Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I gr.I, 21 kwietnia 2008

1. W klasie uczy się 7 dziewczynek i 13 chłopców. Na każdej lekcji nauczyciel pyta losowo wybranych 2 chłopców i 1 dziewczynkę (na każdej lekcji wybory są dokonywane niezależnie). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby dzieci przepytanych w ciągu 7 kolejnych lekcji.

2. Liczba jajeczek złożonych przez owada ma rozkład Poissona z parametrem 5. Z każdego jajeczka z prawdopodobieństwem 0.8 wykluwa się owad.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyklucia się dokładnie k owadów?

b) Wiemy, że z jajeczek wykluły się 4 owady. Jakie jest prawdopodobieństwo, że owad złożył więcej niż 4 jajeczka?

3. Zmienne X, Y i Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Dla t ∈ ℝ określmy f(t) := E exp(t(X + 2Y − Z)^{2}).

a) Dla jakich t, f(t) < ∞?

b) Oblicz f(t).

4. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Znajdź rozkład zmiennej \sqrt{X} + \sqrt{Y}.

5. Niech f będzie losowo wybraną funkcją niemalejącą ze zbioru {1, 2, …, 10} w siebie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) f(1) = 2,

b) f(1) = f(2),

c) funkcja f przyjmuje wartość 5.

6. Zmienne X i Y są niezależne, przyjmują wartości naturalne oraz X +Y ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p. Czy X też musi mieć rozkład dwumianowy?

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I gr.II, 21 kwietnia 2008

1. Zmienne X, Y i Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Dla t ∈ ℝ określmy f(t) := E exp(t(X − 3Y + Z)^{2}).

a) Dla jakich t, f(t) < ∞?

b) Oblicz f(t).

2. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Znajdź rozkład zmiennej \sqrt{3X} + \sqrt{3Y}.

3. W klasie uczy się 6 dziewczynek i 13 chłopców. Na każdej lekcji nauczyciel pyta losowo wybranych 2 chłopców i 1 dziewczynkę (na każdej lekcji wybory są dokonywane niezależnie). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby dzieci przepytanych w ciągu 6 kolejnych lekcji.

4. Niech f będzie losowo wybraną funkcją niemalejącą ze zbioru {1, 2, …, 8} w siebie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

a) f(1) = 1,

b) f(1) = f(2),

c) funkcja f przyjmuje wartość 4.

5. Liczba jajeczek złożonych przez owada ma rozkład Poissona z parametrem 4. Z każdego jajeczka niezależnie z prawdopodobieństwem 3/4 wykluwa się owad.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyklucia się dokładnie k owadów?

b) Wiemy, że z jajeczek wykluły się 3 owady. Jakie jest prawdopodobieństwo, że owad złożył więcej niż 3 jajeczka?

6. Zmienne X i Y są niezależne, przyjmują wartości naturalne oraz X +Y ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p. Czy X też musi mieć rozkład dwumianowy?