Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

grupa I, 11 kwietnia 2005

1. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 5. 0blicz 𝔼e^{2X−3Y} .

2. W szafce znajduje się 15 różnych par butów. Z szafki na chybił trafił wyciągnięto 10 butów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby par butów, które znajdują się wśród wyciągniętych butów.

3. Przy okrągłym stole w sposób losowy posadzono 10 kobiet i 20 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kobiety nie siedzą obok siebie?

4. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Czy zmienna Z = |X − 2Y |^{−1} ma rozkład ciągły? Jeśli tak, to znajdź jej gęstość.

5. Dwaj gracze grają w orła i reszkę symetryczną monetą, stawka wynosi 1 złoty, na początku gry każdy z graczy ma po 10 złotych, gra się kończy, gdy któryś z graczy pozostaje bez pieniędzy. Okazało się, że grę wygrał pierwszy gracz, jakie jest prawdopodobieństwo, że dobrze obstawił on wynik pierwszego rzutu?

6. Zmienne X, Y, ε_{1}, ε_{2} są niezależne, przy czym X i Y mają rozkład jednostajny na przedziale [0, 5], a ε_{1} i ε_{2} symetryczny Bernoulliego tzn. ℙ(ε_{i} = ±1) = 1/2. Znajdź rozkłady zmiennych losowych ε_{1}X i ε_{1}X + ε_{2}Y.

7. Jaki rozkład ma zmienna X −Y, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem p?

Należy wybrać do rozwiązywania 6 spośród powyższych zadań. Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

grupa II, 11 kwietnia 2005

1. Zmienne X, Y, ε_{1}, ε_{2} są niezależne, przy czym X i Y mają rozkład jednostajny na przedziale [−2, 0], a ε_{1} i ε_{2} symetryczny Bernoulliego tzn. ℙ(ε_{i} = ±1) = 1/2. Znajdź rozkłady zmiennych losowych ε_{1}X i ε_{1}X + ε_{2}Y.

2. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. 0blicz 𝔼e^{X−5Y} .

3. W szafce znajduje się 20 różnych par butów. Z szafki na chybił trafił wyciągnięto 15 butów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby par butów, które znajdują się wśród wyciągniętych butów.

4. Jaki rozkład ma zmienna |X−Y |, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem p?

5. Przy okrągłym stole w sposób losowy posadzono 8 kobiet i 17 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kobiety nie siedzą obok siebie?

6. Dwaj gracze grają w orła i reszkę symetryczną monetą, stawka wynosi 1 złoty, na początku gry każdy z graczy ma po 15 złotych, gra się kończy, gdy któryś z graczy pozostaje bez pieniędzy. Okazało się, że grę wygrał pierwszy gracz, jakie jest prawdopodobieństwo, że dobrze obstawił on wynik pierwszego rzutu?

7. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Czy zmienna Z = (X − 3Y)^{−2} ma rozkład ciągły? Jeśli tak, to znajdź jej gęstość.

Należy wybrać do rozwiązywania 6 spośród powyższych zadań. Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10.