 ≤ X_{i} < 1 p.w., udowodnij, że X_{1} · X_{2} · . . . · X_{n} → 0 p.w.

1. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o wspólnym rozkładzie eksponencjalnym z parametrem λ. Pokazać, że cia̧g zmiennych losowych

\frac{X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + … + X_{n}X_{n+1}}{n}

jest zbieżny prawie na pewno i znaleźć jego granicȩ.

2. Dla cia̧gu X_{1}, X_{2}, … niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie o skończonej wariancji definiujemy średnia̧ empiryczna̧ m̄_{n} i dystrybuantȩ empiryczna̧ σ̄_{n}^{2} wzorami

m̄_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{n} , σ̄_{n}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{k=1}^{n}(X_{k} − m̄_{n})^{2}.

Udowodnij, że Em̄_{n} = EX_{1}, Eσ̄_{n}^{2} = V (X_{1}) (tzn. m̄_{n} i σ̄_{n}^{2} sa̧ nieobcia̧żonymi estymatorami średniej i wariancji) oraz m̄_{n} → EX_{1}, σ̄_{n}^{2} → V (X_{1}) prawie na pewno gdy n → ∞.

3. Dany jest cia̧g X_{1}, X_{2}, … niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie taki, że EX_{i} = ∞ (tzn EX_{1}^{−} < ∞ oraz EX_{i}^{+} = ∞). Udowodnij, że \frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n} → ∞ prawie na pewno gdy n → ∞.

4. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne oraz P (X_{i} = 1) = p, P (X_{i} = −1) = 1 − p dla pewnego p ∈ (1/2, 1]. Wykaż, że X_{1} + … + X_{n} → ∞ prawie na pewno gdy n → ∞. Co siȩ dzieje, gdy p = 1/2?

5. (Silne prawo wielkich liczb Marcinkiewicza) Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi jednakowo rozłożonymi zmiennymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodnij, że

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{n^{1/p}} → ∞ p.w.

wtedy i tylko wtedy gdy E|X|^{p} < ∞ oraz dodatkowo EX = 0 dla 1 ≤ p < 2.

6. Przy założeniach poprzedniego zadania udowodnij, że

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{\sqrt{n}} → ∞ p.w.

wtedy i tylko wtedy gdy X_{i} = 0 p.w..