Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

9 grudnia 2002

1. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, ograniczone i mają średnią zero. Udowodnij, że jeśli

lim_{n→∞} \frac{∥X_{n}∥_{∞}}{s_{n}} = 0, gdzie s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} Var(X_{k}) → ∞

to

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{s_{n}} → N (0, 1) według rozkładu gdyn → ∞

2. Załóżmy, że X_{n} → X według rozkładu, zaś Y_{n} → c według rozkładu, gdzie c jest stałą. Udowodnij, że X_{n}Y_{n} zbiega według rozkladu do cX.

3. Zmienne losowe N, X_{1}, X_{2}, … są niezależne przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem λ, a wszystkie X_{i} mają jednakowy rozkład N (−1, 4). Znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej S = ∑ _{i=1}^{N} X_{i} (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).

4. Dane są dwa martyngały X_{n} i Y_{n} względem ustalonej filtracji F_{n} oraz moment zatrzymania τ taki, że X_{τ} = Y_{τ} na zbiorze {τ < ∞}. Udowodnij, że zmienne Z_{n} dane wzorem

Z_{n} = Y_{n} dla n > τ oraz Z_{n} = X_{n} dla n τ

też są martyngałem względem filtracji F_{n}.

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Niech F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) oraz S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i}. Znajdź wszystkie liczby a ≠ 0 dla których a^{n}e^{S_{n}} jest martyngałem względem F_{n}. Czy otrzymany martyngał jest zbieżny prawie na pewno, a jeśli tak to od jakiej granicy?

6. Zmienna losowa X ma funkcję charakterystyczną φ. Udowodnij, że φ jest okresowa z okresem t_{0} > 0 wtedy i tylko wtedy gdy P (X ∈ \frac{2π}{t_{0}} ℤ) = 1.

Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10